משוואה ריבועית הסבר, דרכי פתרון ותרגילים

נושא המשוואה הריבועית מחולק בדף זה למספר תתי נושאים.
הנושאים החשובים ביותר הם נוסחת השורשים, פירוק הטרינום, מספר פתרונות המשוואה והמשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
עבור חלק מהנושאים יש קישור לדפים הכוללים הסברים ותרגילים נוספים.
הנושאים המופיעים בדף זה הם:

  1. נוסחת השורשים – פתרון משוואה ריבועית בעזרת נוסחה.
  2. משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים – ואיך ניתן לפתור אותם בדרך קצרה.
  3. פירוק הטרינום – דרך אלגנטית ומהירה לפתרון משוואה ריבועית, אך לא ניתן לבצע אותה בכול המשוואות הריבועיות.
  4. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית והמשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
  5. השלמה לריבוע – דרך נוספת לפתרון משוואה ריבועית. דורשת ידע ולא מתאימה לכל המשוואות הריבועית.
  6. תרגילים – פתרון של משוואות ריבועיות בדרכים שונות.
  7. תרגילים נוספים – תרגילים מורכבים יותר.

נושאים קרובים הנמצאים בדפים נוספים:

  1. חקירת פונקציה ריבועית.
  2. אי שוויונים ריבועיים.
  3. בעיות מילוליות הכוללות משוואה ריבועית.

1. פתרון משוואה ריבועית על ידי נוסחת השורשים

משוואה ריבועית מהצורה ax²+bx+c=0 ניתן לפתור על ידי הצבת הערכים בנוסחה הבאה :

נוסחה לפתרון משוואה ריבועית

x1 ,x2 הם הפתרונות.

2. פתרון משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים

כאשר אחד הפרמטרים שצוינו קודם a,b,c חסר יש דרכים קלות ומהירות יותר לפתור את המשוואה.

כאשר הפרמטר a חסר
כאשר הפרמטר a חסר זו אינה משוואה ריבועית אלא משוואה ממעלה ראשונה (x² אינו קיים במשוואה) ויש לפתור אותה כמו משוואה רגילה ממעלה ראשונה עם נעלם אחד.

כאשר הפרמטר b חסר
במצב זה מתקבלת משוואה מהצורה ax² + c=0.
על מנת לפתור יש להעביר את c אגף ולהוציא שורש.

תרגיל
פתור את המשוואה הריבועית 5x²-80=0

5x²-80=0
5x²=80   / נוסיף לשני צדדי המשוואה 80 (נעביר אגף).
x²=16    /  נחלק את שני צדדי המשוואה ב – 5.
x1=4 , x2=-4    /  נוציא שורש משני צדדי המשוואה ונקבל שני פתרונות

כאשר הפרמטר c חסר
נקבל משוואה ריבועית מהצורה ax²+bx=0.
במקרה זה נוציא את x כגורם משותף לשני האיברים באגף השמאלי ונפתור.

תרגיל – פתור את המשוואה הריבועית 4x²+10x=0.
4x²+10x=0
x(4x+10)=0   / נוציא את x כגורם משותף.
האפשרויות לפתרון המשוואה הם
x=0   או
4x+10=0
x=-2.5
תשובה
x=0 או x=-2.5

3. פתרון משוואה ריבועית על ידי פירוק הטרינום

פתרון משוואה ריבועית על ידי פירוק הטרינום היא דרך מהירה, אינטליגנטית, מומלצת ומעידה על הידע שלכם בטכניקות אלגבריות. הדרך תחסוך לכם זמן וגם יכולה למנוע ממכם טעויות חשבוניות שיכולות להתבצע בפתרון דרך נוסחת השורשים.

יש שני מצבים בפירוק הטרינום:

  1. הפרמטר a שווה ל -1. כלומר המשוואה היא מהצורה : x²+bx+c=0
  2. הפרמטר a הוא מספר השונה מ -1, ואז המשוואה היא מהצורה ax²+bx+c=0. המצב הראשון קל בהרבה ויש ללמוד אותו קודם.

