בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 581 קיץ 2018

סעיף א

10:00

סעיף ב

6V

סעיף ג

גדולה מ 0.75v  וקטנה מ 3v

הרעיון של הפתרון:
אנו יודעים כמה זמן כלי רכב אחד עבר קטע.
אם נדע מה היחס בין מהירות הרכב השני לרכב זה אז נוכל לדעת כמה זמן לקח לרכב השני לעבור את אותו הקטע.

תיאור השאלה בגרף נראה כך:

הגדרת משתנים
t  הזמן שעבר מהיציאה ועד הפגישה בשעות
v המהירות של אמיר.
u  המהירות של משה.

עד הפגישה
vt  המרחק שעבר אמיר עד הפגישה.
ut  המרחק שעבר משה עד הפגישה.

לאחר הפגישה.
אמיר
אמיר עובר את המרחק ut (מה שעבר משה).
המרחק הוא גם 2v.
המשוואה
2v = ut  (משוואה 1)

משה
משה עובר את המרחק vt (מה שעבר אמיר).
המרחק הוא גם 8u
המשוואה:
8u = vt
t = 8u / v  (משוואה 2).

נציב את משוואה 2 במשוואה 1.
2v = u * 8u / v
2v² = 8u²
v² = 4u²
v = 2u

מכוון שמהירויות הם גדלים חיוביים הפתרון v = -2u נפסל.

מצאנו שהמהירות של אמיר כפולה מהמהירות של משה.
לכן אם למשה לכך 8 שעות לעבור את הדרך שאמיר עבר עד הפגישה למשה לקח 4 שעות לעבור את אותה דרך.

תשובה: אמיר ומשה נפגשו בשעה 10.

v היא מהירותו של אמיר.
אנו יודעים שאמיר רכב 4 שעות עד הפגישה ו 2 שעות לאחר הפגישה. סך הכל 6 שעות
הוא רכב במהירות v ולכן הדרך שעבר היא 6v.
6v זו הדרך בין שתי הנקודות.

יסמין יצאה בזמן שאמיר ומשה נפגשו.
יסמין הגיע לאחר אמיר – לכן לקח לה יותר משעתיים לעבור את הדרך.

יסמין הגיע לפני משה לכן לקח לה פחות מ 8 שעות לעבור את הדרך.

לכן זמן נסיעתה של יסמין הוא 2-8 שעות.

הזמן המהיר ביותר הוא 2 שעות. במקרה זה מהירותה היא:
6v : 2 = 3v

הזמן האיטי ביותר הוא 8 שעות. במקרה זה מהירותה היא:
6v : 8 = 0.75v

לכן מהירותה של יסמין גדולה מ 0.75v  וקטנה מ 3v.

הסתכלו על המונה והמכנה של נוסחת הסכום שצריכה להיות ביטוי שלילי במקרה זה.

קבעו מה יכול להיות שלילי / חיובי.

קיבלנו נוסחה.
נציב בה את מה שאנו יודעים לחשב כסכום זוגי / אי זוגי ונראה מה קורה.

מצאו את טווח הערכים של מנת הסדרה b.

ניתן להוכיח מתמטית על ידי זיהוי הסימן של:

a_{n + 1} – a_n

או להסביר במילים מה קורה לשבר שלילי שמכפילים במספר חיובי.

סעיף א

טענה ג

סעיף ב

p = -1/q

סעיף ג

לא מתכנסת

סעיף ד

הוכחה

ובסדרה הנדסית מתכנסת

-1 < q < 1

לכן בסדרה הנדסית מתכנסת המכנה תמיד חיובי.

לכן הדבר היחידי שגורם לסכום להיות שלילי הוא a₁ < 0.
התשובה היא ג.

T + pR = 0

נביע את T,R באמצעות נוסחת הסכום q,a₁ וכך נוכל להגיע אל התשובה.

עבור סדרת המקומות האי זוגיים
a₁‘ = a₁
q’ = q²
לכן סכום איברי המקומות האי זוגיים הוא:

עבור סדרת המקומות הזוגיים:
a₁” = a₁q
q” = q²
לכן סכום המקומות הזוגיים הוא:

נציב את הערכים של T,R בנוסחה:
T + pR = 0

p*q + 1 = 0  /-1
p*q = -1  / : q
p = -1/q

הסדרה b היא סדרה מתכנסת אם:

-1 < p < 1

אנו יודעים כי q הוא מספר בתחום הזה.
1- חלקי שבר קטן ממינוס אחד או גדול מ 1.

p = -1/q

לכן סדרה הנדסית ש p הוא המנה שלה אינה סדרה מתכנסת.

