משוואות עם שברים אלגבריים

בדף זה נלמד כיצד לפתור משוואות עם שברים אלגבריים.
בדף זה נפתור רק משוואות שצריך לבצע פירוק לגורמים על מנת לפתור אותם:

  1. הוצאת גורם משותף.
  2. טרינום.
  3. נוסחאות הכפל המקוצר.

משוואות ללא פירוק לגורמים ניתן למצוא בדף משוואות עם נעלם במכנה.

נזכיר את נוסחאות הכפל המקוצר:

  1. (a² – b²= (a-b)*(a+b
  2. a+b)²= a²+2ab+b²)
  3. a-b)²= a²-2ab+b²)

תרגילים

בחלק זה 12 תרגילים.

1.

2.

3.התרגיל

4.תרגיל

5.תרגיל 2

6.התרגיל

7.תרגיל

8.

9.

10.תרגיל 3

11.

12.

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
בצד השמאלי נוציא 2 גורם משותף.
בצד הימני נשתמש בנוסחה: (a² – b²= (a-b)*(a+b

ניתן לצמצם את ה 2 במכנה השמאלי.

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x + 2) (x – 2)
נקבל:

x -2) * 15 = 15  / :15)
x – 2 = 1  / +2
x = 3
תשובה: x = 3.

תרגיל 2

פתרון
בצד השמאלי נוציא 2 כגורם משותף.
בצד שמאל נשתמש בנוסחה (a² – b²= (a-b)*(a+b

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 3) (3 -x) *2)
ונקבל:

תשובה: x  = -5

תרגיל 3

התרגיל

פתרון

פתרון התרגיל

x – 4 = 0 / + 4
x = 4   הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x + 4)² ≠ 0)
x + 4 ≠ 0  / -4
x ≠ -4  זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 4

תרגיל

פתרון

פתרון התרגיל

x- 5 = 0  / +5
x = 5  זה הפתרון.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה של השבר לפני הצמצום. כלומר:
x + 5) ² ≠0)
x +5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5 זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 5

תרגיל 2

פתרון

פתרון תרגיל 2

x + 2 = 0  / -2
x = -2  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x – 4) (x-3)  ≠ 0)
x – 4  ≠ 0  / +4
x = 4
אפשרות שנייה:
x – 3  ≠ 0  / + 3
x  ≠ 3
תשובה: קבוצה ההצבה x  ≠ 4,  x  ≠ 3

תרגיל 6

התרגיל

פתרון

תחום ההצבה x ≠ -2,   x ≠ 5.

הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף
הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף

(x – 5)4 – 4*3 (x +2) = 5(x + 2) (x – 5)
(4x – 20 -12x -24 = 5(x² -3x -10
8x -44 = 5x² -15x -50-
5x² -7x -6 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום כאשר a≠1.
נראה כאן את הדרך השנייה.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם 30- וסכומם 7-.
המספרים הללו הם 10- , 3.
5x² -10x + 3x -6 = 0
5x (x – 2) +3 (x -2)= 0
5x + 3) (x -2) = 0)
אפשרויות הפתרון הן:
5x + 3 = 0
x = -0.6
או
x – 2 = 0
x = 2
הפתרונות של המשוואה הם:
x = 2,  x = -0.6

פתרון וידאו לתרגיל 6:

תרגיל 7

תרגיל

פתרון
במכנה השמאלי נבצע פירוק הטרינום.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם היא 5 וסכומם הוא 6.
המספרים הללו הם 5 ו- 1.
x² + 6x +5
x +x + 5x + 5
(x(x + 1) +5(x + 1
(x + 1) (x + 5)
נציב זאת במשוואה.

פירוק הטרינום
פירוק הטרינום

בצורה הזו נוח לנו למצוא את קבוצת ההצבה.
קבוצת ההצבה x ≠ -5,  x ≠ -1.

נשים לב שניתן לצמצם את האיבר משמאל.
לאחר הצמצום נקבל:

לשני השברים בצד השמאלי יש מכנה זהה לכן אנו יכולים לחבר אותם:

נכפיל במכנה המשותף שהוא x+ 5 ונפתור את התרגיל:

נשים לב ש x = -1 לא שייך לקבוצת ההצבה ולכן אין למשוואה פתרון.

תרגיל 8

פתרון
בצד שמאל נוציא 3 גורם משותף.
בצד ימין נשתמש בנוסחה:  a+b)²= a²+2ab+b²)

נצמצם את המספר 3 באגף השמאלי (לא חובה אבל זה מוריד את 3 מהגורם המשותף)

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 4)²)
ונקבל:
x + 4) * 6 = 8x + 20)
6x + 24 = 8x + 20  / -6x -20
4 = 2x
x = 2
תשובה: x = 2.

