משוואות עם שברים אלגבריים

בדף זה נלמד כיצד לפתור משוואות עם שברים אלגבריים. בדף זה נפתור רק משוואות שצריך לבצע פירוק לגורמים על מנת לפתור אותם:
  1. הוצאת גורם משותף.
  2. טרינום.
  3. נוסחאות הכפל המקוצר.
משוואות ללא פירוק לגורמים ניתן למצוא בדף משוואות עם נעלם במכנה. נזכיר את נוסחאות הכפל המקוצר:
  1. (a² – b²= (a-b)*(a+b
  2. a+b)²= a²+2ab+b²)
  3. a-b)²= a²-2ab+b²)

תרגילים

בחלק זה 14 תרגילים. תרגילים 13,14 כוללים פעולת כפל בין השברים. 1. 2. 3.התרגיל 4.תרגיל 5.תרגיל 2 6.התרגיל 7.תרגיל 8. 9. 10.תרגיל 3 11. 12. 13.תרגיל 1 14.תרגיל 2

פתרונות

תרגיל 1 פתרון בצד השמאלי נוציא 2 גורם משותף. בצד הימני נשתמש בנוסחה: (a² – b²= (a-b)*(a+b ניתן לצמצם את ה 2 במכנה השמאלי. נכפיל במכנה המשותף שהוא: (x + 2) (x – 2) נקבל: x -2) * 15 = 15  / :15) x – 2 = 1  / +2 x = 3 תשובה: x = 3. תרגיל 2 פתרון בצד השמאלי נוציא 2 כגורם משותף. בצד שמאל נשתמש בנוסחה (a² – b²= (a-b)*(a+b נכפיל במכנה המשותף שהוא: x + 3) (3 -x) *2) ונקבל: תשובה: x  = -5 תרגיל 3 התרגיל פתרון פתרון התרגיל x – 4 = 0 / + 4 x = 4   הפתרון את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום. x + 4)² ≠ 0) x + 4 ≠ 0  / -4 x ≠ -4  זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 4

תרגיל פתרון פתרון התרגיל x- 5 = 0  / +5 x = 5  זה הפתרון. את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה של השבר לפני הצמצום. כלומר: x + 5) ² ≠0) x +5 ≠ 0  / -5 x ≠ -5 זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 5

תרגיל 2 פתרון פתרון תרגיל 2 x + 2 = 0  / -2 x = -2  זה הפתרון את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום. x – 4) (x-3)  ≠ 0) x – 4  ≠ 0  / +4 x = 4 אפשרות שנייה: x – 3  ≠ 0  / + 3 x  ≠ 3 תשובה: קבוצה ההצבה x  ≠ 4,  x  ≠ 3
תרגיל 6 התרגיל פתרון תחום ההצבה x ≠ -2,   x ≠ 5.
הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף
הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף
(x – 5)4 – 4*3 (x +2) = 5(x + 2) (x – 5) (4x – 20 -12x -24 = 5(x² -3x -10 8x -44 = 5x² -15x -50- 5x² -7x -6 = 0 קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום כאשר a≠1. נראה כאן את הדרך השנייה. עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם 30- וסכומם 7-. המספרים הללו הם 10- , 3. 5x² -10x + 3x -6 = 0 5x (x – 2) +3 (x -2)= 0 5x + 3) (x -2) = 0) אפשרויות הפתרון הן: 5x + 3 = 0 x = -0.6 או x – 2 = 0 x = 2 הפתרונות של המשוואה הם: x = 2,  x = -0.6 פתרון וידאו לתרגיל 6:
תרגיל 7 תרגיל פתרון במכנה השמאלי נבצע פירוק הטרינום. עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם היא 5 וסכומם הוא 6. המספרים הללו הם 5 ו- 1. x² + 6x +5 x +x + 5x + 5 (x(x + 1) +5(x + 1 (x + 1) (x + 5) נציב זאת במשוואה.
פירוק הטרינום
פירוק הטרינום
בצורה הזו נוח לנו למצוא את קבוצת ההצבה. קבוצת ההצבה x ≠ -5,  x ≠ -1. נשים לב שניתן לצמצם את האיבר משמאל. לאחר הצמצום נקבל: לשני השברים בצד השמאלי יש מכנה זהה לכן אנו יכולים לחבר אותם: נכפיל במכנה המשותף שהוא x+ 5 ונפתור את התרגיל: נשים לב ש x = -1 לא שייך לקבוצת ההצבה ולכן אין למשוואה פתרון. תרגיל 8 פתרון בצד שמאל נוציא 3 גורם משותף. בצד ימין נשתמש בנוסחה:  a+b)²= a²+2ab+b²) נצמצם את המספר 3 באגף השמאלי (לא חובה אבל זה מוריד את 3 מהגורם המשותף) נכפיל במכנה המשותף שהוא: x + 4)²) ונקבל: x + 4) * 6 = 8x + 20) 6x + 24 = 8x + 20  / -6x -20 4 = 2x x = 2 תשובה: x = 2. תרגיל 9 פתרון בצד ימין נשתמש בנוסחה a-b)²= a²-2ab+b²) נשים לב שאם נכפיל את המכנה השמאלי ב 1- נקבל את המכנה הימני. לכן זה מה שנעשה: נכפיל במכנה המשותף שהוא: x – 3)² * -1) ונקבל: תשובה: x = 0.

