בעיות מילוליות גיאומטרית

בדף זה 8 בעיות גיאומטריות.
התרגילים מתאימים לתלמידי לכיתות ט, י, יא ברמת 4-5 יחידות.

נוסחאות שצריך לדעת

שטח משולש: צלע כפול הגובה אליה לחלק ב 2.   s=a*h/2.
שטח מקבילית: צלע כפול הגובה אליה: s=a*h.
שטח מלבן: מכפלת הצלעות s=a*b.
היקף מלבן: סכום הצלעות כפול שניים (p=2(a+b
שטח ריבוע: צלע כפול עצמה s=a².
היקף ריבוע: צלע כפול 4    p=4a.
שטח עיגול: s=₶r².
היקף מעגל: p=2₶r.

תרגיל 1
ניצב אחד במשולש ישר זווית גדול ב 3 סנטימטר מניצב שני.
שטח המשולש 14 סמ"ר.
חשבו את אורכי הניצבים.

פתרון
נגדיר:
x  הניצב הקטן.
x + 3  הניצב הגדול.

על פי נוסחת שטח משולש המשוואה שלנו היא:

x(x +3) = 28
x² + 3x = 28
x² + 3x – 28 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת שורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של טרינום.

x² + 3x – 28 = 0
x² – 4x + 7x – 28 = 0
x (x – 4) + 7 (x – 4) = 0
x + 7)  ( x – 4) = 0)

פתרונות המשוואה הם:
x = 4,   x = -7
מכוון ש x הוא גודל של צלע הפתרון x = -7 נפסל.
x = 4  הוא הפתרון ואורך הניצב הקטן.

תשובה: אורך הניצב הקטן 4, אורך הניצב הגדול 7.

תרגיל 2
היקף מלבן הוא 28 סנטימטר ושטחו 45 סמ"ר.
חשבו את אורכי צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
x צלע אחת של המלבן.
y צלע שנייה של המלבן.

משוואה ראשונה היא של היקף המלבן:
2x + 2y = 28
x + y = 14
y = 14 – x

משוואה שנייה היא של שטח המלבן:
x * y = 45

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
x (14 – x) = 45
14x – x² = 45
x² -14x + 45 = 0

ניתן לפתור בעזרת טרינום או נוסחת שורשים.
x -5x – 9x + 45 = 0
x (x – 5) -9 (x – 5) = 0
x – 9) (x – 5) = 0)
הפתרונות הם :
x = 9  או x = 5.

נציב את הפתרונות במשוואה הראשונה
x + y = 14
ונקבל
x = 5,  y = 9
או
x = 9 , y=5
שני הפתרונות הללו הם בעצם אותו פתרון והתשובה שלנו תהיה שצלע אחת של המלבן גדולה 5 וגודל הצלע השנייה הוא 9.

תרגיל 3
בתוך ריבוע מוצב חצי מעגל הבנוי על צלע הריבוע.
השטח הירוק הוא בגודל  243 סמ"ר.
חשבו את אורך צלע הריבוע.

שרטוט התרגיל

פתרון

נבנה משוואה הכוללת משתנה אחד – רדיוס המעגל החסום.
r – רדיוס המעגל החסום.
שטח המעגל
₶r² אך מכוון שהשטח שנמצא בשרטוט הוא ½ מעגל השטח המשורטט הוא ₶r² לחלק ב 2.
שטח הריבוע הוא:
2r)²=4r²)
הפרש השטחים שווה ל 243 סמ"ר.

4r^2-₶r²/2=253

פתרון המשוואה הריבועית הוא r=10 ולכן צלע הריבוע שווה ל 20 סמ"ר.

תרגיל 4
לוקחים ריבוע ומקטינים זוג צלעות נגדיות שלו ב 3 סנטימטר.
כתוצאה מכך נוצר מלבן, שטח המלבן קטן ב 24 סמ"ר משטח הריבוע המקורי.

  1. חשבו את אורך צלע הריבוע.
  2. חשבו את שטח הריבוע ושטח המלבן.

