משוואות עם שברים אלגבריים

בדף זה נלמד כיצד לפתור משוואות עם שברים אלגבריים.
בדף זה נפתור רק משוואות שצריך לבצע פירוק לגורמים על מנת לפתור אותם:

  1. הוצאת גורם משותף.
  2. טרינום.
  3. נוסחאות הכפל המקוצר.

משוואות ללא פירוק לגורמים ניתן למצוא בדף משוואות עם נעלם במכנה.

נזכיר את נוסחאות הכפל המקוצר:

  1. (a² – b²= (a-b)*(a+b
  2. a+b)²= a²+2ab+b²)
  3. a-b)²= a²-2ab+b²)

תרגילים

בחלק זה 12 תרגילים.

1.

2.

3.התרגיל

4.תרגיל

5.תרגיל 2

6.התרגיל

7.תרגיל

8.

9.

10.תרגיל 3

11.

12.

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
בצד השמאלי נוציא 2 גורם משותף.
בצד הימני נשתמש בנוסחה: (a² – b²= (a-b)*(a+b

ניתן לצמצם את ה 2 במכנה השמאלי.

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x + 2) (x – 2)
נקבל:

x -2) * 15 = 15  / :15)
x – 2 = 1  / +2
x = 3
תשובה: x = 3.

תרגיל 2

פתרון
בצד השמאלי נוציא 2 כגורם משותף.
בצד שמאל נשתמש בנוסחה (a² – b²= (a-b)*(a+b

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 3) (3 -x) *2)
ונקבל:

תשובה: x  = -5

תרגיל 3

התרגיל

פתרון

פתרון התרגיל

x – 4 = 0 / + 4
x = 4   הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x + 4)² ≠ 0)
x + 4 ≠ 0  / -4
x ≠ -4  זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 4

תרגיל

פתרון

פתרון התרגיל

x- 5 = 0  / +5
x = 5  זה הפתרון.

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה של השבר לפני הצמצום. כלומר:
x + 5) ² ≠0)
x +5 ≠ 0  / -5
x ≠ -5 זו קבוצת ההצבה.

תרגיל 5

תרגיל 2

פתרון

פתרון תרגיל 2

x + 2 = 0  / -2
x = -2  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום.
x – 4) (x-3)  ≠ 0)
x – 4  ≠ 0  / +4
x = 4
אפשרות שנייה:
x – 3  ≠ 0  / + 3
x  ≠ 3
תשובה: קבוצה ההצבה x  ≠ 4,  x  ≠ 3

תרגיל 6

התרגיל

פתרון

תחום ההצבה x ≠ -2,   x ≠ 5.

הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף
הוצאת גורם משותף והכפלה במכנה משותף

(x – 5)4 – 4*3 (x +2) = 5(x + 2) (x – 5)
(4x – 20 -12x -24 = 5(x² -3x -10
8x -44 = 5x² -15x -50-
5x² -7x -6 = 0
קיבלנו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום כאשר a≠1.
נראה כאן את הדרך השנייה.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם 30- וסכומם 7-.
המספרים הללו הם 10- , 3.
5x² -10x + 3x -6 = 0
5x (x – 2) +3 (x -2)= 0
5x + 3) (x -2) = 0)
אפשרויות הפתרון הן:
5x + 3 = 0
x = -0.6
או
x – 2 = 0
x = 2
הפתרונות של המשוואה הם:
x = 2,  x = -0.6

פתרון וידאו לתרגיל 6:

תרגיל 7

תרגיל

פתרון
במכנה השמאלי נבצע פירוק הטרינום.
עלינו למצוא שני מספרים שמכפלתם היא 5 וסכומם הוא 6.
המספרים הללו הם 5 ו- 1.
x² + 6x +5
x +x + 5x + 5
(x(x + 1) +5(x + 1
(x + 1) (x + 5)
נציב זאת במשוואה.

פירוק הטרינום
פירוק הטרינום

בצורה הזו נוח לנו למצוא את קבוצת ההצבה.
קבוצת ההצבה x ≠ -5,  x ≠ -1.

