חוקי חזקות

בדף זה קורס מסכם בנושא חוקי חזקות.

בחלק הפתוח לכולם נכיר את חוקי החזקות ונלמד כיצד להשתמש בחוקים על מנת לפתור תרגילים שהם יחסית טכניים.

בחלק השני שמיועד למנויים נלמד כיצד להשתמש בחוקים על מנת לפתור תרגילים שהם פחות טכניים.

נושאי הקורס:

1.סרטון מסכם

2.כפל חזקות

חוק החזקה לכפל חזקות הוא:

a^m * aⁿ = a^{m + n}

החוק אומר שכאשר יש לנו כפל בין שני מספרים עם בסיס זהה אנו יכולים לחבר את החזקות שלהם.

דוגמה 1

2⁷ = 2³⁺⁴ = 2⁴ * 2³

דוגמה 2

x⁵ * x² = x²⁺⁵ = x⁷

שגיאות וכללים לשימוש נכון בחוק

1.טעות: ביצוע כפל של מערכי החזקה במקום חיבור

מכוון שאנו מדברים על חוק של “כפל חזקות” אנו זוכרים (בטעות) להכפיל את מעריכי החזקה כך:

x³ * x² = x^3*2 = x⁶  זו טעות.

אך אנו צריכים לחבר את מערכי החזקה כך:

x³ * x² = x^{3 +2} = x⁵  

2.לא ניתן לבצע חיבור או חיסור של חזקות

כאשר יש חיבור בין חזקות לא ניתן להשתמש בחוק.

לדוגמה בתרגיל הבא לא ניתן להשתמש בחוק.

= 5⁴ + 5²

3. בסיס החזקה חייב להיות שווה על מנת להשתמש בחוק.

כאשר בסיסי החזקה שונים לא ניתן להשתמש בחוק.

זה תרגיל שלא ניתן לפתור בעזרת החוק.

= 4³ * 3⁵

נסו לפתור בעצמכם:

תרגיל 1

= 4⁴ * 4⁵

תרגיל 2

= x⁹ * x³

תרגיל 3

= a⁴ *a² * a⁷

• כפל של חזקות.

3.חילוק חזקות

כאשר יש לנו במונה ובמכנה חזקות עם בסיס זהה אנו יכולים לצמצם על ידי חיסור החזקות.

זה החוק:

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3 (חזקה וגם מספר)

צמצמנו את המספר בנפרד ואת החזקה בנפרד.

דוגמה 4 (כפל לפני חילוק)
בשלב ראשון נשתמש במונה בחוק החזקה:

a^m * aⁿ = a^{m + n}

לאחר מיכן נחלק מונה ומכנה:

נסו לפתור בעצמכם:

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

• חילוק של חזקות.

4.חזקה של חזקה

כיצד נחשב את הערך של:

(x⁴)⁵ = ?

לשם כך יש את חוק החזקה הבא:

a^m)ⁿ = a^{m * n})

ולכן הפתרון יהיה:

x⁴)⁵ = x^{4 * 5} = x²⁰)

דוגמה 1 

a²)³ * a = a^{2 * 3} * a¹ = a⁶⁺¹= a⁷)

דוגמה 2

2x)⁵ = 2⁵x⁵)

נסו לפתור בעצמכם:

תרגיל 1 

 (6x)⁸ = 

תרגיל 2

(a⁵)⁴ * a^-9 = 

• חזקה של חזקה.

5.פתיחת סוגריים עם חזקה

חוק החזקה הוא:

a*b*c)^m = a^m * b^m * c^m)

דוגמה 1

2x)⁵ = 2⁵x⁵)

דוגמה 2

x*2*y)⁷ = x⁷*2⁷*y⁷)

דוגמה 3

(x³*y²*z)⁵ =

x^3*5*y^2*5*z⁵ = x¹⁵y¹⁰z⁵

נסו לפתור בעצמכם:

תרגיל 1

(4x)² =

תרגיל 2

(2x)³ * 4x² =

• פתיחת סוגריים וחוקי חזקות.

6.חזקה שלילית

כאשר יש לנו חזקה שלילית במונה אנו יכולים להפוך אותה לחזקה חיובית במכנה.

ולהפך, כאשר יש לנו חזקה במכנה אנו יכולים להפוך אותה לחזקה שלילית במונה.

דוגמה 1

דוגמה 2

נסו לפתור בעצמכם:

תרגיל 1

כתבו את השבר הבא ללא מינוס בחזקה.

תרגיל 2

כתבו את השבר הבא ללא מינוס בחזקה.

7.חוקי חזקות עם 0 ו 1

1.כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1.

למשל:

1 = 4⁰

או

x⁰ = 1

2 אחד בחזקת כל מספר שווה ל 1.

למשל:

1 = 1*1*1 = 1³

או

1^x = 1

3. אפס בחזקת כל מספר השונה מ 0 שווה ל 0.

למשל:

0 = 0⁶

או

0 = 0^-4

4. אפס בחזקת 0 הוא ביטוי לא מוגדר.

לא מוגדר = 0⁰

נסו לפתור בעצמכם:

תרגיל 1

7⁵ * 7 =

תרגיל 2

5² * 1³ =

תרגיל 3

6¹⁰ * 0¹⁰ =

8.חזקה על שבר

חוק החזקה הבא הוא שימושי פחות אך עדיין קיים:

אפשר לכתוב זאת גם הפוך:

דוגמה 1

דוגמה 2

נסו לפתור בעצמכם:

תרגיל 1

נסו לכתוב את השבר הבא עם סוגריים:

9.כל חוקי החזקות

1. a^m * aⁿ = a^m+n
2. aⁿ)^m = a^{n * m})
3. a*b*c)ⁿ = aⁿ*bⁿ*cⁿ)
4. 
5. 
6. 
7. כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1.
   1=5⁰=100⁰.
8. 0 בחזקת כל מספר שווה ל 0. מלבד 0⁰ שהוא לא מוגדר.
   0 = 0^x.
9. 1 = 1^x

10.תרגילים מסכמים לחלק הראשון

• פתרונות מלאים לתרגילים יש בקישור.

1.תרגילים הבודקים חוק אחד

תרגיל 1

2x⁴ * 3x⁵ =

תרגיל 2

x³ + x⁴ =

תרגיל 3

האם התרגיל הבא פתור בצורה נכונה.

x² * x³ = x⁶

תרגיל 4

(5²)⁴ =

תרגיל 5

(6x)³ =

תרגיל 6

תרגיל 7

כתבו את התרגיל הבא ללא חזקה שלילית.

5^-2

תרגיל 8

0⁰ =

תרגיל 9

x⁰ =

2.סדר פעולות עם חזקות

תרגיל 1

הציבו x = 2.

בביטוי:

-(x)⁴

תרגיל 2

הציבו x = -2.

בביטוי :

(-x)³

3.תרגילים הכוללים יותר מחוק אחד

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

11.חוקי חזקות מתקדם

בחלק זה נלמד נושאים פחות טכניים בהקשר של חוקי חזקות.

צפייה בקורס המלא בנושא חזקות יכולה להתבצע דרך רכישת אחד מהקורסים הבאים:

1. מתמטיקה לכיתה ט.
2. מנוי לכל האתר.
3. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
4. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.