אחוזים סיכום

בדף זה נסכם את סוגי בעיות האחוזים מהסוג הראשון, שהם הרוב המוחלט של בעיות האחוזים.
לסיכום יש 4 חלקים:

  1. מבוא.
  2. שינוי יחיד באחוזים.
  3. שינוי כפול.
  4. מכשולים בבעיות.

1.מבוא לאחוזים: שלוש דברים שצריך להבין

ברוב הגדול של בעיות האחוזים צריך למצוא חלק מתוך שלם.

1.כיצד מוצאים חלק מתוך שלם ללא אחוזים
דוגמה
כמה זה 1/5 מתוך 20?

פתרון
חלק מתוך שלם מוצאים על ידי הכפלת החלק בשלם.
נכפיל את החמישית ב 20.

תשובה: 1/5 מ 20 הם 4.

2.חלק מתוך שלם עם אחוזים
גודל התחלתי של דבר הוא 100%.
אם מחירו / גודלו עלה ב 40% עכשיו גודלו הוא 140%.

נניח ומחיר מוצר הוא 30. ומחירו עלה ב 40%.
מה מחירו עכשיו?

השאלה היא בעצם:
כמה הם 140% מתוך 30?

פתרון
השבר המתאים ל 140% הוא:

נכפיל את השבר בשלם:

תשובה: 140% מתוך 30 הם 42.

הדרך הפשוטה לחישוב תרגיל כזה היא:

1.4 * 30 = 42

דוגמה 2
מחיר מוצר היה 40 שקלים ומחירו ירד ב 20%.
מה מחירו לאחר הירידה?

פתרון
לאחר ירידה של 20% מחיר מוצר הוא 80% מתוך 40.
החלק של 80% מתוך 40 הוא:

0.8 * 40 = 32
מחיר המוצר לאחר הירידה הוא 32 שקלים

לשים לב להבדל בין השאלות: חישוב המחיר החדש לעומת חישוב השינוי במחיר

עליכם לשים לב לשני סוגים שונים של שאלות:

  1. מה המחיר החדש (נפוץ יותר).
  2. מה השינוי במחיר.

הסוג הראשון אלו הן השאלות שפתרנו עד עכשיו.

דוגמה לסוג השני
מחיר מוצר הוא 50 שקלים.
המחיר עלה ב 40%.
בכמה מחיר המוצר עלה?

פתרון
מחיר המוצר עלה ב 40% שהם 0.4 מתוך 50.

0.4 * 50 = 20
מחיר המוצר עלה ב 20 שקלים

2.תחילת העבודה עם משתנים

דוגמה 
מחיר מוצר הוא x.
מחירו ירד ב 40%.
מה מחירו החדש?

פתרון
60% מתוך x הם:
x * 0.6 = 0.6x

מכך עליכם להבין גם את הדוגמאות הבאות:
מחיר מוצר הוא x.
חשבו את מחיר המוצר במקרים הבאים:

  1. ירידה של 10%.
  2. עליה של 60%
  3. עליה של 25%
  4. ירידה של 5%.
  5. עליה של 140%.

פתרון

  1. ירידה של 10%  ⇐  0.9x
  2. עליה של 60%  ⇐  1.6x
  3. עליה של 25%  ⇐  1.25x
  4. ירידה של 5%  ⇐  0.95x
  5. עליה של 140%  ⇐  2.4x

הסעיף האחרון קשה מאחרים לכן נסביר אותו.
לאחר עליה של 140% המחיר הוא 240% מהמחיר המקורי.
השבר המייצג את 240% הוא 2.4, לכן 2.4x.

3.שינוי יחיד באחוזים

תרגיל 1 (מוצר יחיד)
מחיר שמלה ירד ב 20% ועכשיו מחיר 3 שמלות הוא 200 שקלים.
מה המחיר המקורי של שמלה?

פתרון
x מחיר שמלה בשקלים.
0.8x מחיר שמלה לאחר הירידה במחיר.

משוואה:
0.8x * 3 = 200
2.4x = 200
x = 83.33
תשובה: המחיר המקורי של השמלה הוא 83.33 שקלים.

תרגיל 2 (מוצר יחיד)
מחיר שמלה ירד ב 20%.
הדס קנתה 4 שמלות וקיבלה עודף של 60 מ 300 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של השמלה?

פתרון
x מחיר שמלה בשקלים.
0.8x מחיר שמלה לאחר הנחה.

משוואה
זה שהיא קיבלה עודף 60 שקלים מ 300 זה אומר שהיא שילמה בפועל 240 שקלים.
המשוואה היא:
0.8x * 4 = 240
3.2x = 240
x = 75
תשובה: המחיר ההתחלתי של שמלה הוא 75 שקלים.

