פונקציית ln תחום הגדרה

בדף זה נלמד למצוא את תחום ההגדרה של פונקציית לן.

החלקים של דף זה הם:

1. הסבר ודוגמאות בוידאו.
2. דוגמאות: מתי פונקציית ln מוגדרת.
3. תרגילים.

נושאים נוספים בחקירת פונקציית ln בקישור.

1.הסבר ודוגמאות בוידאו

2.דוגמאות: מתי פונקציית ln מוגדרת

פונקציית ln מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי.

למשל הפונקציה f(x) = ln x מוגדרת כאשר  x > 0.
הפונקציה (f(x) = ln (x + 2 מוגדרת כאשר x + 2 > 0.

מציאת תחום ההגדרה של ln דומה מאוד למציאת תחום ההגדרה של פונקציית שורש.

בפונקציית שורש היינו צריכים שהביטוי שבתוך השורש יהיה חיובי או שווה ל 0.
בפונקציית לן נדרש חיובי ללא האפשרות של שווה ל 0.

הקשיים מתחילים כאשר הביטוי שבתוך ה ln הוא ביטוי שקשה להגיד עליו מתי הוא חיובי.

בחלק זה של הדף נעבור על סוגים נפוצים של פונקציית ln ונסביר כיצד מוצאים את תחום ההגדרה שלהם.

בטבלה הבאה פונקציות לצד אי שוויון שפתרונו נותן את תחום ההגדרה.

שתי הפונקציות האחרונות הן ברמת 5 יחידות.

פונקציה	אי שוויון נותן את תחום ההגדרה
(f (x) = ln (x – 4	x – 4 > 0
(f (x) = ln (x – 4) – ln (x + 2	x + 2 > 0   וגם   x – 4 > 0
(f(x) = ln (x² – 8x + 12	x² – 8x + 12 > 0
	x – 2 ≠ 0  וגם  x + 8 > 0
	וגם  x – 1 ≠ 0
(f (x) = ln (√x – 1	x ≥ 0 וגם x – 1 > 0√

פתרונות מלאים לששת הפונקציות הללו

סוג 1: פונקציית ln פשוטה
(f (x) = ln (x – 4

תחום ההגדרה הוא כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי.
x – 4 > 0
x > 4

סוג 2: שילוב של שתי פונקציות ln
(f (x) = ln (-x – 4) – ln (x + 2

עלינו לבנות שני אי שוויונות ותחום ההגדרה יצטרך לקיים את שני התנאים.
x – 4 > 0-
x > 4-
x < – 4
וגם
x + 2 > 0
x > -2

קיבלנו
x < – 4
x > -2

לשני התחומים הללו אין תחום משותף ולכן הפונקציה הזו אינה מוגדרת

סוג 3: כאשר בתוך ה ln נמצאת משוואה ריבועית
(ln (x² – 8x + 12

במקרה זה עלינו לפתור אי שוויון ריבועי של:

x² – 8x + 12 > 0

ניתן לעשות זאת בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.

נפתור כאן בעזרת טרינום:

x² – 8x + 12 = 0
x² – 2x – 6x + 12 = 0
x (x – 2) – 6 (x – 2) = 0

(x – 6) ( x – 2) = 0

x = 6  או x = 2.

זו פרבולת מינימום משום שהמקדם של x² הוא חיובי (1).

סקיצה של הפרבולה נראית כך:

ניתן לראות שהפרבולה חיובית כאשר:

x < 2 או x > 6.

וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה (ln (x²-8x+12.

סוג 4: שילוב בין ln לפונקציה רציונלית
כאשר הפונקציה כוללת מכנה עלינו לדאוג שהמכנה יהיה שונה מ 0.

במקרה זה עלינו לדאוג שהמכנה יהיה שונה מ 0.
x – 2 ≠ 0
x ≠ 2

וגם הביטוי שבתוך ה ln צריך להיות חיובי.
x + 8 > 0
x > -8
תשובה: x > -8 וגם x ≠ 2.

סוגים 5-6 מתאימים ל 5 יחידות

סוג 5: כאשר בתוך ה ln יש שבר

במקרה זה יש שני תנאים.
המכנה של השבר צריך להיות שונה מ 0.

x – 1 ≠ 0

x ≠ 1

וגם השבר שבתוך ה ln יהיה חיובי.

זה אי שוויון עם שברים, פותרים אותו על ידי הכפלה במכנה בריבוע (בריבוע כי רוצים להכפיל בוודאות במספר חיובי, על מנת לא להחליף את כיוון האי שיווין).

מכפילים ב   x – 1)²)

נקבל:
x +2) (x – 1) > 0)

וזה אי שוויון ריבועי שאנו כבר יודעים לפתור ופתרונו:

x > 1   או  x < -2

סוג 6: כאשר בתוך ה ln יש שורש

במקרה זה נמצא את תחום ההגדרה של פונקציית השורש הפנימית ושל פונקציית ה ln.

(f (x) = ln (√x – 1

תנאי ראשון הוא שהביטוי שבתוך פונקציית השורש יהיה חיובי או שווה ל 0.
x ≥ 0

תנאי שני שהביטוי בתוך ה ln יהיה חיובי.
x – 1 > 0√
x > 1√
x > 1
או
x < -1

התחום המקיים את תנאים 1 ו 2 ביחד הוא
x > 1
וזה תחום ההגדרה של הפונקציה.

3.תרגילים

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:

1. (f(x) =  ln (3x – 6
2. f(x) = ln (x²)
3. (f(x) = ln ( x² – 5x – 24
4. f(x) = ln (x² + 1) – ln (2x + 6)
5. 

פתרונות

תרגיל 1
(ln (3x – 6

תרגיל 2
f(x) = ln (x²)

תרגיל 3
(ln ( x² – 5x – 24

תרגיל 4
f(x) = ln (x² + 1) – ln (2x + 6)

תרגיל 5

פתרון

תחום ההגדרה מורכב משני תנאים

1.המכנה שונה מ 0.
תנאי זה מתקיים כאשר x ≠ 0

2.הביטוי שבתוך הלן צריך להיות חיובי

מתי השבר הזה חיובי?
המונה (1) חיובי תמיד.

המכנה חיובי תמיד מלבד x = 0

לכן השבר חיובי כאשר x ≠ 0

החיתוך (וגם) של שני התנאים הוא

x ≠ 0.

וזה תחום ההגדרה.

[/su_spoiler] [/su_accordion]

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• אינטגרלים – מסוגים שונים.
• פונקציות – הדף המרכזי בנושא הפונקציות.