בעיות מילוליות 4 יחידות

עברתי על 15 בחינות הבגרות האחרונות (מהשנים 2015 ועד 2019).
מתוך 15 הבחינות:
6 שאלות היו בנושא בעיות תנועה.
6 שאלות בנושא בעיות קנייה ומכירה.
3 שאלות היו בעיות גיאומטריות.

דפי חזרה על החומר הם:

1. בעיות אחוזים.
2. בעיות תנועה כיתה י.
3. בעיות קנייה ומכירה סיכום.
4. בעיות גיאומטריות.

דף זה מיועד לאלו היודעים את החומר ורוצים לפתור שאלות ברמת בגרות, ואפילו שאלות קשות ביחס לבגרות.

שאלות קצרות

בחלק זה נעבור על מספר שאלות קצרות. 
אלו הן שאלות שיכולות להיות חלק משאלה גדולה יותר בבגרות.

1.חלוקת קבוצה על פי יחס
באולם יש 64 אנשים. מספר הגברים גדול פי 3 ממספר הנשים.
כמה גברים וכמה נשים יש באולם?

פתרון
נגדיר:
x  מספר הנשים.
לכן:
3x  מספר הגברים.

המשוואה
סכומם הוא 64 לכן:
x + 3x = 64
4x = 64
x = 16
תשובה: מספר הגברים הוא 16, מספר הנשים הוא 3*16 = 48.

• בעיות יחס הוא דף העוסק בשאלות דומות. ממליץ במיוחד על הסרטון הראשון בדף.

2.זמני יצאה או הגעה שונים.
מכונית יצאה לדרך בשעה 11. משאית יצאה לדרך בשעה 13.
המכונית והמשאית הגיעו ליעדן באותו זמן.
אם זמן נסיעתה של המכונית הוא x. מה זמן נסיעתה של המשאית?

פתרון
המשאית יצאה 2 שעות לאחר המכונית. לכן היא נסעה 2 שעות פחות.
זמן הנסיעה של המשאית הוא:
x – 2.

3.פיתגורס: משולש ישר זווית שבו 2 צלעות  מוגדרות בעזרת משתנה אחד.
במשולש ישר זווית ניצב אחד גדול מניצב שני ב 2 סנטימטר.
אורך היתר הוא 10 סנטימטר.
חשבו את אורך הניצבים.

פתרון
נגדיר
x אורך הניצב הקטן בסנטימטרים.
לכן:
x + 2 אורך הניצב הגדול בסנטימטרים.

המשוואה
על פי משפט פיתגורס נכתוב:
x² + (x+2)² = 10
x² + x² + 4x + 4 = 100
2x² + 4x – 96 = 0
x² + 2x – 48 = 0

הפתרונות של המשוואה הריבועית הזו הם:
x = 6  או  x = -8
x הוא אורך צלע, לכן הפתרון השלילי נפסל.
תשובה: אורך הניצב הקצר הוא 6, אורך הניצב הארוך הוא 6 + 2 = 8.

שאלה נוספת בהקשר של פיתגורס: כיצד פותרים 1.4x)²) ?
1.4x)² = 1.4²x² = 1.96x²)

5.שינוי מספרי שצריך להפוך לשינוי באחוזים
המחיר מוצר לפני עליית מחיר הוא 1.3x.
לאחר עליית המחיר מחירו 1.5x.
כמה אחוזים מחיר המוצר עלה?

פתרון
המוצר עלה ב 0.2x.
על מנת לבדוק בכמה אחוזים המחיר עלה נבדוק זאת ביחס למחיר ההתחלתי, בשאלות מסוג זה תמיד בודקים ביחס למחיר ההתחלתי.

• בעיות אחוזים מהסוג השני כולל דוגמאות נוספות.

6.עלייה במאות אחוזים.
מחיר מוצר הוא 8 שקלים. מחיר המוצר עלה ב 300%. מה המחיר החדש?

פתרון
נשים לב ש 300% היא העליה במחיר.
נחשב כמה הם 300% של 8.

24 זו העליה במחיר, לכן המחיר החדש הוא:
32 = 24 + 8
תשובה: המחיר החדש הוא 32.

דרך נוספת להסתכל על הבעיה היא:
100% הוא המחיר ההתחלתי. 300% הם התוספת.
לכן המחיר עכשיו הוא 400% מהמחיר המקורי.
400% מ 8 הם:

• שינוי של מאות אחוזים הסבר ותרגילים נוספים.

7.להגדיר שינויים של מוצרים שונים באחוזים וסכומם
מחיר כוס הוא x. 
מחיר צלחת גדול ב 10 שקלים ממחיר הכוס.
מחיר קנקן גדול ב 30% ממחיר הכוס.

