נוסחת השורשים

דף זה הוא החלק הראשון בנושא לימוד משוואה ריבועית.
יחד עם הדף בנושא טרינום הוא גם הדף החשוב ביותר.

1.סיכום וידאו

2.מדוע משוואה ריבועית צריכה נוסחה מיוחדת

כאשר אנו מקבלים משוואה “רגילה” כזו:

2x + 3 = 13

אנו מבודדים את x ומוצאים
x = 5

אבל אם נקבל משוואה ריבועית כזו:

x²+7x+12=0

לא נוכל בעזרת הכלים של תלמידי תיכון לבודד את x.

לכן יש לנו את נוסחת השורשים שמאפשרת לפתור משוואה ריבועית.

יתרונה של נוסחת השורשים הוא שהיא מאפשרת להגיע לתשובה בכל משוואה ריבועית.

אבל קיימים גם דרכי פתרון אחרים שעובדים רק בחלק מהמקרים והם קצרים יותר.
ניתן ללמוד אותם במשוואה ריבועית דרכי קיצור.

נוסחת השורשים נראית כך:

בשלב הבא נכיר את a,b,c ונלמד להציב בצורה נכונה.

דברים שצריך לדעת על שורש

כפי שאתם רואים נוסחת השורשים כוללת שורש.
ולפני שאנו מתקדמים יש 3 דברים שאתם צריכים לדעת על שורש.

1.למספר חיובי יש שורש יחיד.

לדוגמה:

√16 = 4

יש החושבים שגם 4 – הוא פתרון, אבל זה לא נכון.

התוצאה של פעולת השורש היא חיובית בלבד.

2.למספר שלילי אין שורש.

כלומר:

√-9

הוא ביטוי ללא פתרון.

וכל משוואה הכוללת שורש שלילי היא משוואה ללא פתרון.

למשל:

x + √-25 = 10

זו משוואה שאין לה פתרון.

3.השורש של 0 הוא 0.

√0 = 0

למשל:
x + √0 = 10
x + 0 = 10
x = 10

3.זיהוי הפרמטרים של משוואה ריבועית

ax² + bx + c = 0

זה המבנה כללי של משוואה ריבועית.
a,b,c הם מספרים שבכול משוואה ריבועית מקבלים ערך אחר. קוראים להם פרמטרים.

a  הוא המספר הנמצא לפני x².
b  הוא המספר הנמצא לפני x.
c הוא המספר החופשי (המספר שאין x שצמוד אליו).

לדוגמה, במשוואה:

x² + 10x + 9 = 0

המקדמים הם:

a = 1,   b = 10,   c = 9

שני מכשולים שיכולים להיות בקביעת הפרמטרים
1.כאשר פרמטר לא מופיע במשוואה זה אומר שהוא שווה ל 0.

למשל במשוואה:
x² – 30 = 0

הפרמטר b לא מופיע והמשמעות היא ש b = 0.

שימו לב שאת המשוואה הזו ניתן לכתוב גם כ:

x² + 0x – 30 = 0

וכאן רואים כי b = 0.

2.כאשר המשוואה לא מסודרת צריך לסדר אותה לפני קביעת הפרמטרים.

על מנת לקבוע את הפרמטרים כל איברים המשוואה צריכים להיות בצד אחד ובצד השני צריך להיות 0.

למשל:

x² = 9x + 1

לא ניתן לקבוע או לפתור את המשוואה בצורה הזו.
נעביר את כל האיברים לצד אחד של המשוואה:

x² = 9x + 1
x² – 9x – 1 = 0

הפרמטרים הם:
a = 1,   b = -9,   c = -1.

תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• נוסחת השורשים תרגילים

זהו את הפרמטרים במשוואות הבאות:

תרגיל 1
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
x² + 2x – 9 = 0

תרגיל 2
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
3x² – 5x – 1 = 0

תרגיל 3
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
2x² + 5 = 0

תרגיל 4
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
3x² + 8x = 0

תרגיל 5
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
4x² = -3x + 6

4.הצבה בנוסחת השורשים

לאחר שיש לנו את המספרים a,b,c אנו מציבים אותם במשוואת השורשים.

אם המשוואה הריבועית הוא ax² + bx + c = 0
אז נוסחת השורשים היא:

נשים לב שבמרכז המונה יש את הסימן ± והמשמעות שלו היא שפעם אחת משתמשים בסימן + וזה הפתרון הראשון של המשוואה.
ופעם שנייה משתמשים בסימן – וזה הפתרון השני השל המשוואה.

