הסתברות כיתה ט

לדף זה 3 חלקים:

1. קישורים לנושאים הנלמדים בכיתה ט.
2. סיכום החומר.
3. תרגילים.

התוכן הכתוב זמין לכולם.

חלק מהסרטונים מיועדים למנויים. רכשו מנוי ותוכלו ללמוד מכל התכנים.

1.קישורים

1. מאורעות תלויים ובלתי תלויים.
2. מאורעות זרים.
3. הסתברות של שני מאורעות (הסתברות “וגם”).
4. הסתברות מותנית.
5. דיאגרמת עץ.
6. בעיות הוצאה והחזרה.

2.סיכום החומר

החלקים של הסיכום הם:

1. חזרה על כיתה ח.
2. ההסתברות של שתי מאורעות.
3. הסתברות מותנית.
4. דיאגרמת עץ.

1.חזרה על כיתה ח

הסתברות מחושבת על פי הנוסחה:

לדוגמה
זורקים קובייה.

1. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי?
2. מה ההסתברות שיצא המספר 5 או גדול ממנו?

פתרון
סעיף א: מספר זוגי
יש 6 אפשרויות בזריקת קובייה
מתוכם 3 מספרים זוגיים 2,4,6 שהם התוצאה המבוקשת.
לכן ההסתברות לזוגי היא:

סעיף ב: מספר 5 או גדול ממנו
האפשרויות הטובות הן 5,6
מתוך 6 אפשרויות בזריקת קובייה.
לכן ההסתברות היא:

2.כיתה ט: הסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים

מאורעות בלתי תלויים אלו הם מאורעות שהסתברות של מאורע אחד אינה משפיעה על ההסתברות של מאורע אחר.
הנוסחה לחשוב ההסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים היא:
(P(A∩B)=P(A) * P(B

דוגמה 1
זורקים קובייה ומסבבים סביבון שעליו האותיות נ.ג.ה.פ.
מה ההסתברות שנקבל את המספר 3 והאות “פ”.

פתרון
ההסתברות למספר 3 היא:
1/6
ההסתברות לאות “פ” היא:
1/4
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא מכפלת ההסתברויות.

תשובה: ההסתברות לקבל 3 וגם “פ” היא 1/24.

דוגמה 2
שירה ונועם ניגשות לבחינה בספרות. ההסתברות ששירה תעבור היא 0.8 וההסתברות שנועם תעבור היא 0.7. ידוע כי ההסתברויות בלתי תלויות.

1. מה ההסתברות ששתיהן תעבורנה את הבחינה.
2. מה ההסתברות שאף אחת מהן תעבור את הבחינה.
3. מה ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תעבור את הבחינה.
4. מה ההסתברות שלפחות אחת מיהן תעבור את הבחינה.

פתרון

סעיף א: שתיהן תעבורנה
נגדיר כ- A את ההצלחה של שירה ו- B כהצלחה של נועם.
נסתמך על הנוסחה (P(A∩B)=P(A) * P(B
P(A∩B)=0.8*0.7=0.56.
ההסתברות ששתיהן תצלחנה בחינה הוא 0.56.

סעיף ב: שתיהן תיכשלנה
ההסתברות ששירה תיכשל:
0.2 = 0.8 – 1
ההסתברות שנועם תיכשל:
0.3 = 0.7 – 1

לכן:
ההסתברות ששתיהן תיכשלנה היא:
0.06 = 0.2 * 0.3

סעיף ג: אחת מיהן תעבור
את ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תעבור ניתן לחשב בשתי דרכים:
דרך אחת: זו ההסתברות המשלימה לשתי ההסתברויות הקודמות ולכן:
0.38 = 1-0.56-0.06

דרך שנייה:
לחבר את ההסתברויות ששירה תצליח ונועם תיכשל עם ההסתברות ששירה תיכשל ונועם תצליח.
שירה תצליח ונועם תיכשל:
0.24 = 0.8 * 0.3
שירה תיכשל ונועם תצליח:
0.14 = 0.2*0.7
סכום שתי ההסתברויות הוא:
0.38 = 0.24+0.14
תשובה: ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תצליח במבחן היא 0.38.

סעיף ד: מה ההסתברות שלפחות אחת מיהן תעבור את הבחינה?
שאלה זו נשאלה לא רק על מנת שתבצעו חישוב אלא בעיקר על מנת שתקשיבו לניסוחים ולא תתבלבלו. לפעמים ישאלו אותכם על “בדיוק” (כמו בסעיף 3) ולפעמים ישאלו אותכם על “לפחות” – וזו תשובה אחרת לחלוטין. שימו לב שאתם לא טועים.

גם את הסעיף הזה ניתן לפתור בשתי דרכים:
בעזרת ההסתברות המשלימה.
ההסתברות שלפחות אחת תעבור כוללת בתוכה שתי הסתברויות:
אחת תעבור ואחת תיכשל.
שתיהן תעבורנה.