בסוף העונה מחיר הכוס והצלחת ירד ב 20%.
מחיר הקנקן ירד ב 15%.
דני קנה בסוף עונה כוס צלחת וקנקן ושילם עליהם 35.05 שקלים.
כמה עולה כוס?

פתרון
לפני סוף העונה המחירים היו:
x מחיר כוס.
x + 10 מחיר צלחת.
1.3x  מחיר קנקן.

בסוף העונה המחירים הם:
0.8x  מחיר כוס.
x + 10) * 0.8)  מחיר צלחת.
1.3x * 0.85 = 1.105x  מחיר קנקן.

המשוואה היא:
0.8x + 0.8 (x + 10) + 1.105x = 35.05
0.8x + 0.8x + 8 + 1.105x = 35.05
2.705x + 8 = 35.05
2.705x = 27.05
x = 10

8.כאשר מקבלים זמן הכולל שני שלבי נסיעה
מכונית נסעה 8 שעות.
חלק מהדרך נסעה במהירות 70 קמ”ש וחלק במהירות 90 קמ”ש.
סך הכל עברה 680 ק”מ.
כמה שעות נסעה בכול מהירות?

פתרון
נגדיר:
x  הזמן בשעות בו נסעה 70 קמ”ש.
y הזמן בשעות בו נסעה 90 קמ”ש.

משוואות
x + y = 8

70x זו הדרך שעברה במהירות 70.
90y זו הדרך שעברה במהירות 90 קמ”ש.

סכום הדרכים הוא המשוואה השנייה:
70x + 90y = 680

פותרים שתי משוואות עם שני נעלמים ומקבלים
x = 2,  y = 6

9.השלמת השורה האחרונה בטבלה
בבעיות עם טבלה לרוב השלמת השורה האחרונה קשה יותר משאר השורות.
בטבלה הבאה מתוארת תנועה שני כלי רכב.
כלי הרכב הראשון נסע במהירות קבועה (60) כל הדרך. 
כלי הרכב השני התחיל במהירות 70, עצר והמשיך במהירות 100.
ידוע ששני כלי הרכב עברו את אותו מרחק באותו זמן.

1. השלימו את החלקים החסרים בשורה האחרונה.
2. בנו משוואה.

	מהירות	זמן	דרך
מכונית ראשונה	60	t	60t
מכונית שנייה התחלה	70	2	140
מכונית שנייה עצירה	0	3	0
מכונית שנייה סוף	100

פתרון
הזמן של המכונית הראשונה בשורה הראשונה שווה לזמן בשלושת השורות של המכונית השנייה.
לכן הזמן של השורה השלישית הוא:
t – 2 – 3 = t – 5

הדרך של המכונית השנייה בשלב השלישי היא מהירות * זמן:
t – 5) * 100)
וכך נראית השלמת הטבלה:

	מהירות	זמן	דרך
מכונית ראשונה	60	t	60t
מכונית שנייה התחלה	70	2	140
מכונית שנייה עצירה	0	3	0
מכונית שנייה סוף	100	t – 5	100t – 500

תרגילי הכנה לבגרות

בחלק זה תרגילי 7 תרגילי הכנה לבגרות.
אלו הן שאלות קשות יחסית, הן יכולות להופיע בבגרות אבל אם הן יופיעו הן יחשבו לקשות.
בהתחלה 4 בעיות תנועה, לאחר מיכן 3 בעיות קנייה ומכירה.

בעיות תנועה

תרגיל 1
מנקודה A יוצא הולך רגל במהירות קבועה לכיוון צפון.
הנקודה B נמצאת 2 ק”מ מזרחה לנקודה A.
1/2 שעה לאחר צאת הולך הרגל הרגל הראשון יוצא ההולך הרגל השני במהירות הגדולה ב 1 קמ”ש ממהירות הולך הרגל הראשון מהנקודה B לכיוון מזרח.
כעבור 3 שעות מצאת הולך הרגל הראשון המרחק בין שני הולכי הרגל הוא 15 ק”מ.
חשבו את מהירויות הולכי הרגל.

פתרון
נגדיר
x המהירות בקמ”ש של הולך הרגל האיטי.
לכן:
x + 1  המהירות בקמ”ש של הולך הרגל המהיר.

