משוואות מעריכיות (הגרסה הארוכה)

משוואות מעריכיות הן משוואות שבהן המשתנה נמצא במעריך החזקה.

 

 

משוואות מעריכיות מופיעות כחלק מחקירת פונקציות מעריכיות ובעיות גידול ודעיכה.

לפני שאתם לומדים נושא זה עליכם לדעת חוקי חזקות היטב.

בדף זה נלמד את שתי השיטות לפתרון משוואות מעריכיות:

1. על ידי יצירת משוואה מהסוג  a^x = a^y ואז x = y.
2. על ידי הפיכת המשוואה המעריכית למשוואה ריבועית רגילה.

תרגילים מופיעים לאחר שתי השיטות.

• פתרון משוואות מעריכיות הוא דף קצר יותר הכולל רק את עיקר החומר.
• פתרון משוואות מעריכיות בעזרת מחשבון נלמד בקישור.

הערה
מספר (שאינו 0) בחזקה אף פעם לא שווה ל 0.
לכן אם אתם מקבלים משוואות כמו
5^x = 0
e^{x +2} = 0
אין למשוואות הללו פתרון.

1.פתרון משוואות מהסוג a^x = a^y

אם יש לנו משוואה שבה שתי חזקות שיש להם אותו בסיס חזקה אז גם מעריך החזקה של החזקות הללו צריך להיות שווה.
כלומר, אם:
a^x = a^y
אז:
x = y
שימוש בכלל זה מאפשר לנו ליצור משוואה “רגילה” ולהוריד את המשתנה ממעריך החזקה.

למשל:
2^x-1=4^2x
(2^x-1=2^2(2x

מכוון שבסיס החזקה שווה (2) גם מעריך החזקה צריך להיות שווה.
x-1=2*2x  / -x
1- = 3x
x=-1/3

על מנת להצליח לפתור שאלות מהסוג הזה עליכם לשלוט במספר טכניקות הקשורות לחוקי חזקות.

טכניקה 1: חזקות נפוצות ושינו בסיס החזקה
מספרים נפוצים שניתן להביא אותם לאותו בסיס חזקה הם:
2,4,8,16,32,64
את כולם ניתן לכתוב עם בסיס חזקה 2.
3,9,27,81
את כולם ניתן לכתוב עם בסיס חזקה 3.
5,25,125
את כולם ניתן לכתוב עם בסיס חזקה 5.

את שינוי בסיס החזקה אנו עושים בעזרת החוק:
a^m)ⁿ = a^{m * n})

דוגמה

2x = 1
x = 0.5

דוגמה 2
2^x+10 = 16^x
2^6x+10 = 2^4x
6x + 10 = 4x
2x= -10
x = -5

טכניקה 2: לעבור ממכנה למונה ומשורש לחזקה
כאשר אחת מהחזקות נמצאת במכנה נשתמש בחוק החזקה האומר:

למשל:

על ידי שימוש בכלל נקבל:
5^x = 5^{2 -x}
x = 2 – x
2x =2
x = 1

חוק חזקה שימושי נוסף הוא זה ההופך כתיבה בצורה של שורש לכתיבה בצורה של חזקה.

למשל:

x + 5 = 4 /3
x = -3.66

טכניקה 3: חיבור חזקות
חזקות ניתן לחבר רק אם יש להם את אותו בסיס חזקה ואותו מעריך חזקה.

לכן את המספרים
= 3⁴ + 3⁶
לא ניתן לחבר כמו שהם.

אבל ניתן להביא את שני הגורמים למעריך חזקה 4 ואז לחבר אותם.
= 3⁴ + 3⁴*3²
= 3⁴ + 3⁴*9
= 3⁴ * 10

חלק לא מבינים את המעבר בין השורות הללו:
= 3⁴ + 3⁴*9
= 3⁴ * 10
וההסבר הוא:
9 שקי מלט ועוד שק מלט אתם יודעים שהם 10 שקי מלט.
ובאותה מידה 9 פעמים 3⁴ ועוד פעם אחת 3⁴ הם 10 של 3⁴.

• חיבור חזקות הוא דף המסביר את הנושא בצורה יסודית.

דוגמה נוספת עם משתנה:
5^X-1+5^X+1=650
כרגע מעריכי החזקה שונים. אבל ניתן לגרום לכולם להיות x – 1.

5^{x -1}+ 5² * 5^x-1=650
5^{x -1}+ 25 * 5^x-1=650
5^x-1  * 26 =650  /:26
5^x-1=25=5²
x – 1 = 2
x = 3

ברוב התרגילים מהסוג הזה נוח לעבור למעריך החזקה הקטן ביותר שקיים, לכן את העברנו את החזקות ל 5^{x -1} ולא ל  5^x.
אם היינו מעבירים ל 5^x היינו צריכים ליצור מכנה בתרגיל ועדיף להימנע מהמכנה.

