בגרות במתמטיקה 5 יחידות שאלון 581 חורף 2019

סעיף א1

הפועלים היו אמורים לכרות ביום 24 מ”ק

סעיף א2

לכן עבודה 8 ימים

סעיף ב

הם סיימו 2/3 מהעבודה במהלך היום השישי

סעיף ג1

ההספק של פועל מנוסה יחיד הוא:

ההספק של פועל מתלמד יחיד קטן ב 1.

סעיף ג2

6 פועלים

נגדיר:
x  כמות העצים שאמורה הייתה קבוצה הפועלים לכרות ביום.
t  זמן העבודה המתוכנן
עבור אופן העבודה המתכננת המשוואה היא:
xt = 216
עבור העבודה בפועל.
3x זו כמות העצים שנכרתה בשלושת הימים הראשונים.
(x + 8) (t – 4)  זו כמו העצים שנכרתה לאחר מיכן.

המשוואה היא:
3x + (x + 8) (t – 4) = 232
נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונקבל:
x = 24
t = 9

דרך שנייה לפתרון
נגדיר
x  כמות העצים שאמורה הייתה קבוצה הפועלים לכרות ביום.
הזמנים:
זה זמן העבודה המתכנן.

בפועל הפועלים עבדו 3 ימים בהם כרתו 3x עצים.
לאחר מיכן עבדו עוד:

סך הכל העבודה בפועל הייתה קצרה ביום מהמתוכנן לכן המשוואה שלנו היא:

(216x + 216 * 8 = 232x – 3x² +4x (x +8
216x + 1728 = 232x -3x² + 4x² +32x
x² + 48x -1728 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הזו הם:
x = 24 או x = -72.
x הוא הספק חיובי ולכן התשובה היא x = 24.
תשובה: הפועלים היו אמורים לכרות ביום 24 מ”ק.

הזמן המקורי שהפועלים היו אמורים לעבוד הוא:
9 = 24 : 216
בפועל הפועלים עבדו יום פחות. לכן עבודה 8 ימים.

2/3 מהכמות המתוכננת הם:
144 = 216 * (2/3)

במהלך שלושת ימי העבודה הראשים הם עבוד בהספק 24, לכן כרתו
72 = 24 * 3
נותרו להם לאחר מיכן:
72 = 72 = 144

לאחר מיכן עבדו בקצב 32
2.25 = 32 : 72
לכן הם סיימו 2/3 מהעבודה במהלך היום השישי.

ההספק של כל קבוצת הפועלים המנוסים הוא 24.
לכן ההספק של פועל מנוסה יחיד הוא:

ההספק של פועל לא מנוסה יחיד קטן ב 1.

ההספק של m הצמדים הוא:

הם עבדו 8 ימים.
לכן המשוואה שלנו היא:

8m + 384 = 338-
8m = 46  / : 8
m=6
תשובה: בקבוצת הפועלים החדשה יש 6 פועלים.

נחשב סכום סדרה שבה 2n + 3 איברים.

נביע את a_{n + 2} ונציב משוואה אחת בשנייה.

נגדיר סכום בשתי דרכים:

1. מה שהראנו בסעיף א.
2. המשפט: סכום הסדרה הוא פי 43 מהאיבר האמצעי.

1. נזהה את מיקום האיבר האמצעי.
2. נבנה משוואה על פי ההבדל בין סכום המקומות הזוגיים והאי זוגיים.
3. נחפש דרך להציב את מה שמצאנו ב 1 במשוואה שקיבלנו ב 2.

סכום הסדרה גדול פי 43 מהאיבר האמצעי שמצענו בסעיף הקודם.

אם נדע את d נדע אם הסדרה עולה או יורדת.
נמצא את d בעזרת מה שאנו יודעים על האיבר האמצעי.

עלינו לזהות באיזה איבר הסדרה החדשה יכולה להתחיל ועדיין לכלול k איברים.