המרחק של כל אחד מהולכי הרגל מהנקודה A
הולך הרגל האיטי הלך 3 שעות לכן הדרך שעבר היא:
3x
הולך הרגל המהיר הלך 2.5 שעות לכן הדרך שעבר היא:
x + 1) * 2.5 = 2.5x + 2.5)
בנוסף, הוא יצא מהנקודה B. לכן מרחק הנקודה C מהנקודה A היא:
2.5x + 2.5 + 2 = 2.5x + 4.5

בניית משוואה
המרחק בין הנקודות C,D הוא 15.
על פי משפט פיתגורס ניתן לכתוב:
3x)² + (2.5x + 4.5)² = 15²)
9x² + 6.25x² + 22.5x + 20.25 = 225
15.25x² + 22.5x – 204.25 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x = 3  או  x = -4.47
מהירות היא גודל חיובי ולכן התשובה היחידה היא x = 3.
תשובה: מהירות הולך הרגל האיטי היא 3 קמ”ש. מהירות הולך הרגל המהיר היא 4 קמ”ש.

תרגיל 2
מכונית יצאה לדרכה במהירות 90 קמ”ש. כאשר הגיעה אל תחנת דלק עצרה בתחנה למשך חצי שעה.
לאחר התדלוק  המשיכה את נסיעתה במהירות 70 קמ”ש עד שהגיעה ליעדה הנמצא 255 ק”מ מנקודת המוצא.
עברו 4 שעות מיציאת המכונית ועד שהגיעה ליעדה.
חשבו את זמן הנסיעה עד לתחנת הדלק ומתחנת הדלק.

פתרון

ניתן לפתור את התרגיל בעזרת משתנה אחד או שני משתנים.
בהתחלה נפתור עם משתנה אחד ולאחר מיכן עם שני משתנים.

שלב א: הגדרת זמן כמשתנה ובאמצעותו את הדרך
t זמן הנסיעה בשעות עד תחנת הדלק.

90t  הדרך שהמכונית עברה עד תחנת הדלק.

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
בשני הקטעים ביחד המכונית עברה 255 ק”מ. לכן משוואה היא:
90t + 70(3.5-t) = 255
90t + 245 -70t = 255 / -245
20t = 10  / :20
t = 0.5
3 =0.5 – 0.5 – 4

תשובה: משך זמן הנסיעה עד תחנת הדלק הוא 0.5 שעות. משך הנסיעה מתחנת הדלק ועד לסיום הוא 3 שעות.

פתרון התרגיל עם שני משתנים
t₁ זמן הנסיעה עד תחנת הדלק.
t₂  זמן הנסיעה מתחנת הדלק ועד הסוף.

90t₁   הדרך שהמכונית עברה בקטע הראשון.
70t₂  הדרך שהמכונית עברה בקטע השני.

המשוואות שלנו הם:
סכום הזמנים הוא 4.
t₁ + t₂ = 3.5
(כי חצי שעה הייתה מנוחה).

סכום המרחקים הוא 255
90t₁ + 70t₂ = 255

נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונגיע לאותה תשובה כמו בדרך הראשונה.

תרגיל 3 (בעיית טבלה)
שתי מכוניות נסעו מתל אביב לאילת.
מכונית אחת נסעה במהירות קבועה של 80 קמ”ש.
מכונית שנייה נסעה במהירות של 90 קמ”ש שעתיים.
עצרה לשעה ואז המשיכה במהירות של 100 קמ”ש.
שתי המכוניות הגיעו ליעדן באותו הזמן.
חשבו את זמן הנסיעה ואת המרחק מתל אביב לאילת.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה וזמני נסיעה בכול שלב
נגדיר
t  הזמן שלקח למכונית שנסעה במהירות קבועה לעבור את הדרך.

המכונית שנסעה במהירות משתנה:
2 שעה במהירות 80 קמ”ש.
1 שעה במהירות 0 קמ”ש.
t -3 שעות במהירות 100 קמ”ש.

הסיבה שמשך הזמן בקטע האחרון הוא t -3 היא שהמכונית נסעה בסך הכל t שעות.
מתוכם 1 שעות עצרה ו 2 שעות נסעה במהירות אחרת.

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
יש לנו 1 מהירויות של המכונית הראשונה ו 3 מהירויות של המכונית השנייה.
לכן בטבלה 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

	מהירות	זמן	דרך
מכונית ראשונה	80	t	80t
מכונית שנייה התחלה	90	2	180
מכונית שנייה עצירה	0	1	0
מכונית שנייה סוף	100	t – 3	100t – 300

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך שעברו שתי המכוניות שווה.
לכן המשוואה היא:
100t – 300 + 180 + 0 = 80t
100t -120 = 80t  / +120 – 80t
20t = 120  / :20
t = 6

תשובה: זמן הנסיעה מתל אביב לאילת הוא 6 שעות.

