פונקציה אי זוגית

בדף זה נלמד:

  1. מהי פונקציה אי-זוגית?
  2. איך מזהים פונקציה אי-זוגית?
  3. כיצד פונקציה אי-זוגית תורמת לנו כאשר אנו חוקרים את הפונקציה?

1. מהי פונקציה אי-זוגית?

זיהוי על פי גרף
פונקציה אי זוגית אי פונקציה סימטרית ביחס לנקודת ראשית הצירים.
המשמעות המעשית היא שאם לוקחים את גרף הפונקציה ומסובבים אותו ב 180 מעלות מקבלים את אותו גרף.

כמו כן: פונקציה אי-זוגית היא פונקציה בעלת סימטריה "הפוכה" ביחס לציר y.
כלומר , אם נקפל את הדף , כך שציר y יהיה פס הקיפול , נקבל שני חצאים זהים , אך הפוכים ביחס לציר x.
(ראו דוגמאות)

הוכחה מתמטית
פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת:
(f(x) = -f(-x  לכל x בתחום הגדרתה.
על מנת להוכיח מציבים x = a במשוואת הפונקציה, ולאחר מכן מציבים x = -a במשוואת הפונקציה.
במידה ומתקיים (f(a) = -f(-a , זוהי פונקציה אי – זוגית.

לדוגמה
נוכיח כי הפונקציה f (x) = x³ היא אי זוגית.
נציב x = a
f (a) = a³
f (-a) = (-a)³ = -a³

קיבלנו כי
(f(a) = -f(-a
ולכן זו פונקציה אי זוגית.

כלומר, ערך הפונקציה עבור x כלשהו יהיה הפוך בסימן מערך הפונקציה עבור אותו x בסימן הפוך.

דוגמאות לגרפים של פונקציות אי זוגיות

  1. f(x) = x3

דוגמה ל"קיפול" הדף –  הפונקציה תיראה כך:
כלומר , סימטרית ביחס לציר x.

2. f(x) = x

דוגמה ל"קיפול" הדף –  הפונקציה תיראה כך:
כלומר , סימטרית ביחס לציר x.

הערה שתקל עליכם לזהות פונקציות אי זוגיות

אם פונקציה אי זוגית חותכת את ציר ה x אז היא עוברת בראשית הצירים.
בעזרת כלל זה תוכלו לפסול כל פונקציה שחותכת את ציר ה x לא בראשית הצירים מלהיות פונקציה אי זוגית.

כיצד מוכיחים את זה?
עבור פונקציות אי זוגיות מתקיימת המשוואה:
(f(x) = -f(-x
נציב x=0 במשוואה זו ונקבל:
(f(0) = -f(-0

למה (f (0 יכול להיות שווה ולקיים את המשוואה הזו?
רק ל 0.
במקרה זה נקבל:
0 – = 0

לעומת זאת אם f (0) = 5 אז נקבל
5 – = 5

שימו לב!
הנקודה 0,0 לא חייבת להיות נקודת החיתוך היחידה עם ציר ה x.
יכולות להיות עוד נקודות.
אבל 0,0 חייבת להיות אחת מנקודות החיתוך.

בעזרת שיטה זו תוכלו לדעת באופן מיידי שהפונקציות הבאות אינן אי זוגיות.

שתי הפונקציות הם לא אי זוגיות כי הן חותכות את ציר ה x בנקודה שאינה x=0
שתי הפונקציות הם לא אי זוגיות כי הן חותכות את ציר ה x בנקודה שאינה x=0

 

תרגילים: זיהוי פונקציות אי זוגיות בגרף

תרגיל 1

התבוננו בגרפים הבאים וקבעו עבור כל גרף האם הפונקציה אותה הוא מתאר היא אי – זוגית או לא.

גרף ראשון

פתרון

פונקציה אי – זוגית.

נימוק: ניתן לראות כי אם "נקפל" את הדף , נקבל שני חלקים סימטריים ביחס לציר x .
כלומר , קיימת סימטריה הפוכה ביחס לציר y.

"קיפול" הדף:

 

גרף שני

פתרון

פונקציה אי – זוגית.

נימוק: ניתן לראות כי אם "נקפל" את הדף , נקבל שני חלקים סימטריים ביחס לציר x .
כלומר , קיימת סימטריה הפוכה ביחס לציר y.

"קיפול" הדף:

 

ג.

פתרון

לא פונקציה אי – זוגית.