כלומר ניתן לכתוב את נוסחת השורשים כשתי המשוואות הללו:

כל אחת מהמשוואות הללו נותנת פתרון אחד של המשוואה הריבועית.

סך הכול יכולים להיות למשוואה עד שני פתרונות.

דוגמאות להצבה ופתרון:

דוגמה 1
פתרו בעזרת נוסחת השורשים את המשוואה הבאה:

x² + 10x + 9 = 0

פתרון

עבור משוואה זו:

a = 1,   b = 10,   c = 9

וההצבה נראית כך:

נמצא כל פתרון בנפרד:

הפתרונות הם:  x = -1,   x = – 9.

 

דוגמה 2
פתרו בעזרת נוסחת השורשים את המשוואה הבאה:

x² + 7x + 6 = 0

פתרון
עבור משוואה זו:
a = 1,   b = 7,   c = 6

וההצבה נראית כך:

הפתרונות הם:  x = -1,   x = -6.

 

דוגמה 3
פתרו בעזרת נוסחת השורשים את המשוואה הבאה:

x² – 6x + 5 = 0

פתרון
עבור משוואה זו:
a = 1,   b = -6,   c = 5

וההצבה נראית כך:

נפצל את המשוואה לשני פתרונות:

כאשר ה a שונה מ 1

ברוב המקרים המקדם של x² הוא 1.

אבל בחלק מהמקרים המקדם של x² שונה מ 1.

במקרים מסוימים ניתן לחלק את כל המשוואה ולהגיע למשוואה שבה a = 1.

זה יסייע לנו כי כך נעבוד עם מספרים יותר קטנים.

במקרים אחרים אם נרצה לחלק נקבל מספרים שלא נוח להציב ולכן נציב את המספרים כמו שהם.

אלו יהיו שתי הדוגמאות שנציג.

דוגמה 1 (אפשר לחלק)
4x² – 12x + 16 = 0

פתרון
ניתן לחלק את כל המספרים במשוואה ב 4.

4x² – 12x + 16 = 0  / :4
x² – 3x + 4 = 0

ועכשיו ההצבה בנוסחת השורשים תראה כך:

הערה
גם אם היינו מציבים את המספרים של המשוואה המקורית
4x² – 12x + 16 = 0
היינו מקבלים את אותם פתרונות, אבל החישובים היו נעשים במספרים גדולים יותר.

דוגמה 2 (מקרה שבו לא נוח לחלק)

4x² – 3x + 5 = 0

פתרון
במקרה זה אם נחלק ב 4 נקבל שברים שלא נוח לעבוד איתם.

לכן נציב את המספרים במשוואה כמו שהיא:

a = 4,   b = -3,   c = 5

5.מספר הפתרונות של נוסחת השורשים

• מספר הפתרונות של משוואה ריבועית הרחבה.

6.שגיאות נפוצות בשימוש בנוסחת השורשים

יש מספר שגיאות שחוזרות על עצמם כאשר מציבים בנוסחת השורשים:

1.התעלמות מה a שנמצא במכנה או ה 2 שבמכנה.

ברוב המשוואות שנפתור המקדם של x² יהיה 1.

לפעמים אנו מתרגילים לכך, וכאשר a ≠ 1 אנו לא מציבים זאת בנוסחה.

2.רישום b – בצורה נכונה.

בעיקר יש לנו משוואות ריבועיות שבהם b הוא שלילי.
כמו:

x² – 2x + 10 = 0

אנו עלולים לא לזכור לרשום מינוס b כפי שצריך.
ברישום נכון נקבל במקרה זה מינוס מינוס.

 

3.בתוך השורש יש b² והחזקה היא על כל b.

אם b = -2 אז החזקה שבתוך השורש צריכה להיות גם על המינוס.

דוגמה להצבה b = -2 בנוסחת השורשים.

4.בתוך השורש יכול להיות כפל של 3 מינוסים

אם a,c הם שליליים אז הביטוי שבתוך השורש

-4ac

יכלול כפל של 3 מינוסים.
עלינו לשים לב שאנו מגיעים לתשובה ולסימן הנכון.