סעיף א1

(S_{2n +3} = a_{n +2} * (2n + 3

סעיף א2

מספר האיברים הוא 43

סעיף ב1

האיבר האמצעי שווה ל 40

סעיף ב2

S = 43 * 40 = 1720

סעיף ג

הפונקציה עולה

סעיף ד

44 – k

הרעיון של הפתרון

מכוון ששאלו אותנו על סכום נשתמש בנוסחת הסכום לחישוב הסכום.

מכוון שמופיע האיבר ה a_n+2 בנוסחה שקיבלנו נביע אותו בעזרת a₁,d.

פתרון

נגדיר

d  – הפרש הסדרה.

נחשב את ערך האיבר במקום ה a_n+2  על פי נוסחת האיבר הכללי.
a_n= a₁ + (n – 1)d
a_n+2 = a₁ + (n + 1)d

נחשב את סכום 2n + 3 איברי הסדרה.
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:

באגף ימין ניתן להוציא 2 מחוץ לסוגריים ולצמצם

נציב את המשוואה הזו
a_n+2 = a₁ + (n + 1)d
(זה הביטוי הקיים בצד השמאלי של המונה).

ונקבל:
(S_{2n +3} = a_{n +2} * (2n + 3

נזהה את האיבר האמצעי של הסדרה.
בסדרה שבה 2n + 3 איברים (מספר אי זוגי) האיבר האמצעי הוא:

0.5(2n + 3 + 1) = n + 2

a_{n + 2} הוא האיבר האמצעי.

על מנת למצוא את מספר האיברים נשתמש בנתון “סכום הסדרה גדול פי 43 מהאיבר האמצעי”
S_{2n +3} = 43 * a_{n +2}

בסעיף א מצאנו נוסחה אחרת לסכום:

(S_{2n +3} = a_{n +2} * (2n + 3

נשווה את הנוסחאות:
a_{n +2} * (2n + 3) = 43 * a_{n +2}

מכוון ש a_{n +2} שונה מ 0 ניתן לצמצם אותו.
2n + 3 = 43  / -3
2n = 40  / : 2
n = 20

מספר האיברים הוא 2n + 3. לכן מספר האיברים הוא 43.

זיהוי האיבר האמצעי
עלינו למצוא את האיבר האמצעי.
בסדרה 43 איברים.
a₂₂
הוא האיבר האמצעי אותו אנו מחפשים.

עבור סדרת המקומות האי זוגיים
a₁ האיבר הראשון.
2d הפרש הסדרה
n+ 2  = 22 מספר האיברים.
לכן סכום המקומות האי זוגיים יהיה:

עבור סדרת המקומות הזוגיים:
a₁ + d האיבר הראשון.
2d הפרש הסדרה
n+ 1  = 21 מספר האיברים.
לכן סכום המקומות הזוגיים הוא:

נתון כי סדרת המקומות האי זוגיים גדולה ב 40 לכן המשוואה היא:

נכפיל פי 2 ונקבל:

2a₁ + 42d) * 22  = (2a₁ + 42d) *21) + 80)
44a₁+ 924d  = 42a₁ + 882d + 80
2a₁ + 42d = 80
a₁ + 21d = 40

האיבר האמצעי הוא האיבר במקום ה 22.
על פי נוסחת האיבר הכללי:
a₂₂ = a₁ + 21d

לכן האיבר האמצעי שווה ל 40.

סכום הסדרה גדול פי 43 מהאיבר האמצעי לכן הסכום הוא:
S = 43 * 40 = 1720

סדרה עולה היא סדרה עם d חיובי, סדרה יורדת היא סדרה עם d שלילי.
לכן עלינו למצוא את d.

בסעיף הקודם מצאנו משוואה הכוללת את d.
a₁ + 21d = 40

נציב d = -a₁
ונקבל:
21d – d = 40
20d = 40  / : 20
d = 2
הפרש הסדרה חיובי ולכן הפונקציה עולה

בכל איבר בסדרה החדשה יש k איברים.
עלינו לזהות באיזה איבר בסדרה המקורית ניתן להתחיל ועדיין לכלול k איברים.