בסעיף ב מצאנו:
p*q = -1
q = -1 / p
אם p שלילי אז q חיובי.

כמו כן מצאנו בסעיף א ש a₁ < 0

מכאן נפתור בשתי דרכים: הסבר מילולי והוכחה מתמטית

הסבר מילולי

0 < q < 1

כאשר נכפיל את a₁ שהוא מספר שלילי ב q המכפלה תגדל, וכך יהיה כל פעם שנכפיל ב q.
לכן הסדרה a_n היא סדרה עולה.

דרך שנייה: הוכחה מתמטית

נבצע את פעולת החיסור
a_n+1 – a_n
ואם התוצאה חיובית אז
a_n+1 > a_n

(a_n+1 – a_n = a₁qⁿ – a₁q^n-1 = a₁q^n-1(q -1

הביטוי a₁q^n-1 הוא שלילי כי a₁ שלילי ו q חיובי.

הביטוי q -1 שלילי כי q < 1.

מכפלת שני ביטויים שליליים היא חיובית ולכן הוכחנו ש:
a_n+1 – a_n > 0
ולכן זו סדרה עולה.

*הערה: השתמשנו בסעיף זה בהוכחה מתמטית מסורבלת לדבר פשוט.
יתכן שבודק הבחינה היה מקבל גם את ההוכחה המילולית הבאה.
a₁ < 0
q הוא מספר חיובי הקטן מ 1 ולכן תוצאת המכפלה:
a₁qⁿ גדלה ככול ש n גדול יותר.

סעיף א

0.22

סעיף ב

ההסתברות שיעל עברה את המבחן גבוהה מההסתברות שהדס עברה את המבחן

סעיף ג

0.176

סעיף ד

0.44

ניתן לפתור את שאלה זו בעזרת עץ או בעזרת טבלה.
כאן נראה פתרון של עץ.

הסיבה שנוח להשתמש בעץ היא שהמשפט הבא מתאר תהליך של שלב אחרי שלב:

נגדיר:

אם נבנה עץ על סמך הנתונים הוא יראה כך:

על מנת לשלים את ענפים 1,2 נגדיר משתנה.

x ההסתברות להיכשל מתוך אלו שלא נעזרו.

נשלים את העץ.

המשפט “מספר התלמידים שלא נעזרו בחבריהם ולא עברו את המבחן קטן פי 5 ממספר התלמידים שנעזרו בחבריהם ועברו את המבחן”.
אומר בעצם שענף 4 גדול פי 5 מענף 1.

נחשב את מספר התלמידים שנעזרו בחבריהם ועברו את המבחן (ענף 4).
p = 0.37 * 35/37 = 0.35
זו ההסתברות של ענף 4.

ההסתברות של ענף 1 קטנה פי 5 והיא:
0.07 = 5 : 0.35

ההסתברות של ענף 1 היא:
0.63x.
לכן המשוואה שלנו היא:
0.63x = 0.07  / :0.63
x = 0.111

עכשיו דיאגרמת העץ שלנו נראית כך:

פתרון סעיף א

ההסתברות המבוקשת היא:

p ( נכשל  / נעזר ) =

ההסתברות לנכשל היא סכום ההסתברות של ענפים 1,3:

0.37 * 2/37 + 0.07 = 0.09

מתוך 0.09 ענף 3 שהוא 0.02 הוא המתאים.

לכן:

תשובה: ההסתברות היא 0.22.

ההסתברות שיעל עברה את המבחן היא:
0.94 = 35/37

ההסתברות שהדס עברה את המבחן היא:
0.89
תשובה: ההסתברות שיעל עברה את המבחן גבוהה מההסתברות שהדס עברה את המבחן.

זו נוסחת ברנולי שדורשת 2 הצלחות מתוך 6.

ההסתברות להצלחה יחידה -תלמיד בודד שעבר ולא נעזר (זה ענף 2).

0.56 = 0.89 * 0.63

ההסתברות לבחור 2 מתוך 6 כאשר ההסתברות ל”הצלחה” במאורע יחיד היא 0.56.

p= 0.56² * 0.44⁴ * 15 = 0.176

תשובה: 0.176.

0.37 ההסתברות שתלמיד נעזר בחבריו.

הקבוצה הנוספת שלא עברה את המבחן היא ענף 1 שהסתברותו 0.07.

0.44 = 0.37 + 0.07

נבנה את הקטע FG

ידוע לנו כי מרכז המעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים.

עלינו להוכיח כי הישרים EG , BG , FG הם אנכים אמצעיים לצלעות אותם הם חותכים.