תרגיל 10

תרגיל 3 פתרון פתרון תרגיל 3 x – 5) = 0 ) – x + 5 = 0 – x = 5  זה הפתרון את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום x + 5) (x-5)  ≠ 0) x + 5  ≠ 0   / -5 x  ≠ -5 אפשרות שנייה: x -5)  ≠ 0  / + 5) x  ≠ 5 נשים לב כי הפתרון של המשוואה  x = 5 אינו  חלק מקבוצת ההצבה. לכן אין פתרון לתרגיל. קבוצת ההצבה היא x  ≠ 5,   x  ≠ -5.

תרגיל 11

פתרון קבוצת ההצבה היא x ≠ -3. על מנת לנסות לצמצם איברים עלינו קודם כל לפתוח סוגריים במונה ולכנס איברים. נעשה את זה בנפרד משאר התרגיל. x -2)² + 5 + 10x = x² -4x + 4 + 5 + 10x) x² + 6x + 9 = (x + 3)² נציב את המונה שהגענו אליו בתרגיל המקורי. x +3 = 0 x = -3 התשובה לא נמצאת בקבוצת ההצבה ולכן למשוואה זו אין פתרון. תרגיל 12 פתרון נבצע פירוק לגורמים של המכנים. קבוצת ההצבה היא:   x ≠ 6, -2, -6 נכפיל במכנה המשותף שהוא: (x – 6) (x +6) (x + 2) ונקבל: x + 2) * 10 – 10 (x – 6) + 4 (x – 6) (x + 6) = 0) 10x + 20 – 10x + 60 + 4(x² – 36) = 0 4x² – 144 + 80 = 0 4x² – 64 = 0 4x² = 64 x² = 16 x = 4  או x = -4 זו התשובה. תרגיל 13 תרגיל 1 פתרון פתרון תרגיל 1 פתרון תרגיל 1 פתרון תרגיל 1 פתרון תרגיל 1 מציאת קבוצת ההצבה (רשום בקיצור). את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני צמצום שברים. 0 ≠ (x – 5) (x+ 5) 0 ≠ (x-2) (x -1) קבוצת ההצבה היא x ≠ 5, -5, 2, 1 לאחר שמצאנו את קבוצת ההצבה יש לבדוק אם אחד הפתרונות לא נפסל (במקרה זה קבוצת ההצבה לא פוסלת פתרונות).
  תרגיל 14 תרגיל 2 פתרון פתרון תרגיל 2 פתרון תרגיל 2 פתרון תרגיל 2 פתרון תרגיל 2 מציאת קבוצת ההצבה (רשום בקיצור). את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני צמצום שברים. 0 ≠ ²(x + 4) 0 ≠ (x+2) (2 -x) קבוצת ההצבה היא x ≠ -4, 2, -2 לאחר שמצאנו את קבוצת ההצבה יש לבדוק אם אחד הפתרונות לא נפסל (במקרה זה קבוצת ההצבה לא פוסלת פתרונות).
עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “משוואות עם שברים אלגבריים”

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.