בסדרה המקורית 43 איברים.
על מנת שהאיבר האחרון יוכל לכלול k איברים הוא צריך להתחיל במקום ה n + 1 – k

למשל אם k = 3.
אז האיבר האחרון יכלול את האיברים 41,42,43.

התשובה היא:

43 + 1 – k = 44 – k

הגדירו:

P (A) = t

ונסו לבנות טבלה שבה

A הצלחה במתכונת.
B הצלחה בבגרות.

חשבו את ההסתברות המותנה שהדבר יקרה פעם אחת.
ואז העלו בריבוע על מנת למצוא את ההסתברות שזה יקרה פעמיים.

כך נראית הטבלה עבור שנת 2018 לאחר ההגדרה:
P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A) = k

סעיף א1

180 תלמדים עברו את המתכונת ואת הבגרות.

סעיף א2

0.4

סעיף א3

0.36 זו ההסתברות לבחור שני תלמידים כאלו

סעיף ב

k = a – a²

שאלה זו נפתרת בעזרת טבלה דו ממדית.

נגדיר
A הצלחה במתכונת.
B הצלחה בבגרות.

נתון עבור 2017
P (B¯) = 0.2
P (B / A) = 0.9
לכן:
P (B) = 0.8

אין לנו מידע על ההסתברות של A לכן נגדיר אותה כמשתנה:
P (A) = t
P (A ∩ B) = P (B / A) * P(A) = 0.9t

סיבה נוספת שבחרנו את P(A) כמשתנה היא שאנו יכולים לבנות בעזרתו משוואה.

אלו הנתונים הראשוניים שלנו:

בעזרתם ניתן לבנות את כל הטבלה:

המשפט שאיתו ניתן לבנות משוואה אומר:

“מספר התלמידים שעברו את בחינת המתכונת ונכשלו בבחינת הבגרות היה שווה למספר התלמידים שנכשלו בבחינת המתכונת ועברו את בחינת הבגרות”

(P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A

0.1t = 0.8 – 0.9t  / +0.9

t = 0.8

לכן הטבלה של 2017 נראית כך:

ההסתברות שתלמיד יעבור גם את בחינות המתכונת וגם את בחינות הבגרות היא:

0.9t = 0.9 *0.8 = 0.72

מספר התלמידים הוא 250. לכן מספר התלמידים הוא:

180 = 250 * 0.72

תשובה: 180 תלמדים עברו את המתכונת ואת הבגרות.

תשובה: 0.4.

זו ההסתברות המותנה עבור תלמיד יחיד:

כלומר ההסתברות שהמאורע יקרה עבור תלמיד יחיד היא 0.6.

ההסתברות שזה יקרה לשני תלמידים היא מכפלת ההסתברויות:

0.36 = 0.6 * 0.6

תשובה: 0.36 זו ההסתברות לבחור שני תלמידים כאלו.

על שנת 2018 אנו יודעים:

(P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A

נגדיר:

P (A∩ B¯) = P (B¯ ∩A) = k

ונבנה טבלה עבור שנת 2018:

(בשחור אלו הנתונים, באדום אלו המסקנות שהסקנו מהנתונים).

(P (A ∩ B¯) = P (B¯) * P(A
k = (1 -a) * a
k = a – a²

צריך להוכיח:

∠BFC = ∠BAD

שאלות מסוג זה נפתרות לפעמים באמצעות בניית עזר.

אבל לפני שנבנה אחת כזאת נראה אם ניתן להגדיר את זווית BAD.

נגדיר:

∠BFD  = 180 – x

ומכך נמצא:

∠BAD  = x

וגם:

∠BFC = ∠BAD = x

כך זה נראה בשרטוט:

משוואות מהסוג:

נבנות בדרך על ידי דמיון משולשים, תאלס או משפט חוצה זווית.

על מנת לפתור את הסעיף עלינו לבנות את בניית העזר AO.

לבניית העזר הזו יש 3 סיבות / רמזים שאנו צריכים לבנות אותה:

1.כאשר נבנה אותה ניצור את משולש ABO הכולל שתי צלעות שאנו זקוקים להם במשוואה (AB, BO).

