אינטגרלים שטחים מורכבים

הערה
השטח המבוקש הוא שילוב של שני משולשים לכן ניתן לחשב אותו כסכום השטחים של המשולשים.

אנו עוסקים באינטגרלים לכן קודם כל נראה את הדרך האינטגרלית ולאחר מיכן את הדרך ללא אינטגרל.

שלב א: זיהוי הפונקציות
הפונקציה

f(x) = -2x + 4

היא פונקציה יורדת ולכן זו הפונקציה העוברת בין הנקודות BC.

הפונקציה g(x) = x + 10 היא פונקציה עולה העוברת בין הנקודות AB.

שלב ב: מציאת הנקודות A,B,C.
הנקודה A החיתוך של הפונקציה g(x) = x + 10 עם ציר ה x.
x + 10 = 0
x  = -10
(A (-10, 0

הנקודה B היא נקודת המפגש של הפונקציות:
x + 10 = -2x + 4
3x  = -6
x = -2

הנקודה C היא נקודת החיתוך של הפונקציה f(x) = -2x + 4 עם ציר ה x.
2x  + 4 = 0-
2x = -4-
x = 2

שלב ג: חישוב האינטגרל
השטח השמאלי מתקבל על ידי האינטגרל:

השטח הוא 32 יחידות ריבועיות.

השטח הימני מתקבל על ידי האינטגרל:

השטח הוא 16 יחידות ריבועיות.

תשובה: השטח כולו הוא:

48 = 32 + 16

דרך שנייה לפתרון: בעזרת שטח משולש
נשים לב שהשטח מורכב משני משולשים, נחשב את שטחם.

על מנת לחשב את גובה המשולשים עלינו לדעת את ערך ה y של הנקודה B.
בדרך הקודמת מצאנו כי בנקודה B מתקיים x = -2.
נציב במשוואת אחד הישרים ונמצא את y.
g(x) = x + 10
8 = 10 + 2-

שטח המשולש השמאלי הוא:
S₁ = 0.5 * 8 * 8 = 32
שטח המשולש הימני הוא:
S₂ = 0.5 * 8 * 4 = 16.
השטח כולו הוא:
48 = 16 + 32

שלב א: מציאת תחומי האינטגרל
עלינו למצוא נקודות חיתוך בין הפונקציות (A) ונקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x (שזו B).

עבור הנקודה A
x – 3)² = 4)
x² – 6x + 9 = 4
x² – 6x + 5 = 0
ניתן לפתור בעזרת נוסחת שורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של הטרינום.

x² – 6x + 5 = 0
x² – x – 5x + 5 = 0
x(x – 1) – 5(x -1) = 0
x – 1) (x – 5) = 0)
הפתרונות הם:
x = 1  וגם  x = 5
אנו רואים כי נקודת החיתוך המבוקשת היא נקודת החיתוך השמאלית לכן
x= 1
בנקודה A.

נמצא את ערך ה x בנקודה B
x – 3)² = 0)
x – 3 = 0
x = 3

שלב ב: חישוב האינטגרל
השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל הבא:

נחשב כל אינטגרל בנפרד:

השטח השמאלי שווה ל 4 יחידות ריבועיות.

השטח מימין שווה ל 2.667 יחידות ריבועיות.

תשובה: השטח כולו הוא:
6.667 = 2.667 + 4

הערה: את השטח השמאלי (מ-0 עד 1) ניתן לחשב בדרך פשוטה יותר. הפונקציה f היא קו ישר שמקביל לציר ה-x, לכן השטח שנוצר הוא מלבן.

נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S

במקרה שלנו:

-גובה: 4 (נמצא בין ציר x לישר y=4).

-בסיס: 1 (נמצא בין ציר y ל x=1).

לכן שטח המלבן הוא: 4 = 1 * 4

השטח שמתקבל הוא 4 יחידות ריבועיות.

בתרגיל זה אנו צריכים לחלק את השטח לשני שטחים נפרדים.
זאת מכיוון שהוא חסום ע”י יותר מפונקציה אחת.
1. מלבן – חסום ע”י הפונקציה y = 4.5 , והישרים : x= -3 , x = -4.
2.שטח חסום מתחת לפרבולה –  חסום ע”י הפונקציה f(x) = 0.5x², והישרים: x = -3 , x = 0.

נחשב כל שטח בנפרד – התשובה תהיה סכום השטחים:

1. מלבן :
על מנת לחשב את שטח המלבן לא נצטרך לבצע אינטגרל.
(ניתן לחשב ע”י אינטגרל, אבל במקרה זה אין צורך)
נשתמש בנוסחה לשטח מלבן :  גובה*בסיס = S

במקרה שלנו :
-גובה = 4.5   (המלבן נמצא בין ציר ה-x לבין הישר y = 4.5).
-בסיס = 1  (בסיס המלבן נמצא בין x = -4 ל – x = -3).

לכן שטח המלבן הוא :

S = 1*4.5 = 4.5

2. פרבולה :
א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח הכלוא:

חישבנו כל שטח בנפרד – רק נשאר לנו לסכום את שני השטחים.
שטח המלבן 4.5
השטח השני 4.5
לכן השטח הכולל הוא :
S_total = 4.5 + 4.5 = 9

תשובה : השטח החסום הוא 9.

