לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

בעיות תנועה עם משפט פיתגורס

בדף זה שלושה חלקים:

  1. סרטון הסבר.
  2. טיפים לפתרון בעיות תנועה עם פיתגורס.
  3. תרגילים.

נזכיר כי משפט פיתגורס אומר כי במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

משפט פיתגורס

1.סרטון הסבר

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

3.תרגילים

תרגילים 1-2 הם בסיסיים ודומים זה לזה.

תרגילים 3-4 כוללים כל אחד מכשול אחר.

תרגיל 1
צב ושבלול יוצאים מנקודה A.
הצב יוצא צפונה.
השבלול יוצא מזרחה במהירות הגדולה ב 0.5 קמ"ש ממהירות הצב.

כעבור שעתיים של הליכה המרחק בין הצב לשבלול הוא 5 ק"מ.
חשבו את מהירות הצב ומהירות השבלול.

פתרון התרגיל עם טבלה

מבנה הטבלה

השבלול והצב נעים במהירות קבועה, לכן כל אחד מיהם צריך שורה אחת.
סך הכל שתי שורות בטבלה.

הזמן ידוע ונציב אותו בטבלה:

מהירות זמן דרך
צב 2
שבלול 2

הגדרת משתנה והשלמת הטבלה

אנו צריכים לדעת שני דברים בשורה על מנת לבצע חישובים.

את הזמן אנו יודעים, לכן נגדיר את המהירות כמשתנה:

x מהירות הצב בקמ"ש.
x + 0.5 מהירות השבלול בקמ"ש.

נציב את הנתונים בטבלה.

נחשב את הטור של הדרך בעזרת פעולת הכפל.

מהירות זמן דרך
צב x 2 2x
שבלול x + 0.5 2 2(x + 0.5)

המשוואה:
על פי משפט פיתגורס המשוואה היא:
2x)² + (2x +1)² = 5²)

נפתור את המשוואה:
4x² + 4x² + 4x + 1 = 25
8x² + 4x – 24 = 0
2x² + x – 6 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום או נוסחת השורשים ונקבל:
x = 1.5  או  x = 2
מכוון שהחילזון והצב נעו קדימה המהירות צריכה להיות חיובית והתשובה היא x = 1.5.
תשובה: מהירות הצב היא 1.5 קמ"ש. מהירות החילזון 2 קמ"ש.

פתרון התרגיל ללא טבלה
נגדיר:
x מהירות הצב בקמ"ש.
x + 0.5 מהירות השבלול בקמ"ש.

הדרך:
2x  זו הדרך שעבר הצב בשעתיים.
x + 0.5)*2 = 2x + 1)  זו הדרך שהצב עבר בשעתיים.

בטבלה הנתונים היו נראים כך:

מהירות זמן דרך
צב x 2 2x
שבלול x + 0.5 2 2(x + 0.5)

המשוואה:
על פי משפט פיתגורס המשוואה היא:
2x)² + (2x +1)² = 5²)

נפתור את המשוואה:
4x² + 4x² + 4x + 1 = 25
8x² + 4x – 24 = 0
2x² + x – 6 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום או נוסחת השורשים ונקבל:
x = 1.5  או  x = 2
מכוון שהחילזון והצב נעו קדימה המהירות צריכה להיות חיובית והתשובה היא x = 1.5.
תשובה: מהירות הצב היא 1.5 קמ"ש. מהירות החילזון 2 קמ"ש.

תרגיל 2
שני הולכי רגל יצאו מאותה נקודה אחד לכיוון דרום במהירות 4 קמ"ש ושני לכיוון מערב במהירות 3 קמ"ש.
כעבור כמה זמן המרחק בניהם יהיה 15 ק"מ?

פתרון התרגיל עם טבלה

מבנה הטבלה

שני ההולכים נעים במהירות קבועה, לכן כל אחד מיהם צריך שורה אחת.

סך הכל שתי שורות בטבלה.