נימוק:  אם "נקפל" את הדף , לא תהיה סימטריה ביחס לציר x.

קיפול הדף: (ניתן לראות כי יש סימטריה סביב הישר y = 3 , אך לא ביחס לציר x)

 

ד.

פתרון

פונקציה אי – זוגית.

נימוק: ניתן לראות כי אם "נקפל" את הדף , נקבל שני חלקים סימטריים ביחס לציר x .
כלומר , קיימת סימטריה הפוכה ביחס לציר y.

"קיפול" הדף:

הערה: זוהי הפונקציה (f(x) = sin(x .
פונקציה זו היא אחת הדוגמאות הנפוצות לפונקציה אי – זוגית.
משתמשים בתכונה זו הרבה , וכדאי לזכור את sinx כפונקציה אי – זוגית.

זיהוי פונקציה אי זוגית בעזרת משוואה

קבעו עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, האם היא אי-זוגית או לא.

תרגיל 1
f(x) = x5

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
f(a) = a5

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
f(-a) = (-a)5

זוהי חזקה אי זוגית, ולכן :
a)5 = -a5-)

(f(a) = – f(-a , ולכן זוהי פונקציה אי – זוגית.

תרגיל 2
f(x) = 3x – 7

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
f(a) = 3a – 7

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
f(-a) = -3a – 7

לא מתקיים : (f(a) = -f(-a ,
לכן זוהי אינה פונקציה אי זוגית.

תרגיל 3
f(x) = x3 – x

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
f(a) = a3 – a

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
(f(-a) = (-a)3 – (-a

החזקה היא חזקה אי זוגית, ולכן :
a)3 = -a3-)

לכן:
f(-a) = -a3 + a

(f(a) = – f(-a , ולכן זוהי פונקציה אי – זוגית.

4.כיצד פונקציה אי זוגית תורמת לנו כאשר אנו חוקרים את הפונקציה?

כפי שכבר ראינו, פונקציה אי זוגית היא פונקציה בעלת סימטריה הפוכה ביחס לציר y.

בשונה מפונקציה זוגית , בה יש סימטריה מוחלטת ביחס לציר y , ולכן הפונקציה "משוכפלת" משני הצדדים ,
בפונקציה אי – זוגית יש סימטריה הפוכה , שקצת מקשה על הסקת המסקנות.

לכן חשוב לזכור : 
א. נקודת מינימום בצד אחד  => בצד השני היא תהיה נקודת מקסימום.

ב. בכל המרה של נקודה מצד אחד של ציר y לצד השני , נהפוך את הסימן גם בשיעור ה – x וגם בשיעור ה – y.

דוגמה:

  1. f(x) = x3 – 9x

זוהי פונקציה אי – זוגית.

נניח כי מצאנו :
– נקודת מקסימום : (10.392 , 3√- )

אז נוכל להסיק:
– נקודת מינימום : (לפי כלל א' זוהי נקודת מינימום)
לפי כלל ב' , שיעורי הנקודה הם:
(10.392- , 3√)

4. תרגילים בנושא חקירת פונקציות אי זוגיות

תרגיל 1
נתונה הפונקציה:
f(x) = x5 – (20/3)*x3

נתון כי נקודת המינימום של הפונקציה היא : (21.333- , 2)

מצא את המרחק בין נקודת המינימום לנקודת המקסימום.

פתרון

דרך אחת – המסובכת יותר – היא למצוא את נקודת המקסימום בשיטה הרגילה – לפי הנגזרת.

הדרך השנייה – לפיה נפעל – היא לפי תכונת האי – זוגיות של הפונקציה.

פונקציה זו היא אי -זוגית , מכיוון שמתקיים (f(x) = -f(-x.

לכן אנו יודעים כי נקודת המקסימום היא : (21.333 , 2- )
(הפכנו את הסימן של שיעורי ה – x וה- y ).

לכן המרחק: 

תשובה: המרחק בין נקודות הקיצון הוא 42.853.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “פונקציה אי זוגית”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לפונקציה זוגית או אי זוגית יש תכונות. לפונקציה שהיא לא כזו אין את התכונות הללו ואין לכך שם

  1. האם זה קבוע שכשהאיקס בחזקה זוגית אז הפונקציה זוגית וכשהאיקס אי זוגי הפונקציה אי זוגית????????

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם הפונקציה כוללת איבר אחד בלבד אז כן.
      אם הפונקציה כוללת גם איברים נוספים אז זה תלוי גם בהם.
      בהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.