שטח משולש יכול לעזור לנו לחשב שטח מרובע כאשר:
- ניתן לחלק את המרובע לשני משולשים שווי שטח. דבר שניתן לעשות בכול סוגי המקביליות.
- כאשר למרובע ולמשולש יש צלע משותפת.
- שטח משולש טריגונומטריה הוא דף בסיסי יותר בנושא זה.
תרגילים
תרגיל 1
על צלעות מקבילית ABCD נמצאת הנקודה E כך ש EF מקביל ל BD.
F הוא אמצע הצלע AD.
AD = 10. DC = 6
ידוע כי שטח משולש AEF הוא 7.05 סמ”ר חשבו את שטח המקבילית.
פתרון
שלב א: נמצא את גודל הזוית A
- FE קטע אמצעים במשולש ABD – כי ישר היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים.
- AE = 0.5AB = 0.5CD = 3 צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
שטח משולש AEF הוא:
SAEF = 0.5*5*3* sin A = 14.1
sin A = 7.05 / 7.5 = 0.939
A = 110
או
A = 70
שלב ב: נוכיח כי שטח המקבילית שווה לשטח משולש ABD כפול 2
נוכיח את חפיפת המשולשים ABD ≅ CDB
- AB = CD, AD = BC צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
- BD צלע משותפת.
- ABD ≅ CDB חפיפת משולשים על פי צ.צ.צ.
המשולשים חופפים ולכן שווים בשטחם.
שטח המקבילית הוא פעמיים שטח משולש ABD.
שלב ג: חישוב שטח משולש ABD ושטח המקבילית
SABD = 0.5AB*AD* sin 110
SABD = 0.5*10*6*sin 110 = 28.2
שטח המקבילית הוא כפול ושווה ל:
S = 2*28.2 = 56.4
מה למדנו בתרגיל זה?
- לחשב גודל של זווית בעזרת שטח משולש.
- לחשב שטח של מרובע בעזרת הנוסחה לחישוב שטח משולש.
S = 0.5a * b * sin γ
תרגיל 2
מהקודקודים B ו C של המקבילית ABCD מעבירים את הישרים BE, CE כך שנוצר המשולש BEC.
אורך הגובה EF של המשולש הוא 5/8 מאורך הגובה AG של המקבילית.
- מצאו את היחס בין שטח המקבילית לשטח המשולש.
- אם שטח המקבילית הוא 96 סמ”ר מה שטחו של המשולש?
- אם במקום הנתון של סעיף ב היה נאמר לנו שסכום השטחים של המשולש והמקבילית הוא 84 סמ”ר. כיצד הייתם מוצאים את שטח המשולש ושטח המקבילית?
(חזרה ניתן לעשות בדף: יחס כיתה ח).
פתרון
הרעיון של הפתרון: להגדיר את שטח המשולש ושטח המקבילית בעזרת אותן צלעות.
שלב א: הגדרת שטח המקבילית ושטח המשולש בעזרת אותן צלעות
שטח המקבילית הוא:
SABCD = AG * BC
שטח המשולש הוא:
SBEC = 0.5EF * BC
נציב במשוואה:
EF = O.625AG
SBEC = 0.5 * 0.625 * AG * BC = 0.3125* AG * BC
שלב ב: מציאת יחס השטחים
שתי משוואות השטחים שקיבלנו הן:
SABCD = AG * BC
SBEC = 0.3125 * AG*BC
היחס בין השטחים הוא:
סעיף ב
שטח המשולש קטן פי 3.2 משטח המקבילית. לכן שטח המשולש הוא:
30 = 3.2 : 96
סעיף ג
נגדיר
x שטח המשולש.
לכן:
3.2x שטח המקבילית.
המשוואה שלנו היא:
x + 3.2x = 84
4.2x = 84 / :4.2
x = 20
שטח המקבילית הוא:
64 = 3.2 * 20
תשובה: שטח המשולש 20 סמ”ר, שטח המקבילית 64 סמ”ר.
מה למדנו בתרגיל זה?
השטח של מרבית הצורות שאנו מכירים מורכב ממכפלה של שתי צלעות.
כאשר אחת מהצלעות הללו היא משותפת וגם אנחנו יודעים את הפרופורציה של הצלע הנוספת ניתן לחשב את היחס בין השטחים.
תרגיל 3
המרובע ABCD הוא טרפז ישר זווית (B = 90 וגם AB ||CD).
גודל AB הוא a וגודל הצלע DA הוא ¼ מהצלע AB.
CAB =30, ∠EAC = 40, ∠EAD = 50
- חשבו את הצלע AC
- חשבו את הצלע EA.
- ידוע כי שטח משולש EAD הוא 3.02 מצאו את a.
פתרון
סעיף א: מציאת AC
במשולש ישר זווית ABC:
cos 30 = a / AC
AC = a / cos 30 = 1.15a
סעיף ב: מציאת EA
שלב א: נמצא את הזוויות במשולש CEA.
AB || CD
לכן
ACE = ∠CAB = 30 זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
CEA = 180 – 30 – 40 = 110 סכום זוויות במשולש CEA הוא 180.
שלב ב: נשתמש במשפט הסינוסים במשולש CEA
אלו צלעות נכלול במשפט הסינוסים?
את EA אנחנו מחפשים, את CA אנחנו יודעים. לכן נכלול את שתיהן.
EA = 1.15a * sin 30 / sin 110 = 0.54a
סעיף ג: מציאת a
שטח המשולש הוא 1.51 סמ”ר.
שטח המשולש הוא גם:
S = 0.5 * DA * EA * sin 50
S = 0.5 * 0.25a * 0.54a * 0.766 = 0.0517a²
נבנה משוואה:
0.0517a² = 1.51 / : 0.0517
a² = 29.2
a = 5.4
או
a = -5.4
התשובה המתאימה היא a = 5.4.
הערה: יכול להיות שקיבלתם תשובה קצת אחרת בגלל עיגולים שונים לאורך הדרך.
מה למדנו בתרגיל זה?
- לעשות שימוש במשפט הסינוסים.
- למצוא פרמטר באמצעות מידע על שטח משולש.
עוד באתר: