לומדים מתמטיקה

מלוח הכפל  ועד הבגרות

אחוזים

16 תגובות / בעיות מילוליות

דפים עבור תלמידי יסודי:

  1. כיצד עוברים משבר לאחוז ולהפך.
  2. אחוזים כיתה ו: 3 סוגים של בעיות אחוזים. (הדף המרכזי לבית הספר היסודי).
  3. בעיות הנחה והתייקרות באחוזים.

עבור תלמידי חטיבת הביניים:

  1. אחוזים סיכום (לחטיבת הביניים ותיכון).
  2. בעיות אחוזים בסיסיות כיתה ח.
  3. בעיות אחוזים כיתה ח – כולל את החומר של כיתה ח ומעבר. בעצם תמצאו בו את כל הידע הנדרש עד הבגרות.
  4. בעיות הוזלה והתייקרות כפולים באחוזים.
  5. כיצד לחשב אחוזים בעל פה.

עבור תלמידי תיכון הניגשים לבגרות יש את הדפים הבאים:

  1. אחוזים ובעיות מילוליות (שאלון 182)
  2. בעיות קנייה ומכירה 3 יחידות (שאלון 382).
  3. בעיות קנייה ומכירה 4 יחידות (שאלון 481).

בהמשך הדף סיכום בנושא אחוזים.
הסיכום הוא תאורטי ועובר על נושאים רבים ופחות ממוקד.
למי שאינו יודע אחוזים ורוצה ללמוד אני ממליץ להשתמש באחד מהקישורים שלמעלה, ולא בסיכום.

אחוזים ומספרים לא יכולים להיות באותה משוואה

חשוב להבין שלא שמים אחוזים כמו שהם במשוואה יחד עם מספרים רגילים.
על מנת להציב את האחוז במשוואה יש להפוך אותו לשבר.
30% יהפכו להיות 30/100 = 0.3 כאשר נרצה לשים אותם במשוואה.

סוג 1: רוצים שנהפוך את האחוז למספר
הפתרון בקצרה: מכפילים את החלק בשלם.

דוגמאות לשאלות:

  1. כמה הם 20% מתוך 60?
  2. בכיתה 30 תלמידים ו 30% מהם הגיעו עם חולצה לבנה. כמה תלמידים הגיעו עם חולצה לבנה?
  3. לטיול יצאו 60 תלמידים. 70% מיהם נסעו באוטובוס מספר 1. כמה תלמידים נסעו באוטובוס מספר אחד?
  4. חנות מוכרת 40 מוצרים ביום. החנות שלידה מוכרת 150% מהכמות שהחנות הראשונה מוכרת. כמה מוצרים ביום מוכרת החנות השנייה?

התשובה לכול השאלות זהה: מכפילים את החלק בשלם. אבל לזכור: לא שמים את האחוז כמו שהוא במשוואה, אלא הופכים לשבר על ידי חלוק ב 100.

0.2=20/100=20%.
0.3=30/100=30%.
0.7=70/100=70%.
1.5=150/100=150%

  1. 12=60*0.2.
  2. 9=30*0.3   – 9 תלמידים הגיעו עם חולצה לבנה.
  3. 42=60*0.7    – 42 תלמידים נסעו באוטובוס מספר 1.
  4. 60= 40*1.5   – 60 מוצרים מוכרת החנות השנייה.

סוג 2: הפיכת שבר / חלק לאחוזים

הפתרון בקצרה: מכפילים את החלק ב 100.
בסוג הראשון לקחנו מספר באחוזים והחזרנו כתשובה מספר רגיל. בסוג  זה של שאלות נקבל מספר רגל וניתן כתשובה אחוזים.

  1. כמה אחוזים הם 30 מתוך 40?
  2. באוטובוס נוסעים 60 איש. 15 איש מתוכם נועלים סנדלים. מה אחוז האנשים שנועל סנדלים?
  3. נועה זרקה 10 פעמים קובייה. 4 פעמים יצא לה המספר 2. מה אחוז הפעמים שיצא לנועה המספר 2?

בכול המקרים הללו עלינו להפוך את החלק לשבר ואז להכפיל ב 100.

  1. החלק הוא 30/40=0.75
    75 = 0.75*100   – 30 מתוך 40 הם 75%.
  2. החלק הוא 15/60 = 0.25
    25 = 0.25*100   – 25% מנוסעי האוטובוס נועלים סנדלים.
  3. החלק הוא 4/10 = 0.4
    40 = 0.4*100  – 40% מהפעמים יצא לנועה 2.

סוג 3: אומרים כמה אחוזים שווה חלק ומבקשים לדעת את השלם
הפתרון בקצרה: מכפילים את החלק במספר ההופכי.

זה אולי הסוג הקשה ביותר של השאלות – אבל אם תשקיעו מאמץ ותגרמו “לאסימון ליפול” גם סוג זה יהפוך פשוט.

  1. 30% מתלמידי הכיתה הם 12 תלמידים. כמה תלמידים יש בכיתה?
  2. שני יצאה לריצה. אחרי 5 דקות עברה 800 מטרים שהם 15% ממסלול הריצה שלה. מה אורך המסלול כולו?
  3. עד השעה 5 בבוקר אפו במאפיה 70% מהלחמים שהם אופים בכול יום. סך הכל 140 לחמים נאפו עד שעה זו. כמה לחמים המאפייה אופה ביום?

