פונקציה אי זוגית

בדף זה נלמד:

1. מהי פונקציה אי-זוגית?
2. איך מזהים פונקציה אי-זוגית בגרף?
3. כיצד פונקציה אי-זוגית תורמת לנו כאשר אנו חוקרים את הפונקציה?

• בפרק הקודם למדנו על פונקציה זוגית.

1.סרטון הסבר

2.זיהוי פונקציה אי-זוגית

התכונה של פונקציה אי זוגית היא:

f(-x) = – f(x)

נסביר את התכונה בהמשך.

זיהוי על פי גרף

כאשר אני רוצה לבדוק אם פונקציה אי זוגית על פי גרף אני פועל כך:

1.בודק אם הפונקציה חותכת את ציר ה y.
אם היא חותכת היא חייבת לעבור בראשית הצירים.
אם היא חותכת את ציר ה y ולא עוברת בראשית הצירים אז הפונקציה לא אי זוגית.

2.לוקח שתי נקודות על הפונקציה ובודק אם הם מקיימות את הכלל f(x) = – f(-x).
כלומר אם אני מזהה שהנקודה (3,4) נמצאת על הפונקציה אז אני בודק אם הנקודה

(-3, -4)

נמצאת על הפונקציה, כך עבור שתי נקודות.

3.מסתכל בעין אם הפונקציה נראית אי זוגית – כלומר סימטרית ביחס לראשית הצירים.

הוכחה מתמטית שפונקציה אי זוגית

הוכחה מתמטית
פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת:

(f(x) = -f(-x  לכל x בתחום הגדרתה.

במילים המשוואה הזו אומרת שאם שכאשר אנו נציב x- במשוואת הפונקציה ונקבל את הפונקציה המקורית f(x) כפול 1-.

למשל עבור הפונקציה:

f(x) = x⁵ – x³

אם נקבל:

f(-x) = – (x⁵ – x³)

אז הוכחנו בכך שהפונקציה אי זוגית.

כמו כן לפעמים תראו את הכיתוב:

f(-x) = -f(x).

שתי המשוואות הללו נכונות ושתיהן מוכיחות פונקציה אי זוגית, אם כי המשוואה הראשונה מוכרת ונפוצה הרבה יותר.

(המשוואה השנייה היא כפל פי 1- של המשוואה הראשונה).

על מנת להוכיח בפועל מציבים x = a במשוואת הפונקציה, ולאחר מכן מציבים x = -a במשוואת הפונקציה.

במידה ומתקיים (f(a) = -f(-a , זוהי פונקציה אי – זוגית.

דוגמה להוכחה

הוכיחו כי הפונקציה f(x) = x³ היא אי זוגית.

פתרון

נציב x- בפונקציה.

f(x) = x³

f (-x) = (-x)³ = -x³

קיבלנו עבור x- ביטוי שהוא כפול 1- של הפונקציה המקורית ולכן זו פונקציה אי זוגית

דוגמאות לגרפים של פונקציות אי זוגיות

1. f(x) = x³

 

2. f(x) = x

 

3.הערה שתקל עליכם לזהות פונקציות אי זוגיות

אם פונקציה אי זוגית חותכת את ציר ה y אז היא עוברת בראשית הצירים.

כלומר אם פונקציה אי זוגית מוגדרת עבור x = 0 אז הפונקציה עוברת בראשית הצירים.

בעזרת כלל זה תוכלו לפסול כל פונקציה שחותכת את ציר ה y לא בראשית הצירים מלהיות פונקציה אי זוגית.

כיצד מוכיחים את זה?

נוכיח הוכחה שבשלילה.

נניח שיש נקודה A(0,t) שנמצאת על פונקציה אי זוגית.

כאשר t ≠ 0 (כלומר הנקודה A היא לא ראשית הצירים).

ונראה שהדבר אינו אפשרי.

פתרון

נניח כי הנקודה A(0,t) נמצאת על הפונקציה אי זוגית.

לכן גם הנקודה:

(-0, -t)

צריכה להיות על הפונקציה.

נובע מכך שהפונקציה חותכת את ציר ה y בשתי נקודות שונות.

אנו יודעים שלפונקציה לא יכולות להיות שתי נקודות חיתוך עם ציר ה y ולכן המצב שבו יש נקודה A(0,t)

כאשר t ≠ 0, על פונקציה אי זוגית הוא מצב שאינו אפשרי.

 

שימו לב!

הנקודה 0,0 חייבת להיות נקודת החיתוך היחידה עם ציר ה y (אם יש נקודת חיתוך כזו).

אבל הנקודה 0,0 לא חייבת להיות נקודת החיתוך היחידה עם ציר ה x.

יכולות להיות עוד נקודות חיתוך עם ציר ה x.

אבל 0,0 חייבת להיות אחת מנקודות החיתוך.

בעזרת שיטה זו תוכלו לדעת באופן מיידי שהפונקציות הבאות אינן פונקציות אי זוגיות.

4.תרגילים: זיהוי פונקציות אי זוגיות בגרף

תרגיל 1

התבוננו בגרף הבא וקבעו אם הוא מתאר היא אי – זוגית או לא.

תרגיל 2

התבוננו בגרף הבא וקבעו אם הוא מתאר היא אי – זוגית או לא.

 

תרגיל 3

התבוננו בגרף הבא וקבעו אם הוא מתאר היא אי – זוגית או לא.

תרגיל 4

התבוננו בגרף הבא וקבעו אם הוא מתאר היא אי – זוגית או לא.

5.זיהוי פונקציה אי זוגית בעזרת משוואה

6.כיצד פונקציה אי זוגית תורמת לנו כאשר אנו חוקרים את הפונקציה?

7.תרגיל בנושא חקירת פונקציות אי זוגיות