2.בניית עזר בין נקודה ממנה יוצאים שני משיקים עם מרכז המעגל היא בניית עזר נפוצה.

3.בסעיף הקודם מצאנו:

∠BFC = ∠BAD

ואם אומרים לנו שחצו את BFC זה סביר שנצטרך לחצות את BAD.

זה השרטוט:

בסך הכל נקבל:

ΔABO ∼ ΔFCK

מדמיון משולשים זה נבנה את המשוואה:

בסעיף זה סביר שלא נראה את הפתרון המלא בתחילת הסעיף, אבל ניתן ללכת על פי קווים מנחים וכך להגיע לפתרון.

1.עלינו לבנות משוואה עם צלעות מסוימות.
הצלע KB שאנו צריכים היא צלע בעייתית כי היא לא שייכת למשולש ישר זווית. לא ניתן להשתמש בה באמצעות דמיון משולשים, תאלס, פיתגורס.

ניתן להשתמש בה באמצעות משפט חוצה הזווית.

לכן נבנה משוואה בעזרת משפט חוצה הזווית.

2.נבודד את KC כך שנוכל להשתמש בסעיף הקודם ו- “נקווה שנקבל את מה שביקשו מאיתנו”.

בסעיף הקודם קיבלנו:

לכן משתי המשוואות נקבל:

KB * AB = 2R * BO

ומכוון ש BO = R נקבל:

KB * AB = 2R²

S_BFK = 0.5FC * KB

S_CFK = 0.5FC * KC

לכן היחס בין השטחים הוא היחס שבין KB ל- KC.

בנוסף נשתמש במשפט חוצה הזווית ונקבל:

במשולש BCF הצלע BF היא היתר והצלע CF היא ניצב.
לכן:

BF > CF

לכן:

S_BFK > S_CFK

סעיף א1

∠ABF = β + 0.5α

סעיף א2

(AF =  2Rsin (β + 0.5α

סעיף ב

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

β = 53.13

דרך המחשבה המובילה לפתרון:

1.נחפש זוויות היקפיות / מרכזיות הנשענות על אותו מיתר – ולא נמצא.

2.לכן נחפש להגדיר את ABF בשני חלקים שונים.

∠ABF = β + ∠CBF

3.כרגע אין זווית הנשענת על המיתר CF.
ניצור את CAF.

∠CBF = 0.5a

(בגלל שאלכסוני המעוין הם חוצה זווית).

לכן:

∠ABF = β + 0.5α

קו מחשבה נוסף שיכול לעזור לנו הוא:

הנקודה F ממוקמת כך שהיא יוצרת מעוין.
כיצד תכונות המעוין עוזרות לנו לפתור את השאלה?

נשתמש במשולש AFB על מנת לבצע חישוב כי:

1.הוא כולל את הצלע המבוקשת AF.
2.הוא חסום במעגל שחוסם את ABC ולכן ניתן להשתמש ב – R כרדיוס המעגל החוסם.

על פי משפט הסינוסים במשולש AFB:

(AF = 2R * sin (∠ABF) = 2Rsin (β + 0.5α
(AF =  2Rsin (β + 0.5α

נחפש משולש שבו יש מספיק נתונים על מנת לבצע חישוב.

משולש כזה הוא AOE.

(AO =  Rsin (β + 0.5α
נובע מכך שאלכסוני המעוין חוצים זה את זה.

נוכיח כי האלכסון DE חוצה את המעוין לשני משולשים חופפים ולכן המשולשים הללו שווי שטח.
לכן שטח המעוין הוא פעמיים השטח של אחד מהמשולשים.

הוכחת החפיפה:
AD = FD,  AE = EF צלעות המעוין שוות זו לזו.
DE צלע משותפת.
DAE ≅ DFE על פי צ.צ.צ. ולכן אלו משולשים שווה שטח.
לכן נחשב את השטח של אחד המשולשים ונכפיל פי 2. כך נקבל את השטח של המעוין כולו.