פירוק הטרינום כאשר a=1

על מנת לבצע את פירוק הטרינום במשוואה x²+bx+c=0 עלינו למצוא שני מספרים שיקיימו את התנאים הבאים:

  1. מכפלת שני המספרים תתן לנו את c.
  2. סכום שני המספרים הוא b.

לרוב מוצאים את שני המספרים הללו על ידי הרצת אפשרויות בראש. מומלץ קודם למצוא שני מספרים המקיימים את תנאי 1 ולאחר מיכן לבדוק אם גם תנאי 2 מתקיים.

דוגמאות:
פתרו את המשוואה x²+5x+6=0
שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5 הם 3,2.
ואז ניתן לכתוב x²+5x+6=(x+2)*(x+3)=0
פתרונות המשוואה הריבועית:
x+3=0  או x+2=0
x=-3,  x=-2  – תשובות סופיות.

משוואה ריבועית נוספת x²+x-6=0
שני מספרים שמכפלתם 6- וסכומם 1 הם 3 ו 2-.
ואז ניתן לכתוב 0=(x²+x-6=(x-2)*(x+3
פתרונות המשוואה הריבועית:
x-2=0  או  x+3=0
x=2,  x=-3  – תשובות סופיות.

משוואה ריבועית x²-6x+8=0
שני מספרים שמכפלתם 8 וסכומם 6- הם 4-  ו   2-.
ואז ניתן לכתוב 0=(x²-6x+8=(x-4)*(x-2
פתרונות המשוואה הריבועית:
x-2 = 0 או x-4=0.
x=4, x=2 – תשובות סופיות.

מתי קשה לפרק את הטרינום

קשה לפרק את הטרינום כאשר שורשי המשוואה הם אינם מספרים שלמים. למשל עבור המשוואה 0=x²+8x+10 אין שני מספרים שלמים שמכפלתם 10 וסכומם 8 לכן קשה יותר ולא נהוג לפתור משוואה מסוג זה בדרך של פירוק טרינום.

פירוק הטרינום כאשר a שונה מ -1

זה קצת יותר מסובך והייתי ממליץ בעיקר לתלמידי 4 ו 5 יחידות לדעת את הדרך הזו. כמו פירוק הטרינום הקודם לא כל משוואה ריבועית ניתנת לפתרון בדרך זו.

על מנת לפרק לגורמים משוואה ריבועית מהסוג ax²+bx+c=0 צריך :
1) למצוא שני מספרים אשר מכפלתם היא c*a וסכומה הוא b.
2) לפרק את הגורם b לשני המספרים הללו ולכתוב אותו.
3) לבצע פירוק לגורמים על פי קבוצות.
4)לבצע פירוק לגורמים נוסף.

תרגילים
משוואה ריבועית 0=3x²-7x-10
שלבי פתרון :
1) נמצא שני מספרים שסכומם 7- ומכפלתם 3*10-=30-.
המספרים הם 10- ו 3.
2)נכתוב את המשוואה החדשה כאשר הגורם b מפורק לשני המספרים הללו
0=3x²+3x-10x-10
3) נפרק לגורמים את שני המספרים הראשונים והאחרונים בנפרד (נוציא גורם משותף).
0=(3x(x+1)-10(x+1
4) ניתן לראות ש x+1 הוא גורם משותף, נבצע פירוק לגורמים נוסף
0=(3x-10)*(x+1)
המשוואה מפורקת והפתרונות שלה הם :
3x-10=0 כלומר x=10/3
או
x+1=0
x=-1

4. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

מספר הפתרונות של משוואה ריבועית ax²+bx+c=0 נתון על ידי הערך שמקבל הביטוי b²-4ac. נתון לכנות ביטויי זה גם בשמות דלתא או דיסקרימיננטה. מספר הפתרונות נתון על ידי :

b²-4ac>0 יש שני פתרונות.
b²-4ac=0 יש פתרון אחד.
b²-4ac<0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות
כאשר יש שני פתרונות גרף המשוואה הריבועית חותך את ציר ה- x בשני מקומות.
כאשר יש פתרון אחד גרף המשוואה הריבועית משיק לציר ה – x בנקודה אחת – בקודקוד.
כאשר אין פתרונות גרף המשוואה הריבועית אינו חותך את ציר ה – x.