שתי המהירויות ידועות, נציב אותן בטבלה:

מהירות זמן דרך
ההולך דרומה 4
ההולך מערבה 3

הגדרת משתנה והשלמת הטבלה

אנו צריכים לדעת שני דברים בשורה על מנת לבצע חישובים.

את המהירות אנו יודעים, לכן נגדיר את הזמן כמשתנה:

t הזמן בשעות עד שהמרחק הוא 15 קילומטר.

שניהם נעו אותו זמן, t שעות

נציב את הנתונים בטבלה.

נחשב את הטור של הדרך בעזרת פעולת הכפל.

מהירות זמן דרך
ההולך דרומה 4 t 4t
ההולך מערבה 4 t 3t

בניית משוואה

עד לנקודה שבה המרחק היה 15 כל אחד מיהם הלך:
4t ההולך לכיוון דרום.
3t  ההולך לכיוון מערב.

על פי משפט פיתגורס:

(3t)² + (4t)² = 15²
3²t² + 4²t² = 225
9t² + 16t² = 225
25t² = 225
t² = 9
t = 3  או t = -3

מכוון ש t הוא זמן שהוא גודל חיובי התשובה היא 3 שעות.

פתרון התרגיל ללא טבלה

t זמן ההליכה של כל אחד מיהם עד שהמרחק בניהם 15 ק"מ.

עד לנקודה שבה המרחק היה 15 כל אחד מיהם הלך:
4t ההולך לכיוון דרום.
3t  ההולך לכיוון מערב.

על פי משפט פיתגורס:

(3t)² + (4t)² = 15²
3²t² + 4²t² = 225
9t² + 16t² = 225
25t² = 225
t² = 9
t = 3  או t = -3

מכוון ש t הוא זמן שהוא גודל חיובי התשובה היא 3 שעות.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

8 מחשבות על “בעיות תנועה עם משפט פיתגורס”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. לא הבנתי למה בתרגיל של השבלול והצב מהירות השבלול היא 2איקס פלוס 1 בשניה ולא 1.5 איקס כפול שתיים=3 איקס?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כי המהירות גדולה ב 0.5 קמש.
      x + 0.5
      ולא שהמהירות גדולה ב 50%.
      x + 0.5x = 1.5x

  2. שלום, אני הסתבכתי עם בעיות שצריך לחשב אחרי כמה שעות הם הגיעו למרחק מסויים בנייהם, תוכלו להכין סירטון על זה?

    ותודה על האתר הוא ממש עוזר

  3. שלום, 1. תודה על האתר המדהים, זה עוזר ללמידה הרבה יותר מכל אפשרות אחרת.
    2. בתרגיל 2 בעמוד הנוכחי. א. בבניית המשוואה מצויין ש 204.25- = 225 – 20.25 למה התוצאה היא לא
    -204.75?!
    ב. אני מאוד הסתבכתי בעשיית משוואה ריבועית עם שברים עשרוניים אשמח אם
    תוכל להדריך\להפנות אותי לדף שמסביר את זה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אסף
      תודה רבה על המחמאות ותודה רבה על התיקון. הייתה שם טעות.
      משוואה ריבועית עם שברים עשרוניים לעומת מספרים שלמים זה דבר טכני שבו אתה צריך לשים לב למה גרם לטעות בתרגיל הקודם על מנת לא לטעות בתרגיל הנוכחי.
      כרגע אין דף בנושא.
      אם הקושי שלך במשוואות הללו הוא אחר ולא טכני אז תסביר אותו ואראה אם אוכל להסביר.

        1. לומדים מתמטיקה

          הוספתי פתרון מלא כך שאתה יכול לבדוק מה עשית.

          אל תתרגש מהתרגיל הזה המספרים בו באמת גבוהים וזה לא נפוץ לפתור מספרים כאלו. הדף הזה נועד ללמוד בעיות מילוליות עם פיתגורס זה הדגש, אין צורך להתעכב על המשוואות הריבועיות הנוצרות בתרגילים – אפילו בדף הן להן פתרונות מלאים.
          אם הבנת את הנושא המילולי אני ממליץ להמשיך הלאה.