נתחיל עם הוכחת EG , BG אנכים אמצעיים:

נשאר להוכיח ש-GF אנך אמצעי ל- BC. נוכיח: ΔEGB ≅ ΔFGB

הוכחתי זווית אחת ששווה בהתאמה בשלושת המשולשים. נשאר להוכיח עוד זווית אחת ששווה בהתאמה בין שני זוגות משולשים מתוך השלושה.

נסתכל על הזוגות: ΔGFB ו-ΔBKC , ועל הזוג ΔBKC, ΔMFC

נתחיל בהוכחת :

בסעיף ב הוכחנו:

ΔCFM ∼ ΔCKB

לכן לפי יחס בין צלעות מתאימות במשולשים דומים זהה:

נמשיך בהוכחת :

נשתמש בדמיון שהוכחנו: ΔCFM ∼ ΔGFB

לפי יחס הדמיון וצלעות מתאימות במשולשים דומים:

נתון כי BF = FC. נציב זאת בשוויון מלמעלה:

נשתמש בשני השוויונות שמצאנו בסעיף הקודם ונבנה את השוויון הבא:

נציב את הגדלים שמצאנו בשוויון מלמעלה:

נשאר להוכיח שהיחס בין BK ל-CK הוא יחס האלכסונים.

נציב גדלים אלה בשוויון למעלה:

סעיף א1

∠C = 36.87,   ∠A = 53.13 , ∠ABC = 90°

סעיף א2

R_ΔBMA = 5 , R_ΔBMC = 6.66

סעיף ב1

מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים הוא דלתון

סעיף ב2

8.32

נשרטט את התרגיל

נגדיר:

∠C = a

לכן:

A = 90 – a∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש ABC.

נבנה עכשיו שתי משוואות עם שני נעלמים.
במשולש BMC על פי משפט הסינוסים

במשולש BMA על פי משפט הסינוסים

משתי המשוואות שהגענו אליהן נבנה משוואה אחת עם משתנה אחד.

a = 36.87

נציב:

∠C = a = 36.87

∠A = 90 – a = 90 – 36.86 = 53.13

תשובה סופית:

∠C = 36.87,   ∠A = 53.13 , ∠ABC = 90°

על פי משפט הסינוסים במשולש BMA:

2R = 8 : sin 53.13 = 10
R = 5

על פי משפט הסינוסים במשולש BMC:

2R = 8 : sin 36.87 = 13.33
R = 6.66

תשובה סופית:

R_ΔBMA = 5 , R_ΔBMC = 6.66

O₂M = O₂B = 6.66
O₁M = O₁B = 5
(השוויונות נובעים מכך שהצלעות הללו הן רדיוסים במעגל).
המרובע O₁BO₂D הוא דלתון כי מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים הוא דלתון.

אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.
נניח כי נקודת מפגש האלכסונים היא P.
BP = MP =0.5BM = 0.5 * 8 = 4 כי האלכסון הראשי בדלתון (O₁O₂) חוצה ומאונך לאלכסון המשני (BM).

נשתמש במשפט פיתגורס בשני המשולשים:

במשולש ΔO₁PM:

O₁P² + PM² = OM²

O₁P² = OM² – PM²
O₁ P² = 5² – 4² = 9
O₁ P = 3

במשולש ΔO₂PM:

O₂P² + PM² = O₂M²

O₂P² = O₂M² – PM²

O₂P² = 6.66² – 4² = 28.3556
O₂P = 5.32

O₁O₂ = 3+ 5.32 = 8.32
תשובה: אורך הקטע הוא 8.32.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב1

(1/a , 0)
(0,-1)

סעיף ב2

y = √a 
y = -√a 

סעיף ב3

הפונקציה עולה לכל x

סעיף ב4

סעיף ג

השטח הכלוא שווה ל – 2 יחידות ריבועיות

סעיף ד

1. בתחום – (f(x) > g(x
   (g(x) = – f(x
2.  בתחום – (g(x) > f(x
   (g(x) = 3*f(x

חקרו את הפונקציה:

 ,

a פרמטר.

צריך להוכיח: a > 1.
על מנת שהביטוי שבתוך השורש יהיה חיובי צריכים להתקיים שני תנאים:
1) זו צריכה להיות פרבולה עם נקודת מינימום. במקרה זה a > 0.
2) לפרבולה לא יכולים להיות נקודות חיתוך עם ציר ה x. כלומר:
b² – 4ac < 0

החיתוך של שני האי שוויונות הוא a > 1.

נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x: נפתור את המשוואה f(x) = 0.
הפונקציה שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס. לכן:
ax – 1 = 0
x = 1/a (הוכחנו כי a > 1 , לכן שונה מ 0 וניתן לחלק בו).