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

מספר הפתרונות של פרבולה / משוואה ריבועית הוא כמספר נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X

פתרון גרפי של משוואה ריבועית

כאשר נתון לנו גרף של משוואה ריבועית הפתרונות של המשוואה הריבועית מהצורה ax²+bx+c=0 נתונים על ידי נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה – x.

הסבר – כאשר גרף המשוואה הריבועית חותך את ציר ה – x ערך ה y הוא 0 ולכן הנקודות הללו הם הפתרון של המשוואה הריבועית.

תרגיל.
נתון גרף של משוואה ריבועית.
מהם פתרונות המשוואה?

מה הם הפתרונות של המשוואה הריבועית שנראית כך

מה הם הפתרונות של המשוואה הריבועית שנראית כך?

ניתן לראות שעבור x=-1 או x=4 הערך של y הוא 0, לכן המספרים הללו הם הפתרון של המשוואה הריבועית.

5. השלמה לריבוע

נושאים נוספים הקשורים למשוואה ריבועית שאינם בדף זה:

  1. חקירת פונקציה ריבועית.
  2. אי שוויונים ריבועיים.

6. תרגילים: פתרון משוואות ריבועיות

פתרו את המשוואות הריבועיות הבאות:

  1. x² -6x +1 = 0
  2. 4x² – 7x = 2x² + x
  3. x- 2)² = x² – 6x + 1)
  4.  x+4)²+22x+5x²-100=0)
  5. x-4)² / (x+2) = 0)

פתרון

תרגיל 1:   x² -6x +1 = 0
הפרמטרים של המשוואה הריבועית הזו הם:
a = 1,  b = -6,  c = 1
נציב בנוסחת השורשים:
פתרון התרגיל

תרגיל 2:   4x² – 7x = 2x² + x
נכנס את כל האיברים לצד אחד.
4x² – 7x = 2x² + x    / -2x² – x
2x² -8x = 0
נשים לב שניתן לחלק את המשוואה ב 2 על מנת לעבוד עם מספרים יותר קטנים. במשוואה זו זה לא הכרחי אבל יש משוואות שזה עוזר.
x² – 4x = 0
הפרמטר c חסר, נפתור בעזרת הוצאת גורם משותף x.
x (x – 4) = 0
x = 0 או x- 4 =0
x = 0 או x = 4

תרגיל 3:   x- 2)² = x² – 6x + 1)
נפתח סוגריים:
x² – 4x + 4 = x² – 6x + 1
נשים לב שיש מספר שווה של x² משני צדדי המשוואה הריבועית.
לכן להפוך את המשוואה למשוואה שאינה ריבועית.
x² – 4x + 4 = x² – 6x + 1  /  -x²
4x + 4 = -6x + 1    / +6x – 4-
2x = -3   / :2
x = -1.5

תרגיל 4: x+4)²+22x+5x²-100=0)
x+4)²+22x+5x²-100=0)
x²+8x+22x+16+5x²-100=0
6x²+30x-84=0  /:6
x² +5x-14=0
x+7)*(x-2)=0)
פתרון x=-7 או x=2

תרגיל 5:  x-4)² / (x+2) = 0)
x-4)² / (x+2) = 0)
דבר ראשון עלינו למצוא את תחום ההצבה.
תחום ההצבה x≠ -2  כי המכנה צריך להיות שונה מ 0.
(x-4)² / (x+2) = 0  / (x+2)
x-4)² =0)
פתרון x=4

7. תרגילים נוספים במשוואה ריבועיות

סוגים נוספים של בעיות בהן אתם יכולים להיתקל, בעיות מילוליות ועוד.