פתרונות

  1. 30% הם 3/10. המספר ההופכי הוא 10/3 והפתרון הוא:
    (10/3) * 12 = 120/3=40.
    בכיתה 40 תלמידים.
  2. 15% הם 15/100 = 3/20. המספר ההופכי הוא 20/3 והפתרון הוא:
    (20/3) * 800 = 16,000/3 = 5,333.
    המסלול המלא הוא 5,333 מטרים.
  3. 70% הם 7/10. המספר ההופכי הוא 10/7 והפתרון הוא:
    (10/7) * 140 = 1400/7 = 200.
    המאפייה אופה 200 לחמים ביום.

מה ההגיון, מדוע מכפילים במספר ההופכי?
כאשר אומרים לנו ש 30% הם 12 זה אומר שלקחו מספר כלשהוא, נניח X וכפילו אותו ב 0.3 וקיבלו 12:
0.3x=12
לכן על מנת לחזור אל המספר עלינו לבצע את הפעולה ההפוכה ולהכפיל בהופכי.
זה מאוד דומה לכך ש מינוס של מינוס זה +  (5– = 5+).

אלו שלושת סוגי השאלות שקיימות בנושא אחוזים. שאר השאלות הן קומבינציה של 3 הסוגים הללו. סיכום קצר של דרכי הפתרון: כדי למצוא כמה שווה חלק מתוך השלם נכפיל את החלק בשלם. - לכן כאשר אנו רוצים לדעת כמה הם 30% מתוך 80 נכפיל את החלק (0.3) ב 80. 24 = 80*0.3 - ולכן כאשר אנו רוצים לדעת כמו אחוזים זה חלק מסוים: למשל כמה אחוזים זה 20 מתוך 80. נמצא את החלק 20/80 = 1/4 ונכפיל אותו ב 100 על מנת לתרגם לאחוזים. 0.25*100=25.

כאשר אומרים לנו כמה אחוזים הם חלק. למשל 30% הם 24. נכפיל את החלק במספר ההופכי: 24*(10/3) = 80.

ניסוח שאלה שצריך להכיר

  1. לפעמים אומרים 20% אבל שואלים על ה 80%. למשל:
    ירקניה מוכרת אבטיחים ומילונים. 20% מהפירות בירקניה הם מילונים. סך הכול יש 70 פירות בירקניה. כמה אבטיחים יש בירקניה?
    עלינו לשים לב שכמות האחוזים שקיבלנו לא מספרת על מה ששאלו אותנו.
    יש שתי דרכים לפתור את השאלה:
    א. אם יש 20% מילונים זה אומר שיש 80% אבטיחים. לכן עלינו לחשב 80% מתוך 70.
    השבר המתאים ל 80% הוא 8/10.
    (8/10) * 70 = 560/10 = 56.
    תשובה: יש 56 מילונים בירקניה.
    ב. נחשב את מספר המילונים:
    2/10* 70 = 14.
    מספר האבטיחים הוא 56= 70-14.
  2. ניסוח מבלבל נוסף הוא שלפעמים שואלים על “מה השתנה” לעומת שאלות על “סך הכל”. למשל:
    חולצה עולה 70 שקלים. מחירה עלה ב 20% מה מחירה החדש.
    צריך לשים לב שהתשובה שלנו צריכה להיות לא כמה 20% שווים, אלא כמה 120% שווים (המחיר ההתחלתי + השינוי).
    ניתן לפתור שאלה זו בשתי דרכים:
    לחשב כמה 20% שווים ואז להוסיף למחיר ההתחלתי.
    (2/10) * 70 = 140/10 = 14.
    84 = 70+14.
    המחיר החדש הוא 84 שקלים.
    בדרך השנייה נחשב ישר כמה שווים 120% מהמחיר המקורי.
    השבר המתאים ל 120% הוא 1.2.
    1.2 * 70 = 84.
    הגענו לאותה תשובה.

סוג 4: קנייה ומכירה עם אחוזים

בהוזלה והתייקרות ברוב המקרים לא מבקשים מאיתנו למצוא הגודל שנתנו לנו אלא גודל אחר. למשל, מחיר מכנסיים הוא 200 שקלים. המחיר ירד ב 30% מה המחיר החדש?
פתרון: המחיר החדש הוא 70% מהמחיר המקורי. לכן נחשב אותו.
(7/10) * 200 = 1400/10=140.

סוג 5 : הוזלה והתייקרות כפולות

הפתרון בקצרה: עושים מה שלמדנו עד עכשיו, רק פעמיים.
מחיר מכנסיים הוא 60 שקלים. המחיר עלה ב 40% ולאחר מיכן ירד ב 20%. מה המחיר החדש?
פתרון
לאחר עליה של ה 40% המחיר הוא:
1.4 * 60 = 84.
ממחיר זה ירדנו ב 20% והמחיר החדש הוא:
0.8*84 = 67.2.
67.2 שקלים הוא המחיר לאחר שני השינויים.

דבר נוסף, אין צורך לפתור את התרגיל על ידי של שני תרגילים נפרדים. ניתן לבצע חישוב אחד.
1.4*0.8*60= 67.2.

1.4*0.8*60= 67.2.

סוג 5: האחוז הוא המשתנה

מחיר מתנה הוא 60 שקלים. המחיר עלה באחוז מסוים ולאחר מיכן ירד במחצית האחוזים שבהם עלה. ידוע כי המחיר הסופי הוא 67.5 שקלים.
בכמה אחוזים השתנה המחיר בכול פעם?

פתרון
x – אחוז ההתייקרות בפעם הראשונה.
0.5x אחוז ההנחה בפעם השנייה.

המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה ב:

ונקבל:

הפתרון של המשוואה הריבועית הזו הוא x=50.
תשובה: המחיר עלה בפעם הראשונה ב 50% וירד בפעם השנייה ב 25%.

עוד באתר:

16 מחשבות על “אחוזים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

כל הזכויות שמורות ללומדים מתמטיקה 2025