כמו כן:
ABF = β + 0.5α = 90∠ זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה.
לכן:

שטח מעוין DAEF הוא כפול משטח משולש DAE.
לכן שטח המעוין הוא:

מכוון שהתשובה צריכה להינתן עם זווית של 0.5a נשנה את הזווית במונה ל 0.5a על ידי הזהות:
sin a = 2sin 0.5a cos 0.5a

בנוסף, להגעה לטנגנס נשתמש בנוסחה:

tan a = sin a / cos a

הסבר לדרך הפתרון

AF קוטר במעגל. זווית היקפית הנשענת על הקוטר היא ישרה, לכן:

∠ABF = 90°

נציב את ABF כתלות ב-a ו-β מסעיף א 1:

∠ABF = β + 0.5α

בשאלה זו ביקשו מאיתנו למצוא את β אבל אין משוואה פשוטה שניתן לבנות עם זווית β.
לכן נבנה משוואה הכוללת את a ואז נשתמש במשוואה מלמעלה:

β + 0.5α = 90

במעגל החסום במעוין נקודת מרכז המעגל נמצאת בנקודת המפגש של חוצה הזוויות.

נעביר רדיוס אל נקודת ההשקה של המעוין (הרדיוס OP).
משולש OPA הוא משולש ישר זווית כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
בנוסף אנו יודעים:

1. OP = 0.6R (נתון)
2. AO = 0.5AF = 0.5 * 2R = R אלכסוני המעוין חוצים זה את זה.
3. OAP = 0.5a אלכסוני המעוין חוצים את הזווית.

לכן:

sin∠PAO = PO / AO
sin 0.5a = 0.6R / R = 0.6
0.5a = 36.87
a = 73.74

נציב במשוואה:
β + 0.5α = 90
β + 36.87 = 90
β = 53.13

סעיף א1

סעיף א2

תחום ההגדרה: x ≠ 4 , x ≠ 0

סעיף א3

תחומי ירידה: x < 0 , x > 4

תחום עלייה:

0 < x < 4

סעיף א4

סעיף ב

סעיף ג

-2t

נתונה לנו הנגזרת השנייה של הפונקציה ומבקשים את הפונקציה עצמה, דבר המעיד לנו על ביצוע אינטגרל למציאת פונקציה קדומה.

נתונה לנו משוואת המשיק לפונקציה בנקודת הפיתול של הפונקציה, ולכן ערך הנגזרת בנקודת הפיתול.

נמצא את נקודת הפיתול:

בנקודת הפיתול הנגזרת השנייה מתאפסת, לכן:

-18(x – 4)⁴ + 18x⁴ = 0

x⁴ = (x – 4)⁴

לאחר הוצאת שורש רביעי נוצרות לנו שתי משוואות:

x = x – 4

-x = x – 4

מהמשוואה הראשונה נחסר x:

0 = – 4

פסוק שקר, לכן אין פתרון

מהמשוואה השנייה נקבל:

-x = x – 4

2x = 4  / : 2

x = 2

לכן יש רק חשודה אחת לפיתול- x = 2

מכיוון שנתון לנו שיש נקודת פיתול לפונקציה, אז אנו מבינים כי x = 2 זו נקודת הפיתול.

מכך וממשוואת המשיק y = 1.5x – 3 ידוע לנו כי

g ‘ (2) = 1.5

נמצא את הנגזרת ע”י ביצוע אינטגרל על הנגזרת השנייה:

= ∫-18x^-4 + 18(x – 4)^-4 dx = 6x^-3 -6(x – 4)^-3 + c

כעת למציאת c נציב: g ‘ (2) = 1.5

0.75 + 0.75 + c = 1.5

1.5 + c = 1.5

c = 0

לכן משוואת הנגזרת היא:

למציאת הפונקציה נבצע אינטגרל על הפונקציה:

= ∫6x^-3 – 6(x – 4)^-3 dx = -3x^-2 + 3(x – 4)^-2 + c₁ =

למציאת c₁ אנו צריכים להציב נקודה על הפונקציה.

