מרובע חסום במעגל

בדף זה:

1. נגדיר ונלמד את המשפט על מרובע חסום במעגל.
2. נפתור 7 תרגילים
3. נספח: מציאת רדיוס מעגל חוסם או חסום במרובע

1.הגדרה ומשפט של מרובע חסום במעגל

הגדרה:
מה זה מרובע חסום במעגל? מרובע חסום במעגל הוא מרובע שארבעת קודקודיו נמצאים על המעגל.

משפט:

1. משפט: במרובע החסום במעגל סכום הזוויות הנגדיות במרובע שווה ל 180.
2. המשפט ההפוך: אם סכום זוויות נגדיות במרובע שווה ל 180 ניתן לחסום את המרובע במעגל.

שימו לב שמרובע חסום במעגל רק אם 4 הקודקודים שלו נמצאים על המעגל.
דוגמה למרובע שאינו חסום במעגל הוא המרובע AECD שבשרטוט.

2.חישוב רדיוס של מרובע חסום במעגל

3.הקשר שבין זוויות היקפיות הנשענות על מיתר משני הצדדים

4.מלבן חסום במעגל

5.תרגילים

לשלושת התרגילים פתרון כתוב ופתרון וידאו. פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1: האם ניתן לחסום במעגל את המרובעים הבאים?

האם ניתן לחסום את המרובעים הללו במעגל?

1. ניתן. משום שעל פי סכום זוויות במשולש DAB ניתן למצוא שזווית A שווה ל 80. ואז A+C=180.
2. לא ניתן. כי זווית DCA =60 ואז זווית C=80.  וגם A+C=190. לכן לא ניתן לחסום.

פתרון וידאו

תרגיל 2: הוכחה שטרפז החסום במעגל חייב להיות שווה שוקיים

נתון טרפז החסום במעגל. הוכיחו כי הטרפז שווה שוקיים.

פתרון

1. מעבירים אלכסון BD.
2. זווית 1 = זווית 2 – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3. CD=AB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
   כלומר הטרפז שווה שוקיים.

פתרון וידאו

הוכחה