הבהרה:
כיצד מבצעים את המעבר בין השורות
5^x + 5¹ * 5^x=150
5^x  * 6 =150

עושים זאת כך:
נגדיר:
5^x = t
אז השורה הראשונה שלנו
5^x + 5¹ * 5^x=150
תהפוך להיות
t + 5t = 150
6t = 150  / : 6
t = 25
ועכשיו נחזור למשתנה המקורי:
5^x = 25 = 5²
x = 2

טכניקה 4: כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1
כאשר מופיע המספר 1 בתרגיל ניתן להפוך אותו לכל בסיס חזקה שנרצה.
כי כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1.
למשל:
e⁰ = 1,    6⁰ = 1,  10⁰ = 1

זה ישמש אותנו לפתרון משוואות הנראות כך:
7^{x – 2} = 1
7^{x – 2} = 7⁰
x – 2 = 0
x = 2.

טכניקה 5: כאשר אין בסיס שווה לפעמים צריך לפרק מספר לגורמיו הראשוניים
לפעמים תצטרכו לפרק מספר לשני בסיסים ולצמצם:
3^x * 16 = 6⁴
3^x * 2⁴ = (2*3)⁴
3^x * 2⁴ = 2⁴ * 3⁴
3^x =3⁴
x = 4

טכניקה 6: משוואה מעריכית ששווה ל 1 קל יחסית לפתור
כל מספר (שאינו 0 ) בחזקת 0 שווה ל 1.
למשל:
e⁰ = 1,    6⁰ = 1,  10⁰ = 1
לכן אם נקבל תרגיל:
5^{x +2} = 1
אז נפתור כך:
5^{x +2} = 5⁰
x + 2 = 0
x = -2

 

2.פתרון משוואה מעריכית בעזרת הפיכתה למשוואה ריבועית

כאשר לא נוכל ליצור משוואה מהסוג a^x = a^y ננסה להפוך את המשוואה למשוואה ריבועית.
נצליח לפתור בשיטה הזו כאשר המשוואה מורכבת מביטוי עם x בחזקה, ביטוי הגדול ממנו פי 2 ומספר.

עושים זאת בדרך הבאה:

3^2x+3^x+1-108=0
3^x*2+3*3^x-108=0

נשים לב שהחזקה 3^x*2 היא הריבוע של החזקה 3^x
על פי חוק החזקה:
a^m*n = (a^m)ⁿ

נציב 3^x=t.
ואז:
3^x*2 = t²

נקבל משוואה ריבועית:
t²+3t-108=0
ניתן לפתור בעזרת טרינום או נוסחת השורשים.
הפתרונות המתקבלים הם:
t=9  או t = -12.

עכשיו עלינו לחזור אל המשתנה המקורי x.
מכוון שבסיס החזקה חיובי (3) אז גם t חיובי.
כלומר:
3^x = -12
זו לא אפשרות שקיימת.

לכן האפשרות היחידה היא t=9.
3^x=9 = 3²
x=2

שימו לב
גם משוואות בהם הסימן על מעריכי החזקה הפוך בין ביטויים שונים לפעמים ניתן להפוך למשוואה ריבועית.
למשל:

4^x + 6 * 4^-x – 5 = 0

כיצד עושים זאת?
נשתמש בכלל:

ונקבל:

ולאחר מיכן נכפיל את כל המשוואה ב 4^x ונקבל:

4^x * 4^x + 6 – 5*4^x = 0

נגדיר:
4^x = t
ונקבל:
t² – 5t + 6 = 0

הפתרונות של המשוואה הם
t = 2,  t = 3.
ולכן:
4^x = 2,  4^x = 3
התשובות הסופיות של משוואה זו לא עגולות, אבל במשוואה זו כיצד לבנות משוואה ריבועית כאשר סימני מעריכי החזקה הפוכים.

3.תרגילים

בחלק זה 10 תרגילים בכתב.
לאחריהם 3 תרגילים עם פתרון וידאו בלבד.