אנו יודעים את משוואת המשיק ואת ערך x של נקודת ההשקה.

נציב את ערך x במשוואת המשיק למציאת ערך y של נקודת ההשקה, ואז נציב נקודה זו בפונקציה שמצאנו.

משוואת המשיק:

y = 1.5x – 3

נקודת ההשקה היא ב- x = 2. נציב במשוואה:

y = 1.5 * 2 – 3 = 3 – 3 = 0

נקודת ההשקה(גם נקודת הפיתול): (0 , 2)

משוואת הפונקציה שמצאנו:

0 = -0.75 + 0.75 + c₁

c₁ = 0

לכן הפונקציה היא:

אסור שהמכנים יתאפסו, לכן:

x – 4)² ≠ 0  / + 4)

x ≠ 4

x ≠ 0

תחום ההגדרה: x ≠ 4 , x ≠ 0

יש לנו כבר את נגזרת הפונקציה:

למציאת נקודת הקיצון נשווה את הנגזרת לאפס:

(x – 4)³ = x³

x – 4 = x  / -x

-4 = 0

פסוק שקר, לכן לפונקציה אין נקודות בהן הנגזרת מתאפסת, לכן החלוקה לתחומים היא רק לפי תחום ההגדרה:

נציב בנגזרת x עבור כל אחד מהתחומים לבדיקת חיוביות/שליליות:

תשובה:

תחומי ירידה: x < 0 , x > 4

תחום עלייה:

0 < x < 4

נאסוף את הנתונים שאספנו עד כה:

תחום ההגדרה: x ≠ 4 , x ≠ 0

נקודת פיתול: (0 , 2)

תחומי ירידה: x < 0 , x > 4

תחום עלייה:

0 < x < 4

לכן סקיצת הפונקציה נראית כך:

כדי לשרטט את h(x) אנו צריכים לשרטט קו אשר סימטרי לחלקים השליליים של g(x) ביחס לציר x:

בתחום

0 < x < 2

g(x) < 0

לכן:

h(x) = | g(x) | = -g(x)

סעיף א1

נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x הן: (0 , π) , (0 , 0) , (0.5π , 0)

סעיף א2

נק’ מקסימום: (0.5 , 6 / 5π) , (π / 6 , 0.5)

נק’ מינימום: (4- , 0.5π-) , (0.5π , 0) , (1.5π , -4)

סעיף א3

סעיף ב1

g(x) = f(x + 0.5π)

סעיף ב2

סעיף ב3

הוכחה

סעיף ג

הביטוי הנכון הוא ביטוי 2

למציאת נק’ החיתוך עם ציר y נציב בפונקציה: x = 0

f(x) = 2sin x + cos 2x – 1

f(0) = 2sin 0 + cos (2 * 0) – 1 = 1 – 1 = 0

נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0 , 0)

למציאת נק’ החיתוך עם ציר x נציב: y = 0

2sin x + cos 2x – 1 = 0

נשתמש בזהות:

cos 2α = 1 – 2sin²α

2sin x + 1 – 2sin²x – 1 = 0

sin²x – 2sin x = 02

2sin x (sin x – 1) = 0

מכאן יוצאות שתי משוואות:

sin x = 0

sin x – 1 = 0

מהמשוואה השנייה:

sin x = 1

x = 0.5π

מהמשוואה הראשונה:

sin x = 0

x = 0 , x = π

נק’ חיתוך עם ציר x הן: (0 , π) , (0 , 0) , (0.5π , 0)

תשובה סופית:

נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x הן: (0 , π) , (0 , 0) , (0.5π , 0)