ציר y: נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
f(0) = -1/√1 = -1

תשובה:
ציר x: 
(x,y) = (1/a , 0)
ציר y:
(x,y) = (0,-1)

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים עבור x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
בחישוב הגבול, נתייחס למקדמים של החזקה הגבוהה ביותר במונה ובמכנה.
המקדמים של x הם: במונה – a , במכנה – a√.
לכן כאשר x שואף לאינסוף  – הפונקציה תשאף ל:
a / √a = √a
לכן הישר y = √a הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.(עבור x שואף לאינסוף)
כאשר x שואף למינוס אינסוף – הפונקציה תשאף ל:
a / √a = -√a-
לכן הישר y = -√a הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.(עבור x שואף למינוס אינסוף)

תחומי עלייה וירידה:
נגזור את הפונקציה על מנת לבדוק האם יש נקודות קיצון.
(זוהי נגזרת של מנה בשילוב נגזרת מורכבת מכיוון שיש שורש במכנה)

המנה שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס. לכן : ( המשוואה הבאה היא לאחר הכפלה בשורש)
2a*(ax² – 2x + 1) – (ax – 1)*(2ax – 2) = 0
2a²x² – 4ax + 2a – 2a²x² + 4ax – 2 = 0
2a – 2 = 0
a = 1
קיבלנו סתירה, מכיוון שהוכחנו בסעיף א’ כי a > 1.
לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

לפונקציה אין נקודות אי הגדרה, לכן היא רציפה ואין שינוי בסימן הנגזרת.
לכן נוכל להציב בנגזרת נקודה כלשהי על מנת לקבוע האם הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה.

a – 1 > 0  מכיוון שהוכחנו כי a > 1.
לכן הנגזרת חיובית עבור x = 0 , ולכן חיובית לכל x.

תשובה: הפונקציה עולה לכל x.

סקיצה:

. a = 3.


השטח אותו צריך לחשב:

השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:

זהו אינטגרל מעט מורכב.
על מנת לפתור אותו, נשים לב כי המונה שווה לחצי מהנגזרת הפנימית של המכנה.
ואם נגזור את המכנה – מה שנקבל זה הפונקציה שלנו. לכן המכנה הוא הפונקציה הקדומה.
(ניתן גם לפתור ע”י ההצבה: (t = √(3x² – 2x + 1 )
פתרון האינטגרל:

תשובה: השטח הכלוא שווה ל – 2 יחידות ריבועיות.

 נסמן:

כעת נפצל למקרים:
1. (f(x) > g(x בתחום הנתון. ואז מתקיים (לפי הנתון):

אינטגרל של סכום = סכום האינטגרלים, לכן:

בעקבות הסימון, נקבל:

ולכן:

(g(x) = – f(x

2. (g(x) > f(x בתחום הנתון. אז מתקיים:

אינטגרל של סכום = סכום האינטגרלים, לכן:

בעקבות הסימון, נקבל:

ולכן:

(g(x) = 3*f(x

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

לא קיים x עבורו g(x) = 0

סעיף ג1

(g(x היא פונקציה זוגית

סעיף ג2

הוכחה

סעיף ג3

מקסימום: (3.25 , π/3)
מינימום: (3 , 0) , (1 , π)

סעיף ג4

סעיף ד1

תחום ההגדרה הוא לכל x

סעיף ד2

 נסמן: (h(x) = 1/f(x.
נגזור את (h(x: (נגזרת של מנה)

הנגזרת תמיד מוגדרת, מכיוון שנתון f(x) ≠ 0.
המכנה תמיד חיובי, ולכן המונה קובע את סימן הנגזרת.
לגבי המונה:
– כאשר f ‘ (x) > 0 , כלומר (f(x עולה, אזי (h ‘ (x שלילית, כלומר (h(x יורדת.
– כאשר f ‘ (x) < 0 , כלומר (f(x יורדת, אזי (h ‘ (x חיובית, כלומר (h(x עולה.
מש”ל.

לא קיים x עבורו g(x) = 0. נימוק:
הערך המינימלי שהפונקציה sin²x יכולה לקבל הוא 0.
ואז, על מנת שיתקיים g(x) = 0 , הפונקציה cosx צריכה לקבל את הערך 2-.
דבר זה לא ייתכן, מכיוון שהפונקציה cosx חסומה, והערך המקסימלי שהיא יכולה לקבל הוא 1.
לכן לא קיים x כזה.

