פונקציה זוגית

בדף זה נלמד:

  1. סרטון הסבר.
  2. מהי פונקציה זוגית? כיצד נזהה גרף של פונקציה זוגית וכיצד נוכיח שפונקציה היא זוגית.
  3. תרגילים: זיהוי של פונקציה זוגית בגרף.
  4. תרגילים: הוכחה אלגברית שפונקציה היא זוגית.
  5. הוכחה ששילוב של פונקציות הוא פונקציה זוגית.
  6. כיצד פונקציה זוגית תורמת לנו כאשר אנו חוקרים פונקציות.

1.סרטון הסבר

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

2.מהי פונקציה זוגית?

הסבר במילים:
פונקציה זוגית היא פונקציה סימטרית ביחס לציר y.
כלומר, אם נקפל את הדף, כך שציר y יהיה פס הקיפול , נקבל שני חצאים זהים לחלוטין.
ציר ה y הוא "מראה" שמני הצדדים שלו אנו רואים את אותו דבר.

הוכחה מתמטית
פונקציה זוגית היא פונקציה המקיימת:
(f(x) = f(-x, לכל x בתחום הגדרתה.

לכן אם יש לנו את משוואת הפונקציה נוכיח ש (f(x) = f(-x על ידי הצבה x =a וגם x = -a במשוואת הפונקציה.
אם נקבל
(f(a) = f(-a
אז הפונקציה זוגית.

לדוגמה:
נוכיח כי f (x) = x4 היא פונקציה זוגית.
נציב x = a
f (a) = a4
נציב x = -a
f (-a) = (-a)4 = a4

קיבלנו ש:
(f (a) = f (-a
ולכן זו פונקציה זוגית.

דוגמאות לגרפים של פונקציות זוגיות

f(x) = x2

ניתן לראות ש f(x) = x² סימטרית כלפי ציר ה y.

|f(x) = -|x (מינוס הערך המוחלט של x)

ניתן לראות שהפונקציה |f(x) = -|x סימטרית כלפי ציר ה y.

f(x) = 4 (כל פונקציה קבועה היא פונקציה זוגית)

ניתן לראות שהפונקציה f(x) = 4 סימטרית כלפי ציר ה y.

3.תרגילים: זיהוי פונקציה זוגית בעזרת גרף

תרגיל 1
התבוננו בגרפים הבאים וקבעו עבור כל גרף האם הפונקציה אותה הוא מתאר היא זוגית או לא.

גרף ראשון

פתרון
לא פונקציה זוגית

נימוק גרפי
 ניתן לדמיין קיפול של הדף , ולראות כי שני הצדדים אינם זהים.
אין סימטריה ביחס לציר y.

נימוק מספרי
ניתן לראות כי לא מתקיים  (f(x) = f(-x, כנדרש לפונקציה זוגית.
למשל f (1) = 2
לעומת f (-1) = -3

גרף שני

פתרון

פונקציה זוגית

נימוק:
אם נדמיין קיפול של הדף לפי ציר y, נשים לב כי נקבל שני חלקים זהים לחלוטין.
יש סימטריה ביחס לציר y.

גרף שלישי

פתרון

לא פונקציה זוגית

נימוק: ניתן לדמיין קיפול של הדף, ולראות כי שני הצדדים אינם זהים.
דוגמה לקיפול של של הדף היא להסתכל על x =1.5 ולראות שערך ה y שלו הוא בערך 1.
לעומת זאת ערך ה y של x = -1.5 הוא בערך 1-.
לכן אין סימטריה ביחס לציר y.

כמו כן ניתן לראות כי לא מתקיים  (f(x) = f(-x  , כנדרש לפונקציה זוגית.

גרף רביעי

פתרון

פונקציה זוגית

נימוק: אם נדמיין קיפול של הדף לפי ציר y , נשים לב כי נקבל שני חלקים זהים לחלוטין.
יש סימטריה ביחס לציר y.
כמו כן ניתן לראות כי אם ניקח x כלשהו , ואז ניקח את x- , נקבל אותו ערך y.

4.תרגילים: הוכחה מתמטית שפונקציה היא זוגית

קבעו עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, האם היא זוגית או לא.

תרגיל 1
f(x) = x3

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
f(a) = a3

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
f(-a) = (-a)3

(f(a) ≠ f(-a , ולכן זוהי אינה פונקציה זוגית.

תרגיל 2
(f(x) = cos(x

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
(f(a) = cos(a

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
(f(-a) = cos(-a
נשתמש בזהות הטריגונומטרית:
(cos(-a) = cos(a
ונקבל:
(f(-a) = cos(-a) = cos(a

(f(a) = f(-a , ולכן זוהי פונקציה זוגית.

תרגיל 3
f(x) = 2x + 5

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
f(a) = 2a + 5

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
f(-a) = -2a + 5

(f(a) ≠ f(-a , ולכן זוהי אינה פונקציה זוגית.

תרגיל 4
 (f(x) = sin(x

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
(f(a) = sin(a

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
(f(-a) = sin(-a

(f(a) ≠ f(-a , ולכן זוהי אינה פונקציה זוגית.

תרגיל 5
f(x) = -3

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
f(a) = -3

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
f(-a) = -3

(f(a) = f(-a , ולכן זוהי פונקציה זוגית.

תרגיל 6
f(x) = x4 – 1

פתרון
נציב x = a במשוואת הפונקציה:
f(a) = a4 – 1

נציב x = -a במשוואת הפונקציה:
f(-a) = (-a)4 – 1

זוהי חזקה זוגית , ולכן מתקיים:
a4 = (-a)4
לכן :
f(-a) = a4 – 1

(f(a) = f(-a , ולכן זוהי פונקציה זוגית.

5.הוכחה ששילוב של פונקציות הוא פונקציה זוגית

ידוע כי הפונקציה (f(x והפונקציה (g (x הן פונקציות זוגיות.
האם גם הפונקציות הבאות זוגיות.

(h (x) = f ²(x
h (x) = f(x) + 1
(h (x) = g(x) + f (x
(h (x) = x * f(x

פתרונות

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

6.כיצד פונקציה זוגית תורמת לנו כאשר אנו חוקרים את הפונקציה?

כפי שכבר ראינו , פונקציה זוגית היא פונקציה סימטרית ביחס לציר y.
לכן, אם מצאנו מידע כלשהו לגבי הפונקציה מצד אחד של ציר y , אותו מידע בדיוק תקף גם לצד השני.

דוגמאות:

  1. (f(x) = cos(x

נניח כי מצאנו 2 נקודות קיצון :
– מקסימום : x = 2π
– מינימום : x = π

מכיוון ש cosx היא פונקציה זוגית ,
נוכל ישר להסיק כי ישנה עוד נקודת מקסימום ב – x = -2π ,
ועוד נקודת מינימום ב – x = -π

 

2. f(x) = 2x2 – x4

נניח כי מצאנו נקודת מקסימום עבור x = 1 ,
ונקודת חיתוך עם ציר x עבור x = √2

מכיוון שהפונקציה הנ"ל זוגית , נוכל ישר להסיק:
* קיימת נקודת מקסימום עבור  x = -1.
* יש נקודת חיתוך עם ציר x עבור x = -√2.

 

7.תרגילים בנושא חקירת פונקציות זוגיות

בחלק זה שני תרגילים.

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “פונקציה זוגית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.