משוואה ריבועית הסבר, דרכי פתרון ותרגילים

נושא המשוואה הריבועית מחולק בדף זה למספר תתי נושאים.
הנושאים החשובים ביותר הם נוסחת השורשים, פירוק הטרינום, מספר פתרונות המשוואה והמשמעות הגרפית שלהם.
עבור חלק מהנושאים יש קישור לדפים הכוללים הסברים ותרגילים נוספים.
הנושאים המופיעים בדף זה הם:

  1. נוסחת השורשים – פתרון משוואה ריבועית בעזרת נוסחה.
  2. משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים – ואיך ניתן לפתור אותם בדרך קצרה.
  3. פירוק הטרינום – דרך אלגנטית ומהירה לפתרון משוואה ריבועית, אך לא ניתן לבצע אותה בכול המשוואות הריבועיות.
  4. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  5. השלמה לריבוע – דרך נוספת לפתרון משוואה ריבועית. דורשת ידע ולא מתאימה לכל המשוואות הריבועית.
  6. המשמעות הגרפית של פתרונות משוואה ריבועית.
  7. בעיות מילוליות הכוללות משוואה ריבועית.

נושאים קרובים הנמצאים בדפים נוספים:

  1. חקירת פונקציה ריבועית.
  2. נוסחאות וייטה.
  3. אי שוויונים ריבועיים.

פתרון משוואה ריבועית על ידי נוסחת השורשים

משוואה ריבועית מהצורה ax²+bx+c=0 ניתן לפתור על ידי הצבת הערכים בנוסחה הבאה :

נוסחה לפתרון משוואה ריבועית

x1 ,x2 הם הפתרונות.

פתרון משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים

כאשר אחד הפרמטרים שצוינו קודם a,b,c חסר יש דרכים קלות ומהירות יותר לפתור את המשוואה.

כאשר הפרמטר a חסר
כאשר הפרמטר a חסר זו אינה משוואה ריבועית אלא משוואה ממעלה ראשונה (x² אינו קיים במשוואה) ויש לפתור אותה כמו משוואה רגילה ממעלה ראשונה עם נעלם אחד.

כאשר הפרמטר b חסר
במצב זה מתקבלת משוואה מהצורה ax² + c=0.
על מנת לפתור יש להעביר את c אגף ולהוציא שורש.

תרגיל
פתור את המשוואה הריבועית 5x²-80=0

5x²-80=0
5x²=80   / נוסיף לשני צדדי המשוואה 80 (נעביר אגף).
x²=16    /  נחלק את שני צדדי המשוואה ב – 5.
x1=4 , x2=-4    /  נוציא שורש משני צדדי המשוואה ונקבל שני פתרונות

כאשר הפרמטר c חסר
נקבל משוואה ריבועית מהצורה ax²+bx=0.
במקרה זה נוציא את x כגורם משותף לשני האיברים באגף השמאלי ונפתור.

תרגיל – פתור את המשוואה הריבועית 4x²+10x=0.
4x²+10x=0
x(4x+10)=0   / נוציא את x כגורם משותף.
האפשרויות לפתרון המשוואה הם
x=0   או
4x+10=0
x=-2.5
תשובה
x=0 או x=-2.5

פתרון משוואה ריבועית על ידי פירוק הטרינום

פתרון משוואה ריבועית על ידי פירוק הטרינום היא דרך מהירה, אינטליגנטית, מומלצת ומעידה על הידע שלכם בטכניקות אלגבריות. הדרך תחסוך לכם זמן וגם יכולה למנוע ממכם טעויות חשבוניות שיכולות להתבצע בפתרון דרך נוסחת השורשים.

יש שני מצבים בפירוק הטרינום:

  1. הפרמטר a שווה ל -1. כלומר המשוואה היא מהצורה : x²+bx+c=0
  2. הפרמטר a הוא מספר השונה מ -1, ואז המשוואה היא מהצורה ax²+bx+c=0. המצב הראשון קל בהרבה ויש ללמוד אותו קודם.