תרגיל 1: משוואה ממעלה רביעית

מצאו את הפתרונות של המשוואה 4x4+16x²=0

פתרון
זו משוואה ממעלה רביעית, אך לאחר שנוציא גורם משותף ניתן לפתור אותה כמשוואה ריבועית.
נוציא את x² כגורם משותף

4x²(x²+4)=0
אפשרות א :4x²=0
x²=0
x=0

אפשרות ב
x²+4=0
x²=-4
ריבוע של מספר לעולם אינו שלילי. לכן מאפשרות ב אנו לא מקבלים פתרון.
גם x^2 וגם 4 חיוביים תמיד לכן סכומם תמיד גדול מ 0 והמשוואה x^2+4=0 לעולם אינה מתקיימת.
תשובה : הפתרון של המשוואה x=0.

תרגיל 2: משוואת פרבולה ומשוואת ישר

נתונה הפרבולה f (x) = x² -5x+4 ומשוואת הישר  h(x) = -2x +4.

  1. מצאו מתי (h(x) > f(x.
  2. מצאו מתי 0 < (f(x) * h(x
שרטוט הגרפים h(x) = -2x +4 ו f (x) = x² -5x+4

שרטוט הגרפים h(x) = -2x +4 ו f (x) = x² -5x+4

פתרון

ניתן לראות בגרף שמשוואת הישר חותכת את הפרבולה בשתי נקודות, ושבין שתי הנקודות משוואת הישר גדולה ממשוואת הפרבולה.
נמצא את שתי נקודות החיתוך.

x² -5x+4 = -2x+4 / +2x-4
x²-3x =0
x(x-3) =0
x=0, x = 3

(h(x) > f(x כאשר x>0 וגם x<3.

חלק שני
המכפלה של הישר והפרבולה חיובית כאשר שניהם חיוביים או כאשר שניהם שליליים.
על מנת לדעת מתי הם חיוביים ושליליים עלינו למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.

עבור f (x) = x² -5x+4
f (x) = x² -5x+4 = (x-4) (x-1) = 0
x=4, x=1.(נקודות חיתוך עם ציר ה x).
הפרבולה חיובית כאשר x>4 או x<1.

עבור  h(x) = -2x +4
h(x) = -2x +4=0 / -4
2x = -4 /:-2-
x=2 (נקודת חיתוך עם ציר ה x)
הישר חיובי כאשר x<2.

משני האי שוויונות נובע ששני הגרפים חיוביים כאשר x<1.

שני הגרפים שליליים כאשר x>2 וגם x<4.

תרגיל 3: בעיה מילולית עם מספרים

מספר אחד גדול ממספר שני ב 10. מכפלת שני המספרים היא 75. מצאו את שני המספרים.

פתרון
x – המספר הקטן.
x+10 – המספר הגדול.
מכפלת שני המספרים היא 75. לכן המשוואה היא:
x(x+10)=75
x²+10x=75 / -75
x²+10x-75=0
x+15) (x-5)=0)
x=-15,   x=5
אם x=5 אז המספר השני:
5+10=15.
אם x=-15 אז המספר השני:
15+10-=5-.
תשובה: אפשרות אחת למספרים היא 5,15.
אפשרות שנייה למספרים היא 5-,15-.

תרגיל 4: בעיה מילולית במלבן

צלע אחת במלבן גדולה מאחרת ב 20%. שטח המלבן הוא 4.8 סמ"ר. חשבו את אורך צלעות המלבן.