פתרון
שלב ראשון: נגדיר משתנה וגדלי הצלעות
נגדיר
x אורך צלע הריבוע בסנטימטרים.

לכן
x  אורך זוג צלעות המלבן שלא שונה.
x – 3 אורך זוג צלעות המלבן שהקטינו.

שלב ב: חישוב שטח המרובע והמלבן
x²  שטח הריבוע.
x (x -3) = x² -3x   שטח המלבן.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
שטח המלבן קטן ב 24 סמ"ר משטח הריבוע לכן המשוואה היא:
x² -3x + 24 = x²
3x +24 = 0-
3x = -24-
x = 8
תשובה: אורך צלע הריבוע היא 8 סנטימטר.

סעיף ב
שטח הריבוע הוא:
64 = 8 * 6
שטח המלבן הוא:
40 = 5 * 8
תשובה: שטח הריבוע 64 סמ"ר. שטח המלבן 40 סמ"ר.

תרגיל 5
בריבוע האריכו צלע אחת ב 3 סנטימטר וצלע שנייה ב 20%.
כתוצאה מכך התקבל מלבן ששטחו גדול ב 23 סמ"ר משטח הריבוע המקורי.
חשבו את צלע הריבוע המקורי.

פתרון
שלב א: נגדיר משתנה וגדלי צלעות
x אורך צלע הריבוע.

x + 3 אורך הצלע הראשונה של המלבן.
1.2x אורך הצלע השנייה של המלבן.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
x * x  שטח הריבוע
(1.2x (x +3 שטח המלבן

על פי המשפט "התקבל מלבן ששטחו גדול ב 23 סמ"ר משטח הריבוע המקורי" המשוואה היא:
1.2x (x +3) = x² +23
1.2x² + 3.6x = x² + 23
0.2x² + 3.6x – 23 = 0  / *5
x² + 18x -115 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x1 = 5,  x2 = -23
מכוון ש x מייצג גודל של צלע, מספר חיובי, הפתרון x2 = -23 נפסל.
תשובה: אורך צלע הריבוע המקורי היא 5 סנטימטר.

תרגיל 6
אורכו של מלבן גדול ב 3 סנטימטר מרוחבו.
אם מוסיפים לרוחבו 40% ומוסיפים לאורכו 2 סנטימטר.
מקבלים מלבן ששטחו גדול ב 30 סמ"ר מהמלבן המקורי.

  1. מצאו את צלעות המלבן המקורי.
  2. מצאו את שטח המלבן המקורי.

פתרון
נגדיר:
x  רוחב המלבן.
x + 3  אורך המלבן.
שטח המלבן הוא:
x (x+3) = x² + 3x

לאחר התוספת גודל צלעות המלבן הוא:
1.4x  רוחב המלבן החדש.
x + 3 + 2   אורך המלבן החדש.
שטח המלבן הוא:
1.4x * (x + 5) = 1.4x² + 7x

על פי הנתונים המלבן החדש גדול ב 37 מהמלבן המקורי.
לכן המשוואה היא:
1.4x² + 7x = x² + 3x + 30
0.4x² + 4x- 30 = 0  / *2.5
x² + 10x – 75 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הזו הם:
x = 5,   x = -15
x הוא גודל של צלע וצריך להיות חיובי.
לכן התשובה x = 5.

הצלע השנייה גדולה ב 3 סנטימטר לכן גודלה 8.
תשובה: גודל צלעות המלבן הוא 5,8 סנטימטר.

סעיף ב: שטח המלבן
שטח מלבן שווה למכפלת צלעותיו לכן:
S = 5 * 8 = 40
תשובה: שטח המלבן הוא 40 סמ"ר.

תרגיל 7
כאשר מגדילים צלע אחת של מלבן ב 20% וצלע שנייה של מלבן ב 50%.
היקף המלבן גדל ב 10 סנטימטר ושטח המלבן גדל ב 32 סמ"ר.
חשבו את שטח המלבן המקורי.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x אורך צלע המלבן בסנטימטרים לפני ההגדלה.
y אורך הצלע השנייה של המלבן בסנטימטרים לפני ההגדלה.