כפל של 3 מינוסים ⇐ תוצאה שלילית.
כפל של 2 מינוסים ⇐ תוצאה חיובית.

דוגמה להצבה a = -1,  c = -3

7. תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• נוסחת השורשים תרגילים

מצורפים 5 משוואות ריבועיות. לאחריהן מופיעים התשובות הסופיות של התרגילים ולאחריהן יש את הפתרונות המלאים של התרגילים.
פתרו את המשוואות הריבועיות הבאות:

1. x²+7x+12=0
2. x²-3x-10=0
3. 4x²-7x+2=0-
4. 4x²-12x+9=0
5. x²+6x-10=0-

פתרונות מלאים לתרגילים

תרגיל 1
פתרו את המשוואה הריבועית

x² + 7x + 12 = 0

תרגיל 2
פתרו את המשוואה הריבועית

x² – 3x – 10 = 0

תרגיל 3
פתרו את המשוואה הריבועית

4x² – 7x + 2 = 0-

תרגיל 4
פתרו את המשוואה הריבועית

4x² – 12x + 9 = 0

תרגיל 5
פתרו את המשוואה הריבועית

x² + 6x – 10 = 0-

8.פתרון משוואות ריבועיות קשות יותר

• משוואה ריבועית לא מסודרת הוא דף המסביר תרגילים מסוג זה בצורה יסודית.

חלק זה מיועד לתלמידים טובים בהקבצה א בכיתה ט.

במשוואות הריבועיות הקודמות קיבלנו משוואה והפעולה הראשונה שלנו הייתה לזהות את הפרמטרים ולהציב אותם בנוסחת השורשים.

בחלק הזה של הדף נפתור משוואות ריבועיות שצריך לפתוח סוגריים, לכנס איברים ולהעביר אגפים ורק אז לפתור את המשוואה שהתקבלה.

9.נספח: מקרים בהם ניתן לפתור בדרך יותר קצרה מנוסחת השורשים

• ניתן להרחיב על דרך פתרון זו בדף 4 שיטות לפתרון מקוצר של משוואה ריבועית.

נוסחת השורשים היא דרך בה תוכלו לפתור כל משוואה ריבועית.

אבל יש מקרים בהם ניתן לפתור משוואה ריבועית בדרך קצרה יותר.

פתרון משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים

ax² + bx + c = 0
זה המראה הכללי של משוואה ריבועית.
כאשר a=0 נשארים עם:
bx + c = 0 וזו לא משוואה ריבועית, זו משוואה רגילה.

כאשר b או c שווים ל 0 אנו נשארים עם:
ax² + bx = 0
ax² + c = 0
ואלו כן משוואות ריבועיות שניתן לפתור בדרך קלה יותר.

למשל   ax² + c = 0
במקרה הזה נבודד את ax² בצד אחד של המשוואה ואת c בצד השני.
x² – 9 = 0   / +9
x² = 9
x = 3,   x = -3
(זכרו שלביטוי x² = k  יש שני פתרונות).

דוגמה נוספת:
2x² + 50 = 0  / -50
2x² = -50  / :2
x²  = -25
מספר בריבוע לא יכול להיות שלילי לכן למשוואה הזו אין פתרונות (ותחשבו כמה זמן היה לוקח להגיע למסקנה הזו דרך נוסחת השורשים).

דוגמאות ל: ax² + bx = 0
מצב זה מתקבל כאשר c = 0.
במצב זה נוציא את x גורם משותף.
ונשען על הכלל האומר שאם מכפלת שני ביטויים היא 0 אז אחד מיהם לפחות צריך להיות שווה ל 0.
אם a * b = 0 אז:
a = 0 או b = 0.

x² + 3x = 0
x (x + 3) = 0
x = 0, או  x + 3 = 0
x = 0 או   x = -3

3x² -5x = 0
x (3x – 5) = 0
x = 0  או 3x – 5 = 0
x = 0 או   x = 1.666

עוד באתר:

• פירוק לגורמים בעזרת נוסחת השורשים.
• משוואה ריבועית – הדף המרכזי בנושא.
• אי שוויון ריבועי – כיצד פותרים.
• מתמטיקה לכיתה ח – מדריך למרבית הנושאים הנלמדים בכיתה זו.
• מתמטיקה לכיתה ט – מדריך למרבית הנושאים הנלמדים בכיתה זו.
• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• מבחן בנושא נוסחת שורשים