תרגיל 3 (שני מוצרים באותו צד של המשוואה)
מחיר מלפפונים גבוה ב 25% ממחיר עגבניות.
2 קילו עגבניות ו 3 קילו מלפפונים עולים 30 שקלים.
מצאו את המחיר של קילו עגבניות וקילו מלפפונים.

פתרון
x  מחיר קילו עגבניות.
2x  מחיר שני קילו עגבניות.
1.25x  מחיר קילו מלפפונים.
1.25x * 3 מחיר 3 קילו מלפפונים.

משוואה מבוססת על המשפט "2 קילו עגבניות ו 3 קילו מלפפונים עולים 30 שקלים".
2x + 1.25x * 3 = 30
5.75x = 30
x = 5.21

מלפפונים:
1.25x = 6.51
תשובה: מחיר קילו עגבניות הוא 5.21 שקלים ומחיר קילו מלפפונים הוא 6.51 שקלים.

תרגיל 4 (שני מוצרים בשני צדדי המשוואה)
מחיר מלפפונים גבוה ב 25% ממחיר עגבניות.
3 קילו מלפפונים עולים 10 שקל יותר מ 2 קילו עגבניות
מצאו את המחיר של קילו עגבניות וקילו מלפפונים.

פתרון
x  מחיר קילו עגבניות.
2x  מחיר שני קילו עגבניות.
1.25x  מחיר קילו מלפפונים.
1.25x * 3 מחיר 3 קילו מלפפונים.

המשוואה
הפעם יש לנו את העגבניות בצד אחד ואת המלפפונים בצד השני.
עלינו להחליט למי להוסיף 10 על מנת לאזן את המשוואה.
הכלל אומר שמוסיפים למי שקטן יותר, לכן נוסיף

שני השינויים הם באחוזים
שינוי אחד במספרים והשני באחוזים
השינוי הוא אחוז לא ידוע

4.שינויים כפולים באחוזים

בחלק זה נלמד לפתור בעיות המדברות על מוצר אחד העובר שינוי כפול.

תרגיל 5 (שני שינויים באחוזים, המחיר ההתחלתי ידוע)
מחיר משקפיים הוא 400 שקלים.
המחיר עלה ב 20% ולאחר מיכן ירד ב 40%.
מה מחיר המשקפיים לאחר שני השינויים?

פתרון
1.2 * 400  זה המחיר לאחר עליה של 20%.
0.6 * 1.2 * 400 זה המחיר לאחר השינוי השני.

שימו לב שכתיבה מדויקת יותר תהיה:
0.6 * (1.2 * 400)
על מנת להבהיר שהירידה שהירידה של 40% היא מהמחיר לאחר השינוי הראשון.
אבל בגלל שכל הפעולות בתרגיל הן כפל אין משמעות לסוגריים ושתי צורות הכתיבה מובילות לאותה תוצאה.

תרגיל 6 (שני שינויים באחוזים, המחיר הסופי ידוע).
מחיר משקפיים עלה ב 20% ולאחר מיכן עלה ב 15%.
לאחר שתי העליות המחיר היה 414 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של המשקפיים?

פתרון
x  המחיר ההתחלתי של המשקפיים בשקלים.
1.2x  מחיר המשקפיים לאחר העליה הראשונה.
1.2x * 1.15 מחיר המשקפיים לאחר שתי העליות.

המשוואה
1.2x * 1.15 = 414
1.38x = 414
x = 300

חלקים 7-8 נדרשים ברמת 4-5 יחידות בלבד

תרגיל 7 (שינוי ראשון במספר שקלים, שינוי שני באחוזים)
מחיר נעליים ירד ב 50 שקלים ולאחר מיכן עלה ב 30%.
לאחר שני שינויים המחיר 195 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הנעליים?

פתרון
x המחיר ההתחלתי של הנעליים.
x – 50 המחיר לאחר ירידה של 50 שקלים.
x – 50) * 1.3)  המחיר לאחר עלייה של 30%.

המשוואה:
x – 50) * 1.3)  = 195)
1.3x – 65 = 195  / +65
1.3x = 260
x = 200
תשובה: המחיר ההתחלתי של הנעליים הוא 200 שקלים.

תרגיל 8 (האחוז הוא המשתנה)
עד עכשיו פתרנו תרגילים בהם המחיר של המוצר היה המשתנה.
עכשיו ניתן דוגמה לתרגיל בהם אחוז השינוי הוא משתנה.