למציאת נקודות הקיצון של הפונקציה נצטרך לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת לאפס:

f(x) = 2sin x + cos 2x – 1

f ‘ (x) = 2cos x – 2sin 2x = 0   / : 2

נשתמש בזהות: sin2x = 2sin(x) cos(x)

cos x – 2sin(x) cos(x)= 0

cos x (1 – 2sin x) = 0

cos x = 0

x = -0.5π , x = 0.5π , x = 1.5π

1 – 2sin x = 0  / + 2sin x

1 = 2 sin x  / : 2

sin x = 0.5

x = π / 6 , x = 5π / 6

סה”כ נק’ חשודות לקיצון:

x = -0.5π , x = 0.5π , x = 1.5π , x = π / 6 , x = 5π / 6

נציב בנגזרת x עבור כל תחום לבדיקת חיוביות/שליליות הנגזרת:

f ‘ (x) = 2cos x – 2sin 2x

עבור

-0.5π < x < π / 6

f ‘ (0) = 2cos 0 – 2sin (2 * 0) = 2 > 0

עבור

π / 6 < x < 0.5π

f ‘ (π / 3) = 2cos(π / 3) – 2sin(2π / 3) = -0.73 < 0

עבור

0.5π < x < 5π / 6

f ‘ (2π / 3) = 2cos(2π / 3) – 2sin(4π / 3) = 0.73 > 0

עבור

5π / 6 < x < 1.5π

f ‘ (π) = 2cosπ – 2sin2π = -2 < 0

מצאנו כי בנקודות הבאות יש נק’ קיצון:

x = -0.5π , x = 0.5π , x = 1.5π , x = π / 6 , x = 5π / 6

למציאת ערכי y של נקודות הקיצון נציב את ערכי ה-x בפונקציה:

f(x) = 2sin x + cos 2x – 1

f(-0.5π) = 2sin(-0.5π) + cos(-π) – 1 = -4

f(π / 6) = 2sin(π / 6) + cos(2π / 6) – 1 = 0.5

f(0.5π) = 0 חישבנו בסעיף קודם

f(5π / 6) = 2sin(5π / 6) + cos(10π / 6) – 1 = 0.5

f(1.5π) = 2sin(1.5π) + cos(3π) – 1 = -4

תשובה סופית:

נק’ מקסימום: (0.5 , 6 / 5π) , (π / 6 , 0.5)

נק’ מינימום: (4- , 0.5π-) , (0.5π , 0) , (1.5π , -4)

ת”ה:

-0.5π < x < 1.5π

נסכם את הנתונים שמצאנו עד כה:

נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x הן: (0 , π) , (0 , 0) , (0.5π , 0)

נק’ מקסימום: (0.5 , 6 / 5π) , (π / 6 , 0.5)

נק’ מינימום: (4- , 0.5π-) , (0.5π , 0) , (1.5π , -4)

לכן סקיצת הפונקציה תיראה כך:

הפונקציה g(x) היא הפונקציה g(x) מוזזת 0.5π שמאלה, לכן:

g(x) = f(x + 0.5π)

g(x) = f(x + 0.5π)

f(x) = 2sin x + cos 2x – 1

נשתמש בזהות:

cos2x = 1 – 2sin²x

f(x) = 2sinx + 1 – 2sin²x – 1 = 2sinx – 2sin²x

g(x) = f(x + 0.5π) = 2sin(x + 0.5π) – 2sin²(x + 0.5π)

x + 0.5π = π – (0.5π – x)

g(x) = 2sin(π – (0.5π – x)) -2sin²(π – (0.5π – x))

נשתמש בזהות:

sinα = sin(π – α)

g(x) = 2sin(0.5π – x) – 2sin²(0.5π – x)

נשתמש בזהות:

sin(0.5π – α) = cosα

g(x) = 2cos(x) – 2cos²(x)

כעת נשתמש בזהות:

cos(-α) = cos(α)

g(-x) = 2cos(-x) – 2cos²(-x) = 2cos(x) – 2cos²(x) = g(x)

g(-x) = g(x)

לכן הפונקציה זוגית

נגדיר:

F(x) – הפונקציה הקדומה של f(x)

לכן הביטוי הנכון הוא ביטוי 2.

סעיף א

DE = 150 / x

סעיף ב1

סעיף ב2

x = √150

עלינו להביע את AE.

אם נדע את S_DAE נדע את AE.

