כבידה וגרביטציה

בדף זה תרגילים בנושא גרביטציה.

תרגיל 1
ידוע שרדיוס כד"א הוא 6,378 ק"מ, ותאוצת הכובד על פני כד"א היא 9.8 מטר לשנייה בריבוע.
חשבו את מסת כדור הארץ.

פתרון
עפ"י חוק הכבידה הכוח הפועל בין שני גופים הוא:
F = GMm / r² (משוואה 1)
הכוח שכדור הארץ מפעיל על גופים קרובים הוא:
F = ma = mg (משוואה 2)

נשווה את משוואות 1 ו 2:
(כוח הכבידה = הכוח שכדור הארץ מפעיל על גופים קרובים)
mg = GMm/r2
g = GM/r2
M = gr² / G

הצבת נתונים:
g = 9.8 m/s
r = R= 6.378 * 106 m
G = 6.67 * 10-11
(ME = 9.8 * (6.378 * 106)² / (6.67 * 10-11
ME = 5.976 * 1024 kg

תשובה: מסת כד"א היא 1024 * 5.976 ק"ג.

 

תרגיל 2
לווין בעל מסה m מסתובב סביב פלנטה בעלת מסה Mp ורדיוס Rp בגובה H מעל פני הפלנטה.
א. מצאו ביטוי למהירות המשיקית v בה נע הלווין בעזרת הפרמטרים הנתונים וקבוע הגרביטציה G.
נתון:
H = 105 m
Rp = 6 * 105 m
Mp = 3 * 1020 kg

ב. חשבו את מהירות הלווין.
ג. בעקבות תקלה טכנית מאבד הלווין 5% ממהירותו. מצאו ביטוי לגובה החדש בו יסתובב הלווין.

פתרון
הלווין נע בתנועה מעגלית. הכוח הרדיאלי הפועל עליו מקיים:
FR = maR = mv² / r  (משוואה 1)
הפלנטה מפעילה על הלווין כוח כבידה שערכו על פי חוק הכבידה הוא:
F = GMpm / Rp²
כוח זה הוא גם הכוח הרדיאלי, כלומר:
FR = GMpm / Rp² (משוואה 2)

נשווה את משוואות 1 ו 2:
(הכוח הגרוויטציה = הכוח שפועל בתנועה מעגלית)
mv² / r = GMpm / Rp²
r  הוא רדיוס הסיבוב של הלווין סביב הפלנטה. מרכז המעגל הוא מרכז הפלנטה, לכן רדיוס הסיבוב הוא:
r = Rp + H. נציב בחזרה:
mv² / (Rp + H) = GMpm / Rp²
v² = GMp *  (Rp + H) / Rp

(v = √(GMpm *  (Rp + H) / Rp²

תשובה: המהירות המשיקית של הלווין נתונה ע"י: (v = √(GMp *  (Rp + H) / Rp²

סעיף ב
הצבת נתונים במשוואה מסעיף א:
נתון:
H = 105 m
Rp = 6 * 105 m
Mp = 3.085 * 1020 kg
G = 6.67 * 10-11

(v = √(6.67 * 10-11 * 3.085 * 1020 * (1+6) * 105 / (6 * 105
v = 200 m/s

סעיף ג
נבודד את H מהביטוי לv בסעיף א:
(v = √(GMp *  (Rp + H) / Rp²
(v²Rp² = GMp(Rp + H
H = ( v²Rp² / GMp ) – Rp

נציב נתונים:
Rp = 6 * 105 m
Mp = 3.085 * 1020 kg
G = 6.67 * 10-11
v1 = 0.95 * v = 190 m/s

H = (190² * (6 * 105)²) / (6.67 * 10-11 *  3.085 * 1020) – 6 * 105
H = 3.158 * 104

תשובה: הגובה החדש בו יסתובב הלווין הוא 31.58 ק"מ.

תרגיל 3
טלסקופ חלל מבצע תצפיות על אחד מירחיה של פלנטה בעלת רדיוס Rp = 106 m.
התצפיות מגלות שגובה הירח מעל פני הפלנטה הוא 10מטר, ושהוא משלים הקפה מלאה אחת ל30 שעות.
א. מצאו את מסת הפלנטה.
ב. חשבו את תאוצת הכובד על פני הפלנטה.