שלב א: חישוב תחומי האינטגרל
הנקודה A היא:
0.5x + 1.5 = 0
x = -3

הנקודה B היא:
x² + 3x = 0 –
x (3 – x) = 0
x = 0  וגם   x = 3
בשרטוט אנו רואים שאנו מחפשים את נקודת החיתוך השמאלית לכן בנקודה B
x = 0.

הנקודה C היא:
0.5x + 1.5 = – x² + 3x
x² – 2.5x + 1.5 = 0
זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
נראה כאן את הדרך של טרינום.

x² – 2.5x + 1.5 = 0
x² – x – 1.5x + 1.5 = 0
x(x – 1) -1.5(x – 1) = 0
x – 1.5) (x – 1) = 0)
x = 1 וגם   x = 1.5

אם x = 1.5 אז היה נוצר לנו שטח נוסף בין הפונקציות בתחום x = 1 ועד x =1.5.
שטח זה לא קיים.
לגן בנקודה C
x = 1

שלב ב: חישוב האינטגרל
השטח המבוקש מתקבל על ידי חיסור שני האינטגרלים:

שטח זה שווה ל 4 יחידות ריבועיות.
משטח זה נחסר את השטח המתקבל כאן:

אם היינו מציבים מספרים היינו מקבלים ששטח זה הוא 1.1667.

תשובה: הפרש השטחים הוא:
2.8333 = 1.1667 – 4

1.נמצא את משוואת המשיק:
על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x = -3 בפונקציה.
3-  =  f(-3)  =  -(-3)² – 4*-3 – 6  =  -9 + 12 – 6
לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (-3 , – 3)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ‘ (x) = -2x – 4
נציב את x = – 3 בנגזרת הפונקציה:
f ‘ (-3) = 6 – 4 = 2
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק :
(y-y₀ = m*(x-x₀ ,
כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.

נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
((y – (-3) = 2*(x – (-3
y + 3  = 2x + 6
y = 2x + 3

2. חישוב השטח הכלוא:
לאחר שמצאנו את משוואת הישר המשיק, נחשב את השטח הכלוא.
ניתן לראות לפי השרטוט שמדובר בשני שטחים מעט שונים:
א. שטח שחסום ע”י הפונקציה.
ב. שטח בין הפונקציה למשיק.
נחשב כל שטח בנפרד:

א. השטח הכלוא ע”י הפונקציה : (הימני)
השטח כלוא בין הישר x = 0 לבין הישר x = -1.5 (נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x).
לכן השטח נתון ע”י האינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

נחשב את השטח הכלוא: 

נבצע את הפעולות בתוך הסוגריים וגם נפתח את הסוגריים ואז נקבל:

השטח נמצא מתחת לציר x , לכן כצפוי קיבלנו מספר שלילי.
ניקח את המספר בערכו המוחלט כדי לקבל את השטח :
S₁ = 5.625

ב. השטח שכלוא בין הפונקציה למשיק :
1. נקודות החיתוך : השטח אותו נרצה לחשב נמצא בין נקודת ההשקה ,
לבין נקודת החיתוך של המשיק עם ציר x (כי משם והלאה כבר חישבנו את השטח).
כבר מצאנו את נקודות אלה, ולכן :
a = -3 , b = -1.5

2. חישוב השטח הכלוא:
השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:

א. חישוב האינטגרל:

ב. חישוב השטח:

נבצע את הפעולות בתוך הסוגריים וגם נפתח את הסוגריים ואז נקבל:

לכן השטח השני : S₂ = 1.125 .

נחשב את סכום השטחים:
S₁ = 5.625
S₂ = 1.125

S_tottal = 5.625 + 1.125 = 6.75

תשובה: השטח החסום : 6.75.

שרטוט א
מתאים לנוסחה שלמדנו בדף זה.
אנו צריכים לחשב את השטח הנמצא בין שתי פונקציות.

השטח יתקבל על ידי האינטגרל:

שטח זה שווה ל 8 יחידות ריבועיות.

שרטוט ב
זה שרטוט קשה יותר לחישוב.
אם נשתמש בסוג כלשהו של אינטגרל על הפונקציה f(x) = 3x² – 3 בין x = -2 ל x = 2 אז אנו נחשב את השטח הנמצא מעל ציר ה x וגם את השטח הנמצא מתחת לציר ה x ואת זה אנו לא רוצים.

עלינו למצוא דרך אחרת לחשב את השטח.

נשים לב כי השטח המוגבל על ידי הישר y = 9 וציר ה x בין x = -2 ל x = 2  הוא השטח הזה:

ואם נחסר משטח זה את השטח שהפרבולה יוצרת עם ציר ה x בתחומים
x = -2 ועד x = -1
וגם
x = 2 ועד x = 1
(השטחים עליהם החצים מצביעים) אז נקבל את השטח המבוקש.

לכן נחשב את השטח המבוקש בשני שלבים:

1.חישוב השטח המוגבל על ידי הישר y = 9 וציר ה x בין x = -2 ל x = 2

ניתן לחשב שטח זה על ידי האינטגרל:

או על ידי הסתכלות על השטח וראיה שהשטח הוא מלבן שצלעותיו הן 9,4.
36 = 9 * 4

בשלב השני נחסר את השטח שבצדדים על ידי האינטגרל הבא:

אם נציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 8 יחידות ריבועיות.

לסיכום
השטח המבוקש בשרטוט ב מתקבל על ידי:

פחות

סך הכל:
28 = 8 – 36