שטח מרובע אלכסונים

יש שלוש סוגים של קשרים בין חישוב שטח מרובע לאלכסונים שלו:

1. במרובעים שהאלכסונים שלהם מאונכים זה לזה, מעוין, ריבוע ודלתון  יש נוסחה
   תכונה זו נשענת על כך ששטח משולש ישר זווית הוא מכפלת אורכי הניצבים לחלק ב 2.
2. מרובעים בהם האלכסונים יוצרים 4 משולשים ששטחיהם שווים (מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע).
3. שימוש בטריגונומטריה לצורך חישוב שטח שני המשולשים שיוצר אלכסון במרובע.

1.מרובעים בהם באלכסונים מאונכים זה לזה

במרובעים בהם האלכסונים מאונכים שטח המרובע שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2.

יש 3 מרובעים נפוצים בהם האלכסונים מאונכים:

1. דלתון.
2. מעוין.
3. ריבוע.

במרובעים הללו, וגם בכל מרובע אחר שאלכסוניו מאונכים שטח המרובע שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2.

שטח מעוין הוא מכפלת צלע בגובה שלה וגם מכפלת האלכסונים לחלק ב 2.

שטח דלתון שווה למכפלת האלכסונים לחלק ב 2.

שטח ריבוע שווה למכפלת האלכסונים לחלק ב 2 או לצלע הריבוע כפול עצמה.

הוכחה

נוכיח ששטח מרובע כלשהו שאלכסוניו מאונכים שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2.

תרגיל
במרובע ABCD האלכסונים AC ⊥ DB.
הוכיחו כי
S_ABCD = 0.5DB *AC

פתרון
נחלק את המרובע לשני משולשים ABD,  CBD.
ונחשב את השטח של כל אחד מהמשולשים הללו בנפרד.
S_ABD  = 0.5DB * AO

S_CBD  = 0.5DB * CO

נחבר את שטחי המשולשים:
S_ABD  + S_CBD = 0.5DB * AO + 0.5DB * CO
0.5DB * (CO + AO) = 0.5DB * AC

הוכחנו את המבוקש:
S_ABCD = 0.5DB * AC

2.מרובעים בהם האלכסונים יוצרים משולשים שווי שטח

בכל המרובעים ממשפחת המקביליות:

1. מקבילית.
2. מלבן.
3. מעוין.
4. ריבוע

האלכסונים יוצרים 4 משולשים שווה שטח.
לכן ניתן לחשב את שטח הצורה על ידי הכפלת שטח משולש אחד פי 4.

.
הוכחה מפורטת של התכונה בדף בסרטון שלמעלה או בדף שטח מקבילית אלכסונים.

 

3.חישוב שטח מרובע בעזרת טריגונומטריה ואלכסון

תלמידי כיתה י ומעלה צריכים להכיר את הנוסחה לחישוב שטח משולש בעזרת שתי צלעות וסינוס זווית.

 

במילים: שטח משולש שווה למכפלת הצלעות כפול סינוס הזווית בניהן לחלק ב 2.
S = 0.5ab* sinϒ

בכל משפחת המקביליות (מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע) כאשר מעבירים אלכסון נוצרים שני משולשים חופפים – ולכן גם שווי שטח.
אם יש לנו נתונים כדי לחשב את השטח של אחד המשולשים ניתן לחשב את שטח המרובע כולו.

דוגמה
במקבילית אורך הצלעות הוא 8 ו 10 סנטימטר.
הזווית החדה שבין הצלעות היא 50 מעלות.
חשבו את שטח המקבילית.

פתרון
נשים לב שכאשר מעבירים אלכסון במקבילית נוצרים משולשים חופפים.
ABC ≅ CDA על פי צ.צ.צ.
לכן אלו גם משולשים שווה שטח.

נחשב את שטח משולש ABC ואז נכפיל פי 2.
S_ABC = 6 * 10 * sin 50 * 0.5 = 22.98

שטח המקבילית כולה הוא:
45.96 = 2 * 22.98
תשובה: 45.96 סמ”ר.

עוד באתר:

• הוכחת מרובעים – כיצד להוכיח את כל סוגי המרובעים.
• שטחים נוסחאות – חישוב השטח על ידי אלכסונים הוא לא הדרך הסטנדרטית. בקישור המצורף תמצאו נוסחאות + תרגילים לחישוב שטחים של צורות שונות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.