אנו יכולים לדעת את S_ADE ובאמצעותו את S_DAE.

שטח המשולש ΔABC:

= S_ΔABC = 0.5 * AB * AC * sinα

= 0.5 * 30 * 20 * sinα = 300 * sinα

שטח המשולש ΔADE:

נתון כי שטח המשולש ΔADE הוא רבע משטח המשולש ΔABC, לכן:

S_ΔADE = 0.25 * 300 * sinα

S_ΔADE  = 75 * sinα

נביע את AE

S_ΔADE = 0.5 * AD * AE * sinα

75 * sinα = 0.5 * x * AE * sinα

75 = 0.5x * AE

AE = 150 / x

מבקשים:

“הבע באמצעות a את האורך המינימלי של הקטע DE “

לסעיף זה נשתמש במשפט הקוסינוסים על המשולש ΔADE:

DE² = AD² + AE² – 2AD * AE * cos∠ADE

מכיוון שדורשים מאיתנו להביע באמצעות α את אורך DE המינימלי, נגדיר פונקציה שהיא אורך DE כאשר α הוא פרמטר.

להוצאת שורש יש שתי תשובות, אך התשובה הבאה נפסלת כי DE > 0.

למציאת האורך המינימלי, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס:

כמו כן נשים לב ש α קבוע ולא משתנה שעל פיו אנו גוזרים.

לכן הנגזרת של”

300cos α

היא 0.

x⁴ – 150² = 0

(x² – 150)(x² + 150) = 0

(x – √150)(x + √150)(x² + 150) = 0

מכיוון ש-x הוא אורך של צלע, הוא לא יכול להיות שלילי, לכן הפתרון הרלוונטי למשוואה(חשוד למינימום) הוא:

x = √150

נוודא שאכן מדובר בנקודת מינימום:

12.24 ≈ 150√

לכן נציב בנגזרת x עבור כל תחום לבדיקת חיוביות/שליליות:

שימו לב שמכנה הנגזרת חיובי בכל תחום ההגדרה ולכן ניתן להציב במונה בלבד.

עבור x > √150 :

f ‘ (13) > 0

עבור x < √150 :

f ‘ (10) < 0

לכן עבור x = √150 אורך DE הוא מינימלי.

נמצא את האורך ע”י הצבת x = √150 בפונקציה:

לכן האורך המינימלי של DE הוא:

מבקשים מאיתנו:

הסק מתת סעיף ב1 את הערך של x שבעבורו היחס

הוא מינימלי.

פתרון

מצאנו בסעיף הקודם מתי המונה מינמלי.

מה לגבי המכנה?

AB = 20

AC = 30

וגם גודל הזווית BAC∠ קבוע,

לכן BC קבוע.

לכן היחס DE / BC מינימלי כאשר DE מינימלי.

מצאנו כי DE מינימלי כאשר x = √150.

לכן ערך x עבורו DE הוא מינימלי הוא x = √150.

1.

לאורך התרגיל מדברים איתנו על שני דברים x, DE.

כל פעם במרכז החישוב שלנו יש משהו אחד שהוא לא בהכרח מה ששואלים עליו.

לכן שימו לב שמה שבמרכז החישוב ומה ששואלים עליו יכולים להיות שני דברים שונים.

2.

לדעת שאם מבקשים את DE למשוואה הזו יש שני פתרונות:

שהם:

אבל מכוון ש DE הוא גודל של צלע (חיובי) הביטוי השני נפסל.

3.

כאשר מבקשים מאיתנו לגזור את DE.

לשים לב ש:
300cos a

הוא מספר ולכן הנגזרת שלו היא 0.

4.

לדעת לפתור את המשוואה:

x⁴ – 150² = 0

על ידי הפירוק:

(x² – 150)(x² + 150) = 0

לפסול את מה שלא צריך.

(x – √150)(x + √150) = 0

ואז שוב לפסול.

x = √150

5.

שימו לב שבשני דברים בסיכום עלה הנושא של פסילת תשובות בגלל חיוביות / שליליות.