פתרון
x – הצלע הקטנה במלבן.
1.2x – הצלע הגדולה במלבן.
שטח המלבן הוא 4.8 סמ"ר לכן המשוואה היא:
x*1.2x=4.8
1.2x²=4.8  / :1.2
x²=4
x=2,  x=-2.
x מייצג אורך צלע של מלבן שהוא גודל חיובי תמיד. לכן הפתרון האפשרי הוא x=2.
אורך הצלע השנייה:
2*1.2=2.4 ס"מ.
תשובה: אורך צלעות המלבן הוא 2 ס"מ ו 2.4 ס"מ.

תרגיל 5: בעיה מילולית במשולש ישר זווית

סכום אורכי הניצבים במשולש ישר זווית הוא 7 מטר. אורך היתר הוא 5 מטרים.
חשבו את אורך הניצבים במשולש ואת שטח המשולש.

פתרון
x – אורך ניצב משולש.

שבע מינוס X הוא אורך הניצב השני

שבע מינוס X הוא אורך הניצב השני

נשתמש במשפט פיתגורס על מנת לבנות משוואה.

x² + (7-x)²=5²
x²+49-14x+x²=25 / -25
2x²-14x+24=0 /:2
x²-7x+12=0
x-3) (x-4)=0)
x=3,   x=4
אם אורך ניצב אחד הוא 3 אז הניצב השני:
4=7-3.
נבדוק גם את האפשרות השנייה שקיבלנו. x=4.
3=7-4.
שטח משולש ישר זווית שווה למכפלת הניצבים לחלק ב 2:
2: 3*4
6=12:2
תשובה: אורכי הניצבים הוא 3 ו 4 מטרים. שטח המשולש הוא 6 מ"ר.

תרגיל 7: בעיית תנועה

מכונית נוסעת מידי יום בין שני ערים מרחק של 420 ק"מ.
יום אחד הגבירה המכונית את מהירותה ב 10 קמ"ש ולכן הגיעה מוקדם יותר ב 1 שעה.
חשבו את מהירות המכונית ביום רגיל.

פתרון

עוד באתר:

שאלה שאלות

8 תגובות בנושא “משוואה ריבועית הסבר, דרכי פתרון ותרגילים

  1. יעל

    אני קוראת ורואה את הסרטונים ואני כן מבינה יותר טוב אבל עדיין קשה לי להבין ויש לי עוד מאת מבחן שיחלק אותי לכמה יחידות אני הולכת ואי לא רוצה ללכת לשלוש יחידות… ואני לא מבינה מה המורה רוצה ממני בשיעורים ורק פה אני עוד איכשהו מצליחה להבין אבל לא עד הסוף..מה אני יעשה…?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום יעל.
      אני מצטער על המצב.
      אני יכול רק להגיד איך אני יכול לעזור לך כאן, ואתן את העזרה הזאת בשמחה רבה.
      אם את לא מבינה משהו את יכולה לשאול אותי כאן, רצוי שהשאלה תהיה מדויקת. למשל "בהסבר על פתרון בעזרת טרינום אני לא מבינה את השלב השני" או "השלב השלישי בתרגיל 5 לא ברור… "
      את יכולה לשאול כמה שאלות שאת רוצה ואני אשתדל לענות ובמהירות, לרוב תוך מספר שעות או פחות.
      אני מבין שמדובר בהרבה שאלות מצידך ושזה ידרוש זמן – אבל כך אני יכול לעזור וכאמור אעשה זאת בשמחה.
      מחכה לשמוע ממך.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום רחל.
      במקרה זה את צריכה להוציא x כגורם משותף ואז לפתור את המשוואה הריבועית שנשארה בפנים.
      X^3+X^2-12x = x(x^2 +x – 12) = x(x-3) (x+4) = 0
      הפתרונות הם x=0, x=3, x = -4.

      אני השתמשתי בפירוק הטרינום על מנת לפתור את המשוואה הריבועית אך ניתן לפתור בכול דרך אחרת.

      אם לא היה ניתן להוציא x כגורם משותף (למשל במקרה X^3+X^2-12) לא היה ניתן לפתור במסגרת חומר הלימודים את המשוואה, כי משוואות ממעלה שלישית לא נלמדות.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.