מציאת המרחק מתל אביב לאילת.
המכונית הראשונה נסעה 80 קמ”ש במשך 6 שעות.
לכן המרחק שעברה:
480 = 6 * 80

 

תרגיל 4
משאית יוצאת לדרך, שעה לאחריה יוצאת מכונית המשיגה את המשאית 3 שעות לאחר שהמשאית יצאה לדרך.
למשאית לוקח לעבור 180 ק”מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה.
מצאו את מהירות המשאית.

פתרון
טיפ לפתרון: צריך כאן שתי משוואות עם שני נעלמים.
כיצד בונים את המשוואה השנייה?

שלב א: בחירת משתנים
אנחנו לא יודעים את מהירות המכונית ולא את מהירות המשאית.
אנחנו גם לא מקבלים מידע על קשר בין שני המהירויות.
לכן אנו חייבים להשתמש בשני משתנים. משתנה לכל מהירות.

v מהירות המשאית בקמ”ש.
u מהירות המכונית בקמ”ש.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
3v  הדרך שהמשאית עשתה עד שפגשה במכונית.
2u  הדרך שהמכונית עשתה עד שפגשה במכונית.

הדרך שהמכונית והמשאית עברו שווה ולכן המשוואה היא:
2u = 3v  /:2
u = 1.5v

שלב ג: בניית משוואה עבור המשפט “למשאית לוקח לעבור 180 ק”מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה”.

נגדיר את הזמן שלוקח למשאית ולמכונית לעבור 180 ק”מ.

הזמן של המכונית קצר יותר ב- 1.5 שעות.
לכן עלינו להוסיף 1.5 לזמן לזמן של המכונית על מנת ליצור משוואה.

נכפיל המכנה המשותף שהוא uv ונקבל:
180u = 180v + 1.5vu

שלב ד: פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את המשוואה הראשונה שקיבלנו (u = 1.5v) במשוואה הזו:
1.5v * 180 = 180v + 1.5v * 1.5v  / :1.5
180v = 120v + 1.5v² /  -180v
1.5v² – 60v = 0  /:1.5
v² – 40v = 0
v (v – 40) = 0
v = 0,  v=40
מכוון שהמכוניות נוסעות הפתרון היחידי שאפשרי הוא v= 40.

תשובה: מהירות המשאית היא 40 קמ”ש.

בעיות קנייה ומכירה

תרגיל 1
דנה תכננה לרכוש טיסה ובית מלון ל 4 ימים במחיר כולל של 2200 שקלים.
דנה חיכתה מעט ואז מחיר הטיסה עלה ב 20% ואילו מחיר המלון ירד ב 10%.
כתוצאה מכך דנה שילמה 80 שקלים יותר עבור החבילה.
חשבו את מחיר המלון ומחיר הטיסה של דנה.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים ומחירים
נגדיר:
y  מחיר המלון.
x  מחיר הטיסה.

“מחיר הטיסה עלה ב 20%”
1.2x  מחיר הטיסה לאחר העליה.
“מחיר המלון ירד ב 10%”.
0.9y  מחיר המלון לאחר הירידה.

שלב ב: בניית משוואות ופתרונן
בהתחלה “מחיר כולל 2200 שקלים”
לכן המשוואה:
x + y = 2200
y = 2200 -x

לאחר העליה המחיר הכולל הוא 2280 שקלים.
לכן המשוואה:
1.2x + 0.9y = 2280

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:
1.2x + 0.9*(2200 -x) = 2280
1.2x + 1980 – 0.9x = 2280
0.3x = 300  / :0.3
x = 1000

מחיר המלון הוא:
y = 2200 -x
y = 2200 – 1000 = 1200

תשובה: מחיר הטיסה הוא 1000 שקלים, מחיר המלון 1200 שקלים.

תרגיל 2
גילה קנתה כוסות במחיר של 140 שקלים.
בנוסף היא קנתה צלחות במחיר 250 שקלים.
מספר הצלחות שנקנו גדול ב 5 ממספר הכוסות ומחיר צלחת גדול ב 3 שקלים ממחיר כוס.
מצאו את מחיר הכוס ומספר הכוסות שנקנו.

פתרון
שלב א: בניית משוואות
x   מחיר של כוס בשקלים.
x + 3  מחיר צלחת בשקלים.

y   מספר הכוסות שנקנו.
y + 5  מספר הצלחות שנקנו.