האפשרות היחידה שאינה כלולה במקרה זה היא ההסתברות ששתיהן תיכשלנה.
ולכן ההסתברות המבוקשת היא ההסתברות המשלימה לזה ששתיהן תיכשלנה.
0.94 = 1-0.06

דרך שנייה היא על ידי חישוב.
לפחות אחת תעבור זה אומר שיש אפשרות שאחת תעבור ויש אפשרות ששתיהן תעבורנה.
נשתמש בנוסחה (P(A∪B)=P(A)+P(B.
0.38 – בדיוק אחת תצליח.
0.56 – שתיהן תצלחנה.
0.94 = 0.38+0.56.
תשובה: ההסתברות שהן יעברו לפחות מבחן אחד היא 0.94.

הערה: כפי שראיתם בסעיפים 3 ו- 4 הרבה פעמים קצר יותר לחשב הסתברויות בעזרת ההסתברות המשלימה. אם בכוונתכם לעשות זאת עליכם לוודא היטב שההסתברות “המשלימה” היא באמת “משלימה” ושלא נשארה עוד איזו הסתברות קטנה שלא שמתם לב אליה בתוך מרחב המדגם.

3.הסתברות מותנית

הסתברות מותנית היא נושא שנחשב קשה להבנה.

הגדרה: הסתברות מותנית של מאורע היא הסתברות של מאורע אם ידוע שמאורע אחר התרחש.
ההסתברות של המאורע A אם ידוע שהמאורע B התרחש נכתבת כך:
(P(A/B
ונוסחת ההסתברות המותנית היא:

 

בפועל הסתברות מותנית היא צמצום מרחב ההסתברויות, כי ידוע שמאורע מסוים כבר התרחש.
כאשר אומרים לכם אתם בוחרים מישהו אבל לא מתוך כל האפשרויות אלא מתוך קבוצה ספציפית זו הסתברות מותנית.

בחלק זה (ובסרטונים שלמעלה) אני אסביר כיצד אני באופן אישי מבין אותו ולאחר מיכן אסביר כיצד זה מסתדר עם הנוסחה של הסתברות מותנית.

נניח שנתוני השאלה הם:
בישוב 60% הם בנות ו 40% בנים.
30% מהבנות צופות בחדשות בטלוויזיה ו 20% מהבנים צופים בחדשות בטלוויזיה.

בנינו לנתוני השאלה את הדיאגרמה הבאה:

והשאלה היא:
דגמו מהישוב אדם והוא אינו צופה בחדשות.
מה ההסתברות שזו בת?

פתרון
בכול המקרים הסתברות מותנית מצמצמת לנו את העולם.
אם בעץ המקורי היו לנו 4 ענפים עכשיו ענפים 1,4 אינם קשורים כבר לשאלה שלנו (הענפים של הצופות והצופים), כי ידוע שהאדם שנדגם לא בא מיהם.

וכך גם תדעו לזהות שאלה של הסתברות מותנית, היא מצמצמת את המרחב. לא כל האפשרויות של השאלה המקורית אפשריות בשאלת הסתברות מותנית.

כך נראה עץ ההסתברויות החדש:

על מנת לפתור אני בשלב ראשון מחשב מה גודל “המרחב החדש” שנותר.
אלו הם ההסתברויות של ענפים 2,3.
ההסתברות של ענף 2 היא:
0.42 = 0.7 * 0.6
ההסתברות של ענף 3:
0.32 = 0.4 * 0.8

סך הכל נותרנו אם הסתברות של:
0.74 = 0.32 + 0.42

מתוך זה אנו מחפשים בת שאינה צופה בחדשות.
זה ענף 2 שהסתברותו 0.42

אם היינו זורקים קובייה ושואלים אותנו מה ההסתברות שיצא 2 היינו עונים 1/6.
ועל אוותו משקל עכשיו: מה ההסתברות שיצא 0.42 מתוך 0.74?
(כלומר ענף 2 מתוך ענפים 2,3?).

ואיך כל זה קשור לנוסחה של הסתברות מותנית?

מה שעשינו זה בדיוק מה שהנוסחה אומרת לעשות.
(P (B זו ההסתברות אדם שאינו צופה. סכום ענפים 2+3 שחישבנו (0.74).
(P (A∩ B זו ההסתברות לבחור בת שאינה צופה, ענף 2 שחישבנו (0.42).
והחישוב הוא בדיוק אותו חישוב שעשינו.

דוגמה 2

במשתלה יש 70% פרחים ו 30% עצים.
ל 90% מהעצים עלים ירוקים.
ל 30% מהפרחים עלים ירוקים.
דגמו צמח מהמשתלה ומסתבר שיש לו עלה ירוק.
מה ההסתברות שזה פרח?

פתרון
דיאגרמת העץ המתאימה לשאלה:

דגמו “עלים ירוקים” לכן ניתן למחוק את 2,3

“גודל המרחב” שלנו עכשיו הוא:
0.27 = 0.9 * 0.3  (ענף 1).
0.21 = 0.3 * 0.7  (ענף 4).
0.48 = 0.27 + 0.21

גודל הענף המבוקש (פרח עם עלה ירוק ) היא ענף 4 שהסתברותו 0.21.
והפתרון הוא:

4.דיאגרמת עץ

שכבת כיתה ט יצאו לטיול שנתי, 55% מתלמידי השכבה הן בנות. בערב הייתה הצגה שלא היה חובה ללכת אליה.
70% מהבנים לא הלכו להצגה. 60% מהבנות הלכו להצגה.

