משוואות דו ריבועיות

לדף זה שני חלקים:

  1. תקציר.
  2. תרגילים.

1.תקציר

משוואות דו ריבועיות הן משוואות שבהם יש שלושה איברים הנראים כך:

x4 – 5x² -14 = 0

איבר אחד הוא מספר חופשי (14-).
שני האיברים האחרים הם משתנים הכוללים חזקה (x ,5x²).
כאשר החזקה על אחד המספרים כפולה מהחזקה על המספר השני.

פותרים את התרגילים הללו על ידי הפיכת המשוואה הזו למשוואה ריבועית.
מגדירים:
x² = t
ולכן על פי חוקי חזקות
x4 = x² * x² = t *t = t²
x4 = t²

כאשר נציב במשוואה x² = t נקבל:

x4 – 5x² – 14 = 0
t² – 5t – 14 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית
נשתמש בפירוק הטרינום:
t – 7) (t + 2) = 0)
t = 7,  t = -2

נחזור אל המשתנה המקורי
x² = 7
x = ±√7

x² = -2
זו משוואה ללא פתרון.

תשובה: פתרונות המשוואה x4 – 5x² -14 = 0 הם x = ±√7.

לסיכום. שלבי פתרון משוואה דו ריבועית הם:

  1. הצבה של משתנה במקום המשתנה המקורי כך שנקבל משוואה ריבועית.
  2. פתרון המשוואה הריבועית.
  3. הצבה בחזרה של המשתנה המקורי ומציאת הפתרונות.

מספר הפתרונות של משוואה דו ריבועית.

כאשר אנו מגדירים t כ x בחזקה זוגית מספר הפתרונות הוא:

t חיובי ⇐ 2 פתרונות ל x.
t שלילי ⇐ 0 פתרונות ל x.
t =0 יש  ⇐ 1 פתרונות ל x.

 

סימן הפתרון עבור tמספר הפתרונות של x
שני פתרונות חיוביים.4
שני פתרונות שליליים.0
פתרון חיובי ופתרון שלילי.2
פתרון חיובי ופתרון 0.3
פתרון שלילי ופתרון 0.1

לכן מספר הפתרונות עבור x של משוואה כזו יכול להיות 0,1,2,3,4.

הערה חשובה
בנוגע למספר הפתרונות יש הבדל בין משוואות
x4 + 2x² – 10 =0  או   x8 – 4x4+ 6 = 0

כלומר כאשר t שווה ל- x בחזקה זוגית כל פתרון חיובי של t נותן שני פתרונות עבור x.

לעומת זאת:
כאשר ההצבה שלנו תהיה t = x³.
או t שווה ל- x בחזקה אי זוגית אחרת.
כמו במשוואה  x6 + 5x³ -10 =0
אנו נקבל עבור כל פתרון של t (חיובי וגם שלילי) פתרון יחיד ל- x.
דוגמה לכך בתרגיל מספר 5.

2.תרגילים

את כל המשוואות הריבועיות כאן ניתן לפתור בעזרת פירוק הטרינום או נוסחאות הכפל המקוצר או דרך קיצור אחרת.
השימוש בנוסחת השורשים לא הכרחי.

תרגיל 1
x4 – 5x² + 4 =0

פתרון
נציב:
t = x²
נקבל
t² – 5t + 4 = 0

נפתור את המשוואה בעזרת פירוק הטרינום:
t – 4) (t – 1) = 0)
t = 4,  t = 1

נחזור אל המשתנה x
x² = 4
x = 2, x = -2
x² = 1
x = 1, x = -1
תשובה: למשוואה זו יש 4 פתרונות.
x = 2, x = -2,  x = 1, x = -1

תרגיל 2
x4 – 6x² + 9 =0

פתרון
נציב
t = x²
ונקבל
t² – 6t + 9 = 0

נפתור בעזרת הנוסחה לדו איבר בריבוע.
a² – 2ab + b² = (a – b)²
t² – 6t + 9 = (t – 3)²
t – 3)² =0)
t = 3

נחזור אל המשתנה המקורי
x² = 3
x = ±√3
תשובה: למשוואה זו שני פתרונות x = ±√3

תרגיל 3
2x4 – 18x² = 0

פתרון
נציב
t = x²
ונקבל
2t² – 18t = 0

נפתור את המשוואה בעזרת הוצאת גורם משותף
2t² – 18t = 0
2t (t – 9) = 0
t = 0 או t = 9.

נחזור אל המשתנה המקורי
x² = 9
x = 3,  x = -3

x² = 0
x = 0
תשובה: למשוואה דו ריבועית זו יש 3 פתרונות
x = 3,  x = -3,  x = 0

תרגיל 4
x4 + 5x² + 6 = 0

פתרון
נציב במשוואה x² = t.
t² + 5t + 6 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית הזו בעזרת פירוק הטרינום.
t + 3) (t + 2) = 0)
t = -3, t = -2

נחזור אל המשתנה המקורי
x² = -3
אין פתרון
x² = -2
אין פתרון.
תשובה: למשוואה דו ריבועית זו אין פתרונות.

תרגיל 5
3x6 + 3x³ -18 = 0

פתרון
נציב
t = x³,   t² = x6
ונקבל
3t² + 3t – 18 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית
3t² + 3t – 18 = 0   / :3
t² + t – 6 = 0
t + 3) (t -2) = 0)
t = -3
t = 2

נחזור אל המשתנה המקורי
x³ = -3
x = -1.44
x³ = 2
x = 1.26
תשובה: למשוואה זו יש שני פתרונות x = -1.44,   x = 1.26.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “משוואות דו ריבועיות”

    1. לומדים מתמטיקה

      לאחר שמצאתי את הפתרון ואני רוצה לבדוק שהפתרון נכון אני מציב במשוואה המקורית, זו שבחזקת 4.
      אם לכך התכוונת.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.