פתרון
הירח מבצע תנועה מעגלית סביב הפלנטה.
על פי הנתון זמן המחזור של סיבוב הירח הוא 30 שעות, כלומר:
T = 30 hours
T = 30 * 60 * 60 = 1.08 * 106 s

הפלנטה מפעילה על הלווין כוח כבידה שערכו על פי חוק הכבידה הוא:
F = GMpm / Rp²
כוח זה הוא גם הכוח הרדיאלי, כלומר:
FR = GMpm / Rp²

נבודד מביטוי זה את מסת הפלנטה Mp:
(M= F*  Rp² / (Gm (משוואה 1)

הכוח הרדיאלי על גוף שמבצע תנועה מעגלית מקיים:
F= maR = mω²r (משוואה 2)
מרכז התנועה המעגלית הוא מרכז הפלנטה, לכן רדיוס הסיבוב הוא:
r = Rp + H
המהירות הזוויתית ω שווה ל:
ω = 2π / T
נציב בחזרה למשוואה 2:
F= m * 4π² (Rp + H) / T²

נציב את הביטוי שקיבלנו למשוואה 1:
(M= 4π² *m * (Rp + H)  Rp² / (T²Gm
(M= 4π² * (Rp + H)  Rp² / (T²G (מצמצמים את m)

הצבת נתונים:
Rp = 106 m
H = 108 m
T = 1.08 * 106 s
G = 6.67 * 10-11

(Mp = (4π² * (106 + 108) * 1012 ) / (1.08 * 106  * 6.67 * 10-11
Mp = 5.535 * 1025 kg

תשובה: מסת הפלנטה היא: 1025 * 5.535  ק"ג.

תרגיל 4
מעבורת חלל שמסתה m משוגרת מהירח בצורה אנכית במטרה לחזור לכדור הארץ.
א. חשבו את המהירות ההתחלתית המינימלית הדרושה למעבורת על מנת להמלט משדה הכבידה של הירח.
ב. כדי להקל את המילוט מן הירח, מיקמו תחנת האצה  אשר גובהה מעל הירח הוא
H = 107 m. חשבו את המהירות ההתחלתית הדרושה להגעה לגובה זה.
נתונים:
מסת הירח – M= 7.35 * 1022 kg
רדיוס הירח – RL = 1.74 * 106 m

פתרון
סעיף א
האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של שני גופים m ו M במרחק r היא:
UG = -GMm / r
לכן האנרגיה הפוטנצילאית הכובדית של המעבורת על הירח היא:
U = -GMLm / RL

המהירות ההתחלתית המינימלית שיש להעניק למעבורת ("מהירות המילוט" – ve) היא המהירות עבורה האנרגיה הקינטית של המעבורת תשתווה לגודל האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית.
Ek = 1/2mve²

נשווה את האנרגיה הקינטית לגודל הפוטנציאל הכובדי, ונבודד את ve:
1/2mve² = GMLm / RL
ve² = 2 GML / RL
(ve = √(2 GML / RL

הצבת נתונים:
G = 6.67 * 10-11
M= 7.35 * 1022 kg
RL = 1.74 * 106 m
(v= √(2 * 6.67 * 10-11 * 7.35 * 1022 / 1.74 * 106
v= 2373 m/s

תשובה: המהירות המינמלית ההתחלתית הדרושה על מנת להימלט משדה הכבידה של הירח היא 2373 מ"ש.

סעיף ב
המהירות ההתחלתית הדרושה על מנת להגיע לתחנת ההאצה היא מהירות עבורה האנרגיה הקינטית ההתחלתית תהיה שווה להפרש האנרגיות הפוטנציאליות הכובדיות בין נקודה על פני הירח לבין תחנת ההאצה.
אנרגיה פוטנציאלית כובדית:
UG = -GMm / r
r הוא המרחק בין מרכז הירח לנקודה בה נמדדת האנרגיה.
אנרגיה פוטנציאלית על פני הירח:
U1 = -GMLm / RL
אנרגיה פוטנציאלית בנקודת ההאצה:
(U2 = -GMLm / (R+ H
הפרש האנרגיות:
ΔU = U2 – U1
(ΔU = -GMLm / (R+ H) – ( -GMLm / RL
((ΔU = GMLm (1/R– 1/(RL+H

נסמן את המהירות ההתחלתית ב v1 .
האנרגיה הקינטית ההתחלתית היא: EK = 1/2mv²

משווים בין האנרגיה הקינטית ההתחלתית להפרש האנרגיות:
Ek = ΔU
((1/2mv² = GMLm (1/R– 1/(RL+H

נבודד את v:
((v² = 2GML (1/R– 1/(RL+H
(((v =√( 2GML (1/R– 1/(RL+H

הצבת נתונים:
G = 6.67 * 10-11
M= 7.35 * 1022 kg
RL = 1.74 * 106 m
H = 107 m
(((v = √(2 * 6.67 * 10-11 * 7.35 * 1022 (1/(1.74 * 106) – 1/(1.74 * 10+ 108
v = 2190 m/s

תשובה: המהירות המינימלית הדרושה היא 2190 מ"ש.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.