שלב ב: בניית משוואות
המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט “גילה קנתה כוסות במחיר של 140 שקלים”.
xy = 140  (משוואה ראשונה)

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט “קנתה צלחות במחיר 250 שקלים”
y + 5) (x + 3) = 250)
yx + 3y + 5x + 15 = 250
y (x + 3) + 5x = 235
y (x + 3) = 235 – 5x

שלב ג: פתרון המשוואות
נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא x + 3 ונקבל:
(x (235 – 5x) = 140 (x + 3
235x – 5x² = 140x + 420
5x² – 95x + 420 = 0  / :5
x² – 19x + 84 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל:
x = 12  או  x = 7.
נמצא את ערכי ה y המתאימים בעזרת המשוואה:

y * x = 140
y * 7 = 140
y = 20
או
y * 12 = 140
y = 11.66
מכוון ש y זה מספר הכוסות שנקנו וצריך להיות מספר שלם אז תשובה זו נפסלת.

תשובה: מחיר כוס הוא 7 שקלים, מספר הכוסות שנקנו הוא 120 שקלים.

תרגיל 3 (מכירה בשלבים, טבלה)
בעל חנות קנה מספר זוגות מכנסיים ב- 6000 שקלים. 10 מכנסיים הוא מכר בהפסד של 30% ואת שאר המכנסיים ברווח של 20%. סך הכל בעל החנות הרוויח 200 שקלים.
בכמה קנה בעל החנות זוג מכנסיים אחד?

פתרון וידאו

פתרון בעזרת שני נעלמים
עבור קניית המכנסיים הנתונים הם:
6000 הסכום ששולם עבור המכנסיים.
x – המחיר שבו נקנה זוג מכנסיים אחד.
y  מספר המכנסיים שנקנו.

המשוואה היא:
x * y = 6000

עבור המכנסיים שנמכרו בהפסד הנתונים הם:
0.7x – מחיר ההפסד של זוג מכנסיים אחד.
10 הוא מספר המכנסיים שנמכרו במחיר זה.
7x – סך כל התמורה עבור 10 המכנסיים שנמכרו בהפסד.

עבור המכנסיים שנמכרו ברווח הנתונים הם:
1.2x מחיר המכירה.
y – 10  מספר המכנסיים שנמכרו.
(1.2x * (y -10   סכום המכירה בשלב זה.

בשני שלבי המכירה הסכום שהתקבל הוא 6200 שקלים לכן המשוואה השנייה היא:
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200

אם היינו רוצים לבנות טבלה היא הייתה נראית כך:

	מחיר	כמות	סכום
קנייה	x	y	6000
מכירה בהפסד	0.7x	10	7x
מכירה ברווח	1.2x	y – 10	(1.2x * (y -10

פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
x * y = 6000
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200

נפתח את הסוגריים במשוואה השנייה:
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200
7x + 1.2xy -12x  = 6200

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
7x + 1.2*6000 -12x  = 6200
5x + 7200 = 6200-
5x = -1000-
x = 200
תשובה: בעל החנות קנה זוג מכנסיים אחד ב 200 שקלים.

פתרון בעזרת נעלם אחד
עבור קניית המכנסיים הנתונים הם:
6000 הסכום ששולם עבור המכנסיים.
x – המחיר שבו נקנה זוג מכנסיים אחד.

עבור המכנסיים שנמכרו בהפסד הנתונים הם:
0.7x – מחיר ההפסד של זוג מכנסיים אחד.
7x – סך כל התמורה עבור 10 המכנסיים שנמכרו בהפסד.

עבור המכנסיים שנמכרו ברווח הנתונים הם:

בכמה שקלים מכר בעל החנות את כל המכנסיים? (סכום מחירה)
6200 = 200 + 6000
(מחיר קנייה + רווח).

אם היינו רוצים לכתוב את השלב הזה בטבלה זה היה נראה כך:
(לכל מחיר מכירה/ קנייה נדרשת שורה נפרדת בטבלה).

	מחיר לפריט	כמות	פדיון
קנייה	x		6000
מכירה בהפסד	0.7x	10	7x
מכירה ברווח	1.2x

בניית משוואה
המשוואה שלנו היא:
סכום מכירה = המחיר שנכרו המכנסיים בהפסד + המחיר שנמכרו המכנסיים ברווח.

נפתח סוגריים ונקבל:
7200-12x+7x=6200
5x = -1000 /:  -5-
x = 200
תשובה: בעל החנות קנה זוג מכנסיים אחד ב- 200 שקלים.

פתרונות של בעיות מילוליות מהבגרות

מצורפים פתרונות מלאים של 6 בגרויות.

קיץ 2018 מועד ב

נושא השאלה:

1. בעיה גיאומטרית + אחוזים.
2. שאלות “חוט”.