פירוק הטרינום כאשר a=1

על מנת לבצע את פירוק הטרינום במשוואה x²+bx+c=0 עלינו למצוא שני מספרים שיקיימו את התנאים הבאים:

  1. מכפלת שני המספרים תתן לנו את c.
  2. סכום שני המספרים הוא b.

לרוב מוצאים את שני המספרים הללו על ידי הרצת אפשרויות בראש. מומלץ קודם למצוא שני מספרים המקיימים את תנאי 1 ולאחר מיכן לבדוק אם גם תנאי 2 מתקיים.

דוגמאות:
פתרו את המשוואה x²+5x+6=0
שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5 הם 3,2.
ואז ניתן לכתוב x²+5x+6=(x+2)*(x+3)=0
פתרונות המשוואה הריבועית:
x+3=0  או x+2=0
x=-3,  x=-2  – תשובות סופיות.

משוואה ריבועית נוספת x²+x-6=0
שני מספרים שמכפלתם 6- וסכומם 1 הם 3 ו 2-.
ואז ניתן לכתוב 0=(x²+x-6=(x-2)*(x+3
פתרונות המשוואה הריבועית:
x-2=0  או  x+3=0
x=2,  x=-3  – תשובות סופיות.

משוואה ריבועית x²-6x+8=0
שני מספרים שמכפלתם 8 וסכומם 6- הם 4-  ו   2-.
ואז ניתן לכתוב 0=(x²-6x+8=(x-4)*(x-2
פתרונות המשוואה הריבועית:
x-2 = 0 או x-4=0.
x=4, x=2 – תשובות סופיות.

מתי קשה לפרק את הטרינום

קשה לפרק את הטרינום כאשר שורשי המשוואה הם אינם מספרים שלמים. למשל עבור המשוואה 0=x²+8x+10 אין שני מספרים שלמים שמכפלתם 10 וסכומם 8 לכן קשה יותר ולא נהוג לפתור משוואה מסוג זה בדרך של פירוק טרינום.

פירוק הטרינום כאשר a שונה מ -1

זה קצת יותר מסובך והייתי ממליץ בעיקר לתלמידי 4 ו 5 יחידות לדעת את הדרך הזו. כמו פירוק הטרינום הקודם לא כל משוואה ריבועית ניתנת לפתרון בדרך זו.

על מנת לפרק לגורמים משוואה ריבועית מהסוג ax²+bx+c=0 צריך :
1) למצוא שני מספרים אשר מכפלתם היא c*a וסכומה הוא b.
2) לפרק את הגורם b לשני המספרים הללו ולכתוב אותו.
3) לבצע פירוק לגורמים על פי קבוצות.
4)לבצע פירוק לגורמים נוסף.

תרגילים
משוואה ריבועית 0=3x²-7x-10
שלבי פתרון :
1) נמצא שני מספרים שסכומם 7- ומכפלתם 3*10-=30-.
המספרים הם 10- ו 3.
2)נכתוב את המשוואה החדשה כאשר הגורם b מפורק לשני המספרים הללו
0=3x²+3x-10x-10
3) נפרק לגורמים את שני המספרים הראשונים והאחרונים בנפרד (נוציא גורם משותף).
0=(3x(x+1)-10(x+1
4) ניתן לראות ש x+1 הוא גורם משותף, נבצע פירוק לגורמים נוסף
0=(3x-10)*(x+1)
המשוואה מפורקת והפתרונות שלה הם :
3x-10=0 כלומר x=10/3
או
x+1=0
x=-1

פתרון גרפי של משוואה ריבועית

כאשר נתון לנו גרף של משוואה ריבועית הפתרונות של המשוואה הריבועית מהצורה ax²+bx+c=0 נתונים על ידי נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה – x.

הסבר – כאשר גרף המשוואה הריבועית חותך את ציר ה – x ערך ה y הוא 0 ולכן הנקודות הללו הם הפתרון של המשוואה הריבועית.

תרגיל.
נתון גרף של משוואה ריבועית.
מהם פתרונות המשוואה?

מה הם הפתרונות של המשוואה הריבועית שנראית כך

מה הם הפתרונות של המשוואה הריבועית שנראית כך?