תרגיל 1
2^{x -4} = 8

פתרון
נעביר את 8 לבסיס 2.
2^{x -4} = 2³
X-4=3
X=7

תרגיל 2
9^x = 27^1-x

פתרון
נעביר את שני הבסיסים לבסיס זהה של 3.
⁽3^2x = 3^3(1-x

מכוון שבסיסי החזקה שווים גם מעריכי החזקה צריכים להיות שווים.
2X=3-3X /+3X
5X=3 /:5
X=0.6

תרגיל 3

פתרון
נשתמש בכלל החזקה:

ונקבל:

x + 1 = 20-
x = 19-
x = -19

תרגיל 4

פתרון
נשתמש בחוק החזקה:

6^x = 6^2/5
x = 2/5
x = 0.4

תרגיל 5

פתרון
נשתמש בחוק:

נעביר את שני צדדי המשוואה לבסיס 3.
3^2x = 3³ * ^{– 0.25} = 3^-0.75
2x = -0.75
x = -0.375

תרגיל 6
4^{x +1} + 4^{x -1} = 272

פתרון
נהפוך את כל מעריכי החזקה למעריך הקטן ביותר שהוא x-1.
4^x-1 * 4² + 4^x-1 = 272
4^x-1 * 16 + 4^x-1 = 272
4^{x -1}* 17 = 272  / : 17
4^{x -1} = 16
4^x-1 = 4²
x – 1 = 2
x =3

תרגיל 7

פתרון
על מנת לפתור את התרגיל עלינו להגיע למצב שבו יש רק בסיס חזקה אחד בתרגיל והוא 4.
לכן נכתוב במקום 20 את 4*5 נצמצם ונפתור.

 

תרגיל 8

פתרון
כל הבסיסים מצד שמאל שווים.
עלינו להעביר אותם לאותו מעריך חזקה על מנת שנוכל לחבר אותם.
נעביר למעריך הקטן ביותר שהוא 2 פחות איקס.

נחבר את החזקות ונמשיך אל הפתרון.
נשתמש בכלל האומר שכול מספר בחזקת 0 שווה ל 1:
x⁰ = 12⁰ = 6⁰ = 1

תרגיל 9
2^4x + 4^x = 272

פתרון
אנו מעוניינים שכל החזקות יהיו בבסיס 4.
לשם כל נשתמש בחוק החזקה:
a^m*n = (a^m)ⁿ
נשתמש בחוק נעביר את הביטוי 2^4x לבסיס 4 כך:
2^4x = 2^2*2x = (2²)^2x = 4^2x
נשתמש באותו חוק שוב:
4^2x = 4^x*2  = (4^x)²

קיבלנו כי:
2^4x = (4^x)²
נציב זאת במשוואה המקורית:

על ידי הצבה ניתן להפוך את המשוואה למשוואה ריבועית.
זה מה שנעשה.
נציב
4^x = t

נקבל:
t²+t-272=0
נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל:
t=16 או t=-17.
מכוון שבסיס החזקה חיובי (4) גם ערך הביטוי t צריך להיות חיובי ולכן:
t=16

נחזור אל המשתנה x
4^x =16=4²
x=2

**תרגיל 10

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב)
נכתוב את המכנה מצד שמאל כחזקה חיוביות במונה.

כמו כן נכפיל את המשוואה ב  12ⁿ ונקבל:
3³ⁿ * 2²ⁿ * 12ⁿ  = 1

נפרק את המספר 12 ל:
12 = 3 * 2 * 2
3³ⁿ * 2²ⁿ * (2*2*3)ⁿ  = 1

נשתמש בחוק החזקה:
a * b) ⁿ = aⁿ * bⁿ)
3³ⁿ * 2²ⁿ * 2ⁿ * 2ⁿ * 3ⁿ  = 1
3⁴ⁿ * 2⁴ⁿ  = 1

נשתמש באותו חוק אבל בכיוון ההפוך:
aⁿ * bⁿ = (a * b) ⁿ

על מנת להביא את שני בסיסי החזקה לאותו מספר נשתמש בכלל:
6⁰ = 1

 

תרגילים נוספים עם פתרון וידאו בלבד

 

4.פתרון משוואות מעריכיות בעזרת מחשבון

אחד מחוקי הלוגרתמים הוא
ln xⁿ = n*ln x
והוא שימושי במשוואות שלא ניתן להביא אותם לבסיס משותף או לפתור אותם בטכניקה אחרת.

למשל:
3^x = 5
נוציא ln לשני צדדי המשוואה:
ln 3^x = ln 5

נשתמש בחוק הלוגריתם האומר:
log_axⁿ = nlog_ax
ונקבל:
x ln 3 = ln 5
x = ln 5 / ln 3 = 1.46

• פתרון משוואות מעריכיות בעזרת מחשבון הוא דף הכולל דוגמאות נוספות, קצת יותר קשות.

עוד באתר:

• חוקי חזקות – תרגילים נוספים בנושא חזקות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.