אורך צלעות המלבן לאחר ההגדלה הן:
1.2x
1.5y

שלב ב: בניית משוואות
היקף המללבן המקורי הוא:
2x + 2y
היקף המלבן החדש הוא:
1.2x *2 + 1.5y *2 = 2.4x + 3y

על פי המשפט "היקף המלבן גדל ב 10 סנטימטר" המשוואה הראשונה היא:
2.4x + 3y = 2x + 2y + 10
y = 10 – 0.4x  (משוואה ראשונה)

שטח המלבן לפני ההגדלות הוא:
xy
שטח המלבן לאחר ההגדלה הוא:
1.2x * 1.5y = 1.8xy

על פי המשפט "שטח המלבן גדל ב 32 סמ"ר" המשוואה השנייה תהיה:
1.8xy = xy + 32
0.8xy = 32  / :0.8
xy = 40  (משוואה שנייה)

שלב ג: פתרון המשוואות
קיבלנו את המשוואות
y = 10 – 0.4x
xy = 40

נציב את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל:
x *(10 – 0.4x) = 40
10x – 0.4x² = 40
10x – 0.4x² – 40 =0  /*-2.5
x² -25x + 100

כאשר נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום נקבל:
x1 = 5,  x2 = 20

עלינו למצוא את ערך ה y המתאים עבור כל ערך x:
y = 10 – 0.4x
y = 10 – 0.4*5 = 8

אפשרות שנייה:
y = 10- 0.4 * 20 = 2

תשובה: צלעות המלבן לפני ההגדלה הן 5,8 או 2,20. בשני המקרים שטח המלבן המקורי הוא 40.

תרגיל 8
מחוט בונים מלבן ואז חוצים את המלבן לשני ריבועים.
שטח המלבן שנוצר הוא 40 סמ"ר.
אורך החוט הוא 31 ס"מ.
מצאו את אורך צלעות המלבן.

שרטוט המלבן

פתרון
יש לנו שני משתנים בבעיה זו: אורך המלבן (a) ורוחב המלבן (b). ננסה לבנות בעזרתם שתי משוואות.
a*b=40 – משוואת שטח המלבן.
3b+2a=31 – משוואת אורך החוט.
כאשר נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים נקבל a=8, b=5.

תרגיל 9
אורך האלכסון במלבן הוא 125√ והיקף המלבן שווה ל 60 סנטימטר.
חשבו את אורך צלעות המלבן.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
אין לנו קשר בין צלעות המלבן לכן אנו צריכים לבחור כל צלע כמשתנה.
x  רוחב המלבן בסנטימטר.
y אורך המלבן בסנטימטר.

שלב ב: בניית משוואות
על סמך המשפט "היקף המלבן שווה ל 60 סנטימטר" ניתן לבנות את המשוואה:
2x + 2y = 30
נחלק את המשוואה ב 2 ונקבל:
x + y = 15
y = 15 – x

על סמך המשפט "אורך האלכסון במלבן הוא 125√" ומשפט פיתגורס ניתן לכתוב את המשוואה:
x² + y² = 125

שלב ג: פתרון שתי המשוואות
y = 15 – x
x² + y² = 125

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:
x² + (15 -x)² = 125
x² + 15² – 30x + x² = 125
2x² – 30x + 225 = 125
2x² – 30x + 100 = 0  / :2
x² – 15x + 50 = 0

ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של טרינום.
x² – 15x + 50 = 0
x² – 5x – 10x + 50 = 0
x (x – 5) – 10(x  – 5) = 0
x – 10) (x – 5) = 0)

הפתרונות הם: x= 10 או x = 5.

שלב ד: מציאת אורך צלעות המלבן
y = 15 – x

אם x = 10
y = 15 – 10 = 5

אם x = 5
y = 15 – 5 = 10
מצאנו ששני הפתרונות הם למעשה פתרון יחיד וצלעות המלבן הן 5, 10 סנטימטר.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.