נשים לב שניתן לצמצם את האיבר משמאל.
לאחר הצמצום נקבל:

לשני השברים בצד השמאלי יש מכנה זהה לכן אנו יכולים לחבר אותם:

נכפיל במכנה המשותף שהוא x+ 5 ונפתור את התרגיל:

נשים לב ש x = -1 לא שייך לקבוצת ההצבה ולכן אין למשוואה פתרון.

תרגיל 8

פתרון
בצד שמאל נוציא 3 גורם משותף.
בצד ימין נשתמש בנוסחה:  a+b)²= a²+2ab+b²)

נצמצם את המספר 3 באגף השמאלי (לא חובה אבל זה מוריד את 3 מהגורם המשותף)

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 4)²)
ונקבל:
x + 4) * 6 = 8x + 20)
6x + 24 = 8x + 20  / -6x -20
4 = 2x
x = 2
תשובה: x = 2.

תרגיל 9

פתרון
בצד ימין נשתמש בנוסחה a-b)²= a²-2ab+b²)

נשים לב שאם נכפיל את המכנה השמאלי ב 1- נקבל את המכנה הימני.
לכן זה מה שנעשה:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x – 3)² * -1)
ונקבל:

תשובה: x = 0.

תרגיל 10

תרגיל 3

פתרון

פתרון תרגיל 3

x – 5) = 0 ) –
x + 5 = 0 –
x = 5  זה הפתרון

את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנה לפני הצמצום
x + 5) (x-5)  ≠ 0)
x + 5  ≠ 0   / -5
x  ≠ -5
אפשרות שנייה:
x -5)  ≠ 0  / + 5)
x  ≠ 5

נשים לב כי הפתרון של המשוואה  x = 5 אינו  חלק מקבוצת ההצבה.
לכן אין פתרון לתרגיל.
קבוצת ההצבה היא x  ≠ 5,   x  ≠ -5.

תרגיל 11

פתרון
קבוצת ההצבה היא x ≠ -3.

על מנת לנסות לצמצם איברים עלינו קודם כל לפתוח סוגריים במונה ולכנס איברים.
נעשה את זה בנפרד משאר התרגיל.
x -2)² + 5 + 10x = x² -4x + 4 + 5 + 10x)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

נציב את המונה שהגענו אליו בתרגיל המקורי.

x +3 = 0
x = -3
התשובה לא נמצאת בקבוצת ההצבה ולכן למשוואה זו אין פתרון.

תרגיל 12

פתרון
נבצע פירוק לגורמים של המכנים.

קבוצת ההצבה היא:   x ≠ 6, -2, -6

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x – 6) (x +6) (x + 2)
ונקבל:

x + 2) * 10 – 10 (x – 6) + 4 (x – 6) (x + 6) = 0)
10x + 20 – 10x + 60 + 4(x² – 36) = 0
4x² – 144 + 80 = 0
4x² – 64 = 0
4x² = 64
x² = 16
x = 4  או x = -4
זו התשובה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “משוואות עם שברים אלגבריים”

  1. בתרגילים 4 5 כתוב שתחום ההצבה לא יכול לתת 0 במכנה. אבל שם זה שברים שהתוצאה שלהם היא 0. ואם כן זה בדיוק הפוך?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המכנה של שבר במתמטיקה צריך להיות שונה מ 0, כי מחלקים את המונה במכנה ולא ניתן לחלק ב 0.
      הכלל הזה נכון תמיד ולא משנה מה יש במכנה.

  2. אני מבינה את החומר אבל נתקעתי במשוואה 3X-4 חלקי X = 8X חלקי 3X+4
    זה בטח לא מובן בדרך שרשמתי את השברים….

    1. לומדים מתמטיקה

      ממה שאני קורא המכנים הם 8x, 3x + 4.
      המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים הללו.
      ולאחר ההכפלה במכנה משותף את אמורה לקבל:
      3x + 4) (3x + 4) = x * 8x
      לאחר פתיחת סוגריים זו משוואה ריבועית

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.