על מנת לבדוק את זוגיות הפונקציה, נבדוק האם מתקיים: (g(-x) = g(x
g(-x) = sin²(-x) + cos(-x) + 2
(כידוע: (cos(-x) = cos(x – מכיוון שקוסינוס היא פונקציה זוגית.
(sin(-x) = -sin(x  – מכיוון שסינוס היא פונקציה אי זוגית.)
g(-x) = (-sinx)² + cosx + 2
מכיוון שמעלים בריבוע, נעלם המינוס שלפני הסינוס, ומקבלים:
(g(-x) = sin²x + cosx + 2 = g(x

ולכן (g(x היא פונקציה זוגית.

המחזור של הפונקציות הטריגונומטרית sin ו -cos הוא 2π.
כלומר, הן “מעתיקות” את עצמן בכל 2π יחידות.
לכן, כאשר מוסיפים 2π ל-x , הפונקציות יקבלו את אותו ערך בדיוק.
ובצורה פורמלית:
(cos(x + 2π) = cos(x
(sin(x + 2π) = sin(x

ולכן מתקיים:
(g(x) = g(x + 2π

נקודות קיצון: (בתחום  )
g ‘ (x) = 2sinx*cosx – sinx = 0
נוציא גורם משותף:
sinx*(2cosx – 1) = 0
–  sinx = 0
x₁ = 0 , x₂ = π
–  cosx = 1/2
   x₃ = π/3

נבדוק האם הן נקודות קיצון בעזרת טבלה:

לכן התשובה:
מקסימום: (3.25 , π/3)
מינימום: (3 , 0) , (1 , π)

סקיצה:
ראינו כי (g(x בעלת מחזור של 2π. לכן אנו יכולים להסיק מהטבלה הנ”ל פרטים לגבי שאר התחום.
בנוסף, (g(x פונקציה זוגית, ולכן ישנה סימטריה סביב ציר y. (ציר y מהווה “מראה”).

תחום הגדרה:
נשים לב כי   (h(x) = 1 / g(x.
בסעיף ב’ ראינו כי g(x)≠ 0 לכל x.
לכן המכנה של הפונקציה (h(x אינו מתאפס,
ולכן תחום ההגדרה הוא לכל x.

סקיצה:
נסיק מסקנות מסעיף א’ – כאשר (g(x עולה , (h(x יורדת – וגם להפך.
בנוסף, שיעורי ה – x של נקודות הקיצון זהים בין הפונקציות, ההבדל הוא בסוג נקודות הקיצון.

סעיף א

סעיף ב

x = 6 – 3√2

ראשית נוכיח דמיון משולשים בין CDE ל – LKE :
1. הזוויות ELK ו – EDC הן זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים ולכן שוות.
2. הזווית DEC משותפת לשני המשולשים.
לכן לפי משפט זווית-זווית, המשולשים דומים.

כעת נבצע בניית עזר, כך ש EF הגובה במשולש KLE, ו – EG הגובה במשולש CDE.

בעקבות דמיון המשולשים,  יחס הצלעות והגבהים בין המשולשים שווה. כלומר:

מתקיים: FG = 6, מכיוון שהצלע מקבילה לצלעות הריבוע.
לשם הנוחות, נסמן: EF = y.
לכן: EG = y + 6.

נציב הכל במשוואה הנ”ל:

נבצע כפל בהצלבה:
6y = xy + 6x
y(6 – x) = 6x

זוהי בעיית קיצון.
מטרתנו היא להביע את סכום שטחי המשולשים כפונקציה של x.
את הפונקציה הזו אנו נגזור וכך נמצא את ה – x עבורו הסכום מינימלי.

נמצא את שטחי המשולשים:

ניתן להביע את שטח שני המשולשים האחרים ע”י חיסור שטח הטרפז משטח הריבוע:

לכן הפונקציה המבטאת את סכום שטחי המשולשים:

נגזור על מנת למצוא את נקודת המינימום:

נשווה את המונה ל – 0 :
6x² + 72x – 108 = 0-
נחלק ב- 6- :
x² – 12x + 18 = 0

זו משוואה ריבועית, נפתור בעזרת נוסחת השורשים:

נשים לב כי x מסמן צלע שבוודאות קטנה מצלע הריבוע שאורכה 6.
לכן : x = 6 – 3√2

נוודא שזו אכן נקודת מינימום ע”י מבחן הנגזרת השנייה:
(המכנה תמיד חיובי, לכן נוכל לגזור רק את המונה)
f ” (x) = -12x + 72
f ” (6 – 3√2) = 50.91 > 0
הנגזרת השנייה בנקודה זו חיובית, לכן זו אכן נקודת מינימום.

תשובה: ערך ה -x עבורו סכום שטחי המשולשים מינימלי הוא: 
x = 6 – 3√2