ניתן לראות שעבור x=-1 או x=4 הערך של y הוא 0, לכן המספרים הללו הם הפתרון של המשוואה הריבועית.

מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

מספר הפתרונות של משוואה ריבועית ax²+bx+c=0 נתון על ידי הערך שמקבל הביטוי b²-4ac. נתון לכנות ביטויי זה גם בשמות דלתא או דיסקרימיננטה. מספר הפתרונות נתון על ידי :

b²-4ac>0 יש שני פתרונות.
b²-4ac=0 יש פתרון אחד.
b²-4ac<0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות
כאשר יש שני פתרונות גרף המשוואה הריבועית חותך את ציר ה- x בשני מקומות.
כאשר יש פתרון אחד גרף המשוואה הריבועית משיק לציר ה – x בנקודה אחת – בקודקוד.
כאשר אין פתרונות גרף המשוואה הריבועית אינו חותך את ציר ה – x.

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

נושאים נוספים הקשורים למשוואה ריבועית שאינם בדף זה:

  1. חקירת פונקציה ריבועית.
  2. נוסחאות וייטה.
  3. אי שוויונים ריבועיים.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואות הריבועיות הבאות:

  1.  x+4)²+22x+5x²-100=0)
  2. x-4)² / (x+2) = 0)

פתרון

תרגיל 1
x+4)²+22x+5x²-100=0)
x²+8x+22x+16+5x²-100=0
6x²+30x-84=0  /:6
x² +5x-14=0
x+7)*(x-2)=0)
פתרון x=-7 או x=2

תרגיל 2
x-4)² / (x+2) = 0)
דבר ראשון עלינו למצוא את תחום ההצבה.
תחום ההצבה x≠2  כי המכנה צריך להיות שונה מ 0.
(x-4)² / (x+2) = 0  / (x+2)
x-4)² =0)
פתרון x=4

תרגיל 2: משוואה ממעלה רביעית

מצאו את הפתרונות של המשוואה 4x4+16x²=0

פתרון
זו משוואה ממעלה רביעית, אך לאחר שנוציא גורם משותף ניתן לפתור אותה כמשוואה ריבועית.
נוציא את x² כגורם משותף

4x²(x²+4)=0
אפשרות א :4x²=0
x²=0
x=0

אפשרות ב
x²+4=0
x²=-4
ריבוע של מספר לעולם אינו שלילי. לכן מאפשרות ב אנו לא מקבלים פתרון.
גם x^2 וגם 4 חיוביים תמיד לכן סכומם תמיד גדול מ 0 והמשוואה x^2+4=0 לעולם אינה מתקיימת.
תשובה : הפתרון של המשוואה x=0.

תרגיל 3: משוואת פרבולה ומשוואת ישר

נתונה הפרבולה f (x) = x² -5x+4 ומשוואת הישר  h(x) = -2x +4.

  1. מצאו מתי (h(x) > f(x.
  2. מצאו מתי 0 < (f(x) * h(x
שרטוט הגרפים h(x) = -2x +4 ו f (x) = x² -5x+4

שרטוט הגרפים h(x) = -2x +4 ו f (x) = x² -5x+4

פתרון

ניתן לראות בגרף שמשוואת הישר חותכת את הפרבולה בשתי נקודות, ושבין שתי הנקודות משוואת הישר גדולה ממשוואת הפרבולה.
נמצא את שתי נקודות החיתוך.

x² -5x+4 = -2x+4 / +2x-4
x²-3x =0
x(x-3) =0
x=0, x = 3

(h(x) > f(x כאשר x>0 וגם x<3.

חלק שני
המכפלה של הישר והפרבולה חיובית כאשר שניהם חיוביים או כאשר שניהם שליליים.
על מנת לדעת מתי הם חיוביים ושליליים עלינו למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.

עבור f (x) = x² -5x+4
f (x) = x² -5x+4 = (x-4) (x-1) = 0
x=4, x=1.(נקודות חיתוך עם ציר ה x).
הפרבולה חיובית כאשר x>4 או x<1.