סעיף א

פתרון

אורך החוט הוא בעצם ההיקף של שתי הצורות יחד.
ההיקף של הריבוע ועוד ההיקף של המלבן שווה ל 52a.

שלב א: הגדרת משתנים
x  אורך צלע הריבוע.
ולכן:
x אורך הצלע הקצרה של המלבן.
1.33x  אורך הצלע הארוכה של המלבן.

שלב ב: חישוב ההיקפים
ההיקף של הריבוע הוא:
4x
ההיקף של המלבן הוא:
2x + 2.66x = 4.66x

שלב ג: בניית משוואה
סכום ההיקפים הוא 52a, לכן המשוואה היא:
4x + 4.66x = 52a
8.66x = 52a   / : 8.66
x = 6a

שלב ד: כתיבת תשובה
6a  הוא אורך צלע המלבן הקצרה.
6a * 1.33 = 8a   אורך צלע המלבן הארוכה.

סעיף ב

נחשב בנפרד את ההיקף של הריבוע והמלבן החדשים.

1.היקף המלבן
היקף המלבן החדש הוא כמו היקף המלבן הישן:
6a + 6a + 8a + 8a = 28a

2.היקף הריבוע החדש
האורך של צלע הריבוע החדשה הוא:
6a * 1.65 = 9.9a

היקף הריבוע
9.9a * 4 = 39.6a

3.סכום ההיקפים הוא:
28a + 39.6a = 67.6a

עלינו לחשב בכמה אחוזים 67.6a  גדול מ 52a.
עושים זאת בצורה הזאת:

 

67.6a הם 130% של 52a ולכן החוט השני גדול ב 30% מהחוט הראשון.

 

סעיף ג
המלבן נראה כך:

נמצא את אורך צלעות המלבן בעזרת משפט פיתגורס.
6a)² + (8a)² = 45)
36a + 64a = 45
100a = 45  / :100
a = 0.45

אורכי צלעות המלבן הם 6a, 8a.
2.7 = 0.45 * 6
3.6 = 0.45 * 8
תשובה: אורכי צלעות המלבן הם 2.7 ו 3.6 סנטימטר.

קיץ 2018 מועד א

נושא השאלה:

1. תשומת לב לכך האם צריך משתנה או לא.
2. בעיית פגישה.
3. גופים שלא נעים באותו זמן.

 

1.חישוב מהירות המכונית בדרך כולה
נשים לב שעבור המכונית יש לנו את זמן הנסיעה (מ 8:00 ועד 9:45) וגם את מרחק הנסיעה (126 ק”מ).
לכן ניתן לחשב את המהירות:
72 = 1.75 : 126

מהירות המכונית היא 72 קמ”ש.

2.בניית משוואה עבור נקודת הפגישה

חישוב מהירות האופניים
אנחנו יודעים שסכום הדרכים של המכונית והאופניים בזמן שנפגשו הוא 126 קילומטרים.

הנתונים עבור האופניים
נגדיר
v את מהירות האופניים בקמ”ש.
1 שעה הוא זמן הנסיעה.
1v  זה הדרך שהאופניים עברו עד הפגישה.

הנתונים עבור המכונית
מהירות המכונית 72 קמ”ש.
זמן הנסיעה עד הפגישה 1.5 שעות.
108 = 1.5 * 72  זו הדרך שהמכונית עברה.

בניית משוואה
סכום המרחקים הוא 126 ק”מ.
לכן המשוואה היא:
v + 108 = 126   / – 108
v = 18

תשובה: מהירות המכונית היא 72 קמ”ש, מהירות האופניים 18 קמ”ש.

סעיף ב

a + 72   זו המהירות החדשה של המכונית.

18 – a
המהירות החדשה של האופניים

(t (a + 72   זו הדרך שעברה המכונית ב t זמן.
(t (18 – a    זו הדרך שעברו האופניים ב t זמן.

סכום הדרכים ביחד הוא 126 ק”מ.
לכן המשוואה היא:
t (a + 72) + t (18 – a) = 126
at + 72t  + 18t -at = 126
90t = 126
t = 1.4

תשובה: המכונית והאופניים יפגשו כעבור 1.4 שעות.
(אלו הם 1 שעות ו- 24 דקות).

 

חורף 2018 תרגיל 1

נושא השאלה: בעיית מכירה עם טבלה.