תרגיל 9

פתרון
בצד ימין נשתמש בנוסחה a-b)²= a²-2ab+b²)

נשים לב שאם נכפיל את המכנה השמאלי ב 1- נקבל את המכנה הימני.
לכן זה מה שנעשה:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x – 3)² * -1)
ונקבל:

תשובה: x = 0.

תרגיל 10

תרגיל 3

פתרון

פתרון תרגיל 3

x – 5) = 0 ) –
x + 5 = 0 –
x = 5  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום
x + 5) (x-5)  ≠ 0)
x + 5  ≠ 0   / -5
x  ≠ -5
אפשרות שנייה:
x -5)  ≠ 0  / + 5)
x  ≠ 5

נשים לב כי הפתרון של המשוואה  x = 5 אינו  חלק מקבוצת ההצבה.
לכן אין פתרון לתרגיל.
קבוצת ההצבה היא x  ≠ 5,   x  ≠ -5.

תרגיל 11

פתרון
קבוצת ההצבה היא x ≠ -3.

על מנת לנסות לצמצם איברים עלינו קודם כל לפתוח סוגריים במונה ולכנס איברים.
נעשה את זה בנפרד משאר התרגיל.
x -2)² + 5 + 10x = x² -4x + 4 + 5 + 10x)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

נציב את המונה שהגענו אליו בתרגיל המקורי.

x +3 = 0
x = -3
התשובה לא נמצאת בקבוצת ההצבה ולכן למשוואה זו אין פתרון.

תרגיל 12

פתרון
נבצע פירוק לגורמים של המכנים.

קבוצת ההצבה היא:   x ≠ 6, -2, -6

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x – 6) (x +6) (x + 2)
ונקבל:

x + 2) * 10 – 10 (x – 6) + 4 (x – 6) (x + 6) = 0)
10x + 20 – 10x + 60 + 4(x² – 36) = 0
4x² – 144 + 80 = 0
4x² – 64 = 0
4x² = 64
x² = 16
x = 4  או x = -4
זו התשובה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

12 מחשבות על “משוואות עם שברים אלגבריים”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    איך אני פותרת:
    שתיים איקס חלקי שתיים איקס פלוס חמש שווה שבע מינוס איקס חלקי שתיים איקס בשניה מינוס איקס מינוס חמש עשרה?
    תודה

  2. כרמל רוזנברג

    היי,
    אני לא מצליחה להבין כל כך את הקטע של מציאת גורם משותף
    נותנים לנו תרגילים שמכנה אחד הינו למשל x בשניה מינוס 16 והמכנה השני x מינוס 4 בסוגריים בשניה (נוסחאת כפל מקוצר) וצריך למצוא להם גורם משותף ולצמצם ואני לא כל כך מצליחה.
    וכל התרגילים שנותנים לנו הם בסיגנון כזה שאחד זה נוסחה ואחד זה משהו דומה עם צימצומים וכל זה.
    אשמח להסבר
    תודה רבה ומחכה לתשובה :)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למציאת מכנה משותף יש שני שלבים.
      1.פירוק לגורמים על ידי נוסחאות הכפל המקוצר וכו….
      2.מציאת מכנה משותף למכנים המפורקים.
      איזה מהשלבים לא ברור?

        1. לומדים מתמטיקה

          צריך לזכור שהמכנה המשותף הוא ביטוי שכל המכנים יכולים להגיע אליהם על ידי פעולת כפל.

          כאן בדף יש 12 דוגמאות למציאת מכנה משותף.

          אתה יכול לעבור על התרגילים.
          תרגיל שאתה לא מבין תשאל ואנסה להסביר, אם תשאל על תרגיל מסוים נסה להסביר מה לא מובן ומה לדעתך צריך להיות המכנה המשותף.

  3. בתרגילים 4 5 כתוב שתחום ההצבה לא יכול לתת 0 במכנה. אבל שם זה שברים שהתוצאה שלהם היא 0. ואם כן זה בדיוק הפוך?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המכנה של שבר במתמטיקה צריך להיות שונה מ 0, כי מחלקים את המונה במכנה ולא ניתן לחלק ב 0.
      הכלל הזה נכון תמיד ולא משנה מה יש במכנה.

  4. אני מבינה את החומר אבל נתקעתי במשוואה 3X-4 חלקי X = 8X חלקי 3X+4
    זה בטח לא מובן בדרך שרשמתי את השברים….

    1. לומדים מתמטיקה

      ממה שאני קורא המכנים הם 8x, 3x + 4.
      המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים הללו.
      ולאחר ההכפלה במכנה משותף את אמורה לקבל:
      3x + 4) (3x + 4) = x * 8x
      לאחר פתיחת סוגריים זו משוואה ריבועית

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.