מחיר חולצה הוא 60 שקלים.
המחיר עלה ב x אחוזים ולאחר מיכן ירד באותו מספר אחוזים.
המחיר הסופי של החולצה לאחר שני השינויים הוא 54.6 שקלים.
מצאו את אחוז העלייה והירידה של החולצה.

פתרון
אם המחיר היה עולה ב 10% היינו רושמים שהמחיר לאחר השינוי הראשון הוא:

כאשר המחיר עולה ב x אחוזים נרשום x במקום ה- 10 ונקבל:

עבור עלייה וירידה ב x אחוז נרשום את המשוואה:

המכנה המשותף הוא:
10,000 = 100 * 100
נכפיל ב: 10,000 ונקבל:

60(100 + x) (100 – x) = 546,000

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 60 ונקבל:

(100 + x) (100 – x) = 9100

נפתח סוגריים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר
a² – b² = (a + b) * (a – b)
100² – x² = 9100
-x² + 10,000 = 9100
x² – 900 = 0
x² = 900
x = 30 או x= -30

מכוון ש x מוגדר כאחוז עלייה הפתרון המתאים הוא x = 30.
תשובה: החולצה עלתה ב 30% ולאחר מיכן ירדה ב 30%.

5.מכשולים בבעיות אחוזים

עד עכשיו למדנו כל מה שצריך בנושא בעיות אחוזים (הסוג הראשון והעיקרי).
אבל בבעיות המשלבות אחוזים יש קשיים נוספים שאינם קשורים לאחוזים.

6.שני סוגים נוספים של בעיות אחוזים

כל הדף הזה היה בנושא בעיות אחוזים שהם "מציאת חלק מתוך שלם".
הרוב הגדול של בעיות אחוזים הם מהסוג שנלמד למעלה בדף.

אבל יש עוד שני סוגי שפוגשים בהם לרוב בתחילת הלימוד של אחוזים.
ואותם נלמד כאן.

1.מציאת האחוז

בשאלות מסוג זה יתנו לנו שינוי במספרים.
למשל:

  1. מחיר בקבוק עלה מ 8 ל 10 שקלים.
  2. מחיר תנור ירד מ 150 ל 120 שקלים.
  3. מחיר כיסא עלה מ 100 ל 120 שקלים.

בכל המקרים הללו מתארים שינוי במספרים
8 ⇒ 10
150 ⇒ 120
100 ⇒ 120

והשאלה תהיה "בכמה אחוזים השתנה המחיר".

בשאלה הראשונה
מחיר בקבוק עלה מ 8 ל 10 שקלים.

השינוי הוא של 2 שקלים.
ועלינו להפוך את המספר 2 לאחוז.

תמיד אחוז השינוי מחושב מתוך המחיר לפני השינוי.

2 מתוך 8 באחוזים הם:

תשובה: מחיר הבקבוק עלה ב 25%.

בשאלה השנייה
מחיר תנור ירד מ 150 ל 120 שקלים.

השינוי הוא של 30 מתוך 150
(האחוז תמיד מחושב מתוך המחיר המקורי).
גודל השינוי הזה באחוזים הוא:

תשובה: מחיר התנור ירד ב 20%.

בשאלה השלישית
מחיר כיסא עלה מ 100 ל 120 שקלים.

השינוי הוא של 20 מתוך 100.

תשובה: מחיר הכיסא עלה ב 20%.

2.מציאת השלם

בבעיות מסוג זה יתנו לנו את הגודל של החלק ויבקשו את הגודל של השלם.

למשל:

  1. 50% מהכלים הם 30 צלחות. כמה כלים יש?
  2. 25% מהרהיטים הם 15 כסאות.  כמה רהיטים יש?
  3. 16% מהכסף הוא 50 שקלים. כמה כסף יש?

כאשר יש מספרים עגולים הבעיה יחסית קלה.
50% הם 30.
אז 100% הם 60.

25% הם 15.
אז 100% הם 60.

אבל מה עושים כאשר המספרים לא עגולים, כמו במקרה השלישי?

תשובה: מכפילים בהופכי של האחוז.
השבר המתאים ל 16% הוא 16/100.
לכן נכפיל ב 100/16 כדי למצוא את השלם.

תשובה: 100% מהכסף הם 312.5 שקלים.

דוגמה נוספת
22% מהמשחקים בחנות הם 110 משחקי קופסא.
כמה משחקים בחנות?

פתרון
השבר המתאים ל 22% הוא 22/100.
השבר ההופכי הוא 100/22.

נכפיל את השבר ההופכי במספר שקיבלנו:

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.