1. מה ההסתברות לדגום בת שהלכה להצגה? מה ההסתברות לדגום בן שלא הלך להצגה?
2. מה ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה?
3. מה ההסתברות לדגום אדם שלא הלך להצגה?
4. בחרו אדם וידוע שהוא הלך להצגה. מה ההסתברות שזו בת שהלכה להצגה?

פתרון
דיאגרמת עץ המתאימה לבעיה היא הדיאגרמה הזו.
הסבר כיצד לבנות דיאגרמת עץ תוכלו למצוא בסרטון או בדף דיאגרמת עץ.

ארבעת השאלות שנשאלנו הן 4 השאלות העיקריות ששואלים על דיאגרמת עץ:

1. הסתברות של ענף 1.
2. הסתברות של שני ענפים.
3. הסתברות משלימה.
4. הסתברות מותנית.

סעיף א: מה ההסתברות לדגום בת שהלכה להצגה?
נסתכל בדיאגרמה ונראה כי בת שהלכה להצגה זה ענף מספר 2.
לחישוב הסתברות של ענף נכפיל את ההסתברויות לאורך הענף.
0.33 = 0.6 * 0.55
תשובה: ההסתברות לבת שהלכה להצגה היא 0.33.

שאלה שנייה בסעיף א: מה ההסתברות לבן שלא הלך להצגה?
נסתכל בדיאגרמה ונראה כי בן שלא הולך להצגה זה ענף מספר 4.
לחישוב הסתברות של ענף נכפיל את ההסתברויות לאורך הענף.
0.315 = 0.7 * 0.45

סעיף ב: מה ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה?
בהסתכלות על העץ אנו יכולים לראות שאין ענף יחיד המתאר את כל מי שהלכו להצגה.
אלא הענפים 2,3 ביחד מתארים את אלו שהלכו.
2 מתאר נשים שהלכו.
3 מתאר גברים שהלכו.

על מנת לענות על השאלה הזו עלינו לחשב את ההסתברויות של כל אחד מהענפים ולחבר את ההסתברויות.
ההסתברות של ענף 2:
0.33 = 0.6 * 0.55
ההסתברות של ענף 3:
0.135 = 0.3 * 0.45

ההסתברות לאחד משני הענפים הללו היא:
0.465 = 0.135 + 0.33
תשובה: ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה היא 0.465.

סעיף ג: מה ההסתברות לדגום אדם שלא הלך להצגה?
ניתן לחשב את סכום הענפים 1,4 על מנת לענות לשאלה הזו.
אבל בשאלה הקודמת חישבנו את ההסתברות של הענפים 2,3 שהם ההסתברות המשלימה להסתברות המבוקשת.

אז הדרך הקצרה יותר לפתרון תסתמך על הסתברות משלימה.
0.535 = 0.465 – 1

ככל שהשאלה יותר מורכבת והעץ מורכב מיותר ענפים ההסתברות המשלימה יכולה להועיל יותר.

• הסתברות משלימה הסבר מפורט יותר.

סעיף ד: בחרו אדם וידוע שהוא הלך להצגה. מה ההסתברות שזו בת שהלכה להצגה?
על מנת לחשב את ההסתברות הזו עלינו למצוא את ההסתברות שאדם כלשהו הלך להצגה. זה סכום הענפים 2,3. וזה (P (B בנוסחה שלמעלה.
0.33 = 0.6 * 0.55 (ענף 2).
0.135 =  0.3 * 0.45  (ענף 3)
P (B)  = 0.33 + 0.135 = 0.465

(P (A ∩ B  זו ההסתברות שבת הלכה להצגה. זה ענף 2.
P (A ∩ B) = 0.33

ולכן על פי הנוסחה:
P (A / B) = 0.33 / 0.465 = 0.709
תשובה: אם בחרו אדם שהלך להצגה ההסתברות שזו בת היא 0.709.

• דיאגרמת עץ – הסבר מלא ותרגילים.

מושג חמישי: בעיות הוצאה והחזרה

זה אולי לא מושג חדש אבל בכיתה ט הבעיות מסתבכות.

• בעיות הוצאה והחזרה – דף המתמקד בבעיות מסוג זה.

עוד באתר:

1. מתמטיקה כיתה ט – סיכום החומר הנלמד בשנה זו + תרגילים.
2. הסתברות – הדף המרכזי באתר בנושא זה, לכול הרמות.
3. מאורעות זרים – הסבר לסוג זה של הסתברות.

תרגילים בהסתברות לכיתה ט

בחלק זה של הדף 9 תרגילים.
תרגילים 1-3 הם חזרה על חומר של כיתה ח.
תרגילים 4-5 הם תרגילי הסתברות בהם יש שני מאורעות בלתי תלויים.
תרגילים 6-7 הם על מאורעות תלויים.
תרגילים 8-9 הם בנושא דיאגרמת עץ.