1.עבור הקנייה
נגדיר:
x  מספר המוצרים שקנה הסוחר.
לכן המחיר שבו נקנה כל מוצר הוא:

2.עבור המכירה
נחשב את הסכום שקיבל הסוחר בכל אחד משלבי המכירה.
0.1x מהמוצרים נמכרו במחיר 40 שקלים. לכן הסכום שהתקבל עבורם הוא:
0.1x * 40 = 4x

כל מוצר שנמכר ברווח של 60% נמכר במחיר של:

מספר המוצרים שנמכר במחיר הזה הוא:
x – 0.1x – 20 = 0.9x -20

לכן המוכר קיבל על המוצרים הללו:

עבור כל המוצרים הסוחר קיבל 7520.

אם היינו רוצים לארגן את הנתונים בטבלה זה היה כך:

באפור רשומים נתוני השאלה.
באדום תוצאה של חישוב.
השורה האחרונה היא כולה חישוב ונובעת מהשורות הקודמות.

	מחיר פריט	מספר פרטים	סך הכל
קנייה	6000/x	x	6000
מכירה ב 40	40	0.1x	4x
השארה במחסן	0	20	0
מכירה ברווח 60%		x – 0.1x – 20

 

3.בניית משוואה

המשוואה אומרת שהסכום שהתקבל בכל שלבי המכירה שווה ל 7520.

נצמצם x באחד האיברים ונקבל:

נכפיל במכנה המשותף x ונקבל:
4x² + 8640x – 192,000 = 7520  / -7520
4x² +1120x -192,000 = 0   / : 4
x² + 280x – 48,000 = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x₁ = 120,  x₂ = -400

x הוא מספר המוצרים שהסוחר קנה, ולכן רק התשובה החיובית מתאימה לנתונים.
תשובה: הסוחר קנה 120 מוצרים.

סעיף ב

המחיר שבו המוכר קנה מוצר אחד הוא:
50 = 120 : 6000

רווח של 200% זה אומר המחיר החדש הוא 300% מהמחיר המקורי.
150 = 3 * 50
מחיר המכירה הוא 150 שקלים.

נמכרו 20 מוצרים.
3000 = 20 * 150
תשובה: במכירה זו התקבלו 3,000 שקלים.

חורף 2017 תרגיל 1

נושא השאלה: בעיית תנועה עם טבלה.

אנו נפתור את התרגיל על ידי יצירת משוואה המשווה את זמני ההליכה של אהוד ותמר.

כאשר אנו בונים טבלה צריך לתת שורה נפרדת לכל מהירות.
לאהוד יש 3 מהירויות.
לתמר מהירות אחת.
לכן בטבלה 4 שורות.

נגדיר:
x המהירות ההתחלתית של אהוד בקמ”ש.

באפור בטבלה מסומנים הנתונים.
באדום מסומנים דברים שחושבו בעזרת הטבלה.

	מהירות	זמן	דרך
אהוד התחלה	x	2	2x
אהוד עצירה	0	0.5	0
אהוד סוף	1.2x		30 – 2x
תמר	a + 3	40 / (a + 3)	40

הסבר לשורה השלישית של אהוד

30 ק”מ הוא המרחק שהלך אהוד סך הכל (כי הפגישה הייתה 30 קילומטר מתל אביב).

2x הוא המרחק שהלך קודם לכן בשורות 1,2.

לכן
30 – 2x
הוא המרחק שהלך בשורה השלישית

1.2x זו המהירות של השלב השלישי.

לכן הזמן בשלב השלישי הוא:

עבור תמר:
x+3 – המהירות שבה הלכה.
תמר עברה 40 ק”מ.

בניית משוואה

אנו יודעים שהזמן שאהוד היה בדרך היה גדול ב 2.5 שעות מהזמן שבו תמר הייתה בדרך. לכן המשוואה היא:
(משמאל הזמן של תמר ועוד 2.5 – מימין הזמן של אהוד).

נחסר 2.5 משני צדדי המשוואה:

(1.2x*40 = (30-2x)(x+3
48x = 30x + 90 – 2x² – 6x  /-48x
2x² – 24x + 90 = 0 / : -2-
x² + 12x – 45 = 0
זו משוואה ריבועית וניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.

נבצע את פירוק הטרינום
x² +12x – 45 = 0
x + 15x – 3x – 45 = 0
x (x + 15) -3 (x + 15) = 0
x – 3) (x + 15) = 0)
x = -15    או x = 3.

מכוון שמהירות היא גודל חיובי התשובה x = -15 נפסלת.
תשובה: מהירותו של אהוד הייתה 3 קמ”ש.

דרך פתרון נוספת לסעיף א

נגדיר
x המהירות ההתחלתית של אהוד בקמ”ש.
t זמן ההליכה של אהוד בשלב השלישי.

תמר הלכה 2.5 שעות פחות מאהוד לכן זמן הליכתה הוא גם כן t שעות.

הטבלה נראית כך:

	מהירות	זמן	דרך
אהוד התחלה	x	2	2x
אהוד עצירה	0	0.5	0
אהוד סוף	1.2x	t	1.2xt
תמר	a + 3	t	t * (a + 3)

משוואה אחת אומרת שהמרחק שאהוד עבר הוא 30:
2x + 1.2xt = 30

משוואה שנייה היא שהמרחק שתמר עברה הוא 40:
t * (a + 3) = 40

 

סעיף ב

ניתן להציב x = 3 בזמן בביטוי המתאר את הזמן שבו תמר הלכה או אהוד הלך.

הביטוי המתאר את הזמן של תמר פשוט יותר ולכן נציב בו:

הצבה x = 3

 

2/3 שעות הם 40 דקות. לכן תמר הלכה 6 שעות וארבעים דקות.
תמר יצאה ב 9:30 לכן הם נפגשו בשעה 16:10.

 

קיץ 2016 תרגיל 1

נושא השאלה: התייקרות כפולה.

בעיה זו היא בנושא התייקרות כפולה ואם אתם רוצים ללמוד את הנושא לפני פתרון הבעיה ניתן לעשות זאת בקישור.

נגדיר:
x – אחוז הרווח של היבואן וגם אחוז הרווח של החנות.

 1200 שקלים הוא המחיר הקנייה של היבואן.

לכן המחיר שבו היבואן מכר את המחשב לחנות הוא:

החנות העלתה את המחיר ב x אחוזים נוספים ומכרה את המחשב ב 1728 שקלים.
לכן המשוואה היא:

מצד שמאל נחלק 1200 ב 100.
לאחר מיכן נכפיל במכנה שנשאר והוא 100.

12 * (100 + x)² = 172,800

נחלק את המשוואה ב 12 וגם נפתח סוגריים

x² + 200x + 10,000 = 14,400
x² + 200x – 4,400=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x₁ =20, x₂ =-220.

מכוון שמדובר בעליית מחירים הפתרון השלילי x₂ = -220 נפסל.

תשובה: אחוז הרווח של היבואן הוא 20%.

סעיף ב
נחשב את המחיר שיוסי משלם.
42% יותר מ 1200:

1728 > 1704
תשובה: יוסי שילם פחות עבור המחשב.

קיץ 2016 מועד ב

נושא השאלה:

1. תנועת גוף יחיד.
2. קשרים בין מהירויות וזמנים ובניית משוואה בעזרתם.

https://vimeo.com/303466667

נשים לב שיש קשר בין המהירויות (גדולה ב 20%) וגם בין הזמנים (גדול ב 25%) דבר המרמז שעלינו להגדיר שני משתנים.

נגדיר
v  המהירות בין A ל B בקמ”ש.
t   זמן הרכיבה בין A ל B בשעות.

עבור הקטע BC
1.2v  המהירות בין B ל C בקמ”ש.
1.25t  זמן הרכיבה בין B ל C בשעות.

מרחקים
vt   המרחק בין A ל B.
1.2v*1.25t = 1.5vt   המרחק בין B ל C.

אם היינו רוצים לחשב את המרחק בעזרת טבלה זה היה נראה כך:
(בשחור הגדרת המשתנים, באדום התוצאה).

	מהירות	זמן	דרך
A ל B	v	t	vt
B ל C	1.2v	1.25t	1.5vt
B ל C במהירות v	v	6	6v

 

בניית משוואות
אנו יודעים שהמרחק בין B ל C גדול ב 40 ק”מ מהמרחק בין A ל B.
לכן המשוואה הראשונה היא:
vt + 40 = 1.5vt

כמו כן השורה השנייה והשלישית מתארות אות אותה דרך: BC.

1.5vt = 6v
מכוון שהמהירות שונה מ 0 ניתן לחלק ב v.
1.5t = 6   / : 1.5
t = 4.

נציב את t = 4 במשוואה הראשונה.
vt + 40 = 1.5vt
4v + 40 = 1.5 * 4 * v
4v + 40 = 6v  / -4v
2v = 40   / : 20
v = 20

תשובה: מהירות הרכיבה בין A ל B היא 20 קמ”ש.

סעיף ב (מציאת המרחק בין A ל B)
בסעיף הראשון הגדרנו את המרחק כ vt.

ומצאנו v = 20, t = 4
80 = 4 * 20
תשובה: המרחק בין A ל B הוא 80 ק”מ.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות, נושאי לימוד נוספים.