אינטגרלים: חישוב שטח שחלקו מעל וחלקו מתחת ציר ה x

על מנת לחשב שטח בין פונקציה לציר ה x.
שטח שחלקו נמצא מעל ציר ה x וחלקו נמצא מתחת לציר ה x.

  1. מפצלים את האינטגרל לשני חלקים. החלק שמעל ציר ה x והחלק שמתחת לציר ה x.
  2. מחשבים כל חלק בנפרד, כאשר על החלק שמתחת לציר ה x שמים מינוס לפני האינטגרל או שמים ערך מוחלט.

דוגמה
בגרף הפונקציה f (x) = x +2.
חשבו את השטח הנמצא בין הפונקציה ובין ציר ה x בין x = -6 לבין x = 1.

פתרון
מציאת התחום של השטח מעל ומתחת ציר ה x
נמצא כי נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה x היא:
x + 2 = 0
x = -2

לכן השטח הנמצא מתחת לציר ה x נמצא בתחום
x = -6 ועד x = -2.
והשטח הנמצא מעל ציר ה x מוגבל על ידי התחום:
x = -2  ועד x = 1

חישוב השטחים
את השטח הנמצא מתחת לציר ה x נחשב בעזרת האינטגרל:

את השטח הנמצא מעל ציר ה x נחשב בעזרת האינטגרל.

נחבר את השטחים שקיבלנו ונקבל את השטח כולו.

תרגילים

בחלק זה 2 תרגילים.
בתרגיל אחד נמצא את האינטגרל אך לא נציב מספרים.
את תרגיל 2 נפתור פתרון מלא כולל הצבת מספרים.

תרגיל 1
נתונה הפונקציה f (x) = 3x² – 3.
חשבו את השטח המוגבל בינה לבן ציר ה x בין x = -2 ל x = 1.

פתרון
חישוב התחום של השטח מעל ומתחת ציר ה x
נעשה זאת באמצעות מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
f (x) = 3x² – 3.
3x² – 3 = 0
3x² = 3
x² = 1
x = 1  או x = -1

לכן התחום של השטח מעל ציר ה x הוא:
x = -2 ועד x = -1
התחום של השטח הנמצא מתחת לציר ה x הוא:
x = -1 ועד x = 1

חישוב השטחים
חישוב השטח הנמצא מעל לציר ה x מתקבל על ידי האינטגרל

לאחר שנציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 4 יחידות ריבועיות.

חישוב השטח הנמצא מתחת לאינטגרל מתקבל על ידי:
(שימו לב למינוס הנמצא לפני האינטגרל).

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

לאחר שנציב מספרים נקבל ששטח זה הוא 4 יחידות ריבועיות.

תשובה: סכום השטחים הוא 8 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2
לפונקציה f (x) = x³ – 9x יש 3 נקודות חיתוך עם ציר ה- x.  חשבו את השטח המוגבל בין הפונקציה וציר ה x.

פתרון
בתרגיל זה יש לנו 2 שטחים נפרדים שעלינו לחשב.
הראשון – מעל ציר ה – x.
השני – מתחת לציר ה – x.
לכן נצטרך לחשב כל אחד מהשטחים בנפרד – והתשובה תהיה סכום השטחים.

1. מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה- x.
נציב y =0
נקבל:
x3 – 9x = 0
x*(x2 – 9) = 0
x (x+3)(x-3) = 0
למשוואה זו יש 3 פתרונות:
x1 = 0,  x2 = 3,   x3 = -3

2. מציאת האינטגרל (פונקציה קדומה):

3. חישוב השטחים:

השטח השמאלי נתון על ידי האינטגרל:


השטח הימני נתון על ידי האינטגרל:



כצפוי (מכיוון שהשטח מתחת לציר x), המספר של השטח השני שלילי. לכן ניקח את ערכו המוחלט.

לסיכום :
S1  = 20.25
S2  = 20.25

 תשובה: השטח החסום : 40.5

הדפים בעזרתם למדנו חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים הם:

  1. שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
  2. שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
  3. שטחים בין שתי פונקציות.
  4. שטחים מורכבים.
  5. אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.