עבור  h(x) = -2x +4
h(x) = -2x +4=0 / -4
2x = -4 /:-2-
x=2 (נקודת חיתוך עם ציר ה x)
הישר חיובי כאשר x<2.

משני האי שוויונות נובע ששני הגרפים חיוביים כאשר x<1.

שני הגרפים שליליים כאשר x>2 וגם x<4.

 

תרגיל 4: בעיה מילולית עם מספרים

מספר אחד גדול ממספר שני ב 10. מכפלת שני המספרים היא 75. מצאו את שני המספרים.

פתרון
x – המספר הקטן.
x+10 – המספר הגדול.
מכפלת שני המספרים היא 75. לכן המשוואה היא:
x(x+10)=75
x²+10x=75 / -75
x²+10x-75=0
x+15) (x-5)=0)
x=-15,   x=5
אם x=5 אז המספר השני:
5+10=15.
אם x=-15 אז המספר השני:
15+10-=5-.
תשובה: אפשרות אחת למספרים היא 5,15.
אפשרות שנייה למספרים היא 5-,15-.

תרגיל 5: בעיה מילולית במלבן

צלע אחת במלבן גדולה מאחרת ב 20%. שטח המלבן הוא 4.8 סמ"ר. חשבו את אורך צלעות המלבן.

פתרון
x – הצלע הקטנה במלבן.
1.2x – הצלע הגדולה במלבן.
שטח המלבן הוא 4.8 סמ"ר לכן המשוואה היא:
x*1.2x=4.8
1.2x²=4.8  / :1.2
x²=4
x=2,  x=-2.
x מייצג אורך צלע של מלבן שהוא גודל חיובי תמיד. לכן הפתרון האפשרי הוא x=2.
אורך הצלע השנייה:
2*1.2=2.4 ס"מ.
תשובה: אורך צלעות המלבן הוא 2 ס"מ ו 2.4 ס"מ.

תרגיל 6: בעיה מילולית במשולש ישר זווית

סכום אורכי הניצבים במשולש ישר זווית הוא 7 מטר. אורך היתר הוא 5 מטרים.
חשבו את אורך הניצבים במשולש ואת שטח המשולש.

פתרון
x – אורך ניצב משולש.

שבע מינוס X הוא אורך הניצב השני

שבע מינוס X הוא אורך הניצב השני

נשתמש במשפט פיתגורס על מנת לבנות משוואה.

x² + (7-x)²=5²
x²+49-14x+x²=25 / -25
2x²-14x+24=0 /:2
x²-7x+12=0
x-3) (x-4)=0)
x=3,   x=4
אם אורך ניצב אחד הוא 3 אז הניצב השני:
4=7-3.
נבדוק גם את האפשרות השנייה שקיבלנו. x=4.
3=7-4.
שטח משולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ב 2:
2: 3*4
6=12:2
תשובה: אורכי הניצבים הוא 3 ו 4 מטרים. שטח המשולש הוא 6 מ"ר.

תרגיל 7: בעיית תנועה

מכונית נוסעת מידי יום בין שני ערים מרחק של 420 ק"מ.
יום אחד הגבירה המכונית את מהירותה ב 10 קמ"ש ולכן הגיעה מוקדם יותר ב 1 שעה.
חשבו את מהירות המכונית ביום רגיל.

פתרון

 

עוד באתר:

2 תגובות בנושא “משוואה ריבועית הסבר, דרכי פתרון ותרגילים

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום רחל.
      במקרה זה את צריכה להוציא x כגורם משותף ואז לפתור את המשוואה הריבועית שנשארה בפנים.
      X^3+X^2-12x = x(x^2 +x – 12) = x(x-3) (x+4) = 0
      הפתרונות הם x=0, x=3, x = -4.

      אני השתמשתי בפירוק הטרינום על מנת לפתור את המשוואה הריבועית אך ניתן לפתור בכול דרך אחרת.

      אם לא היה ניתן להוציא x כגורם משותף (למשל במקרה X^3+X^2-12) לא היה ניתן לפתור במסגרת חומר הלימודים את המשוואה, כי משוואות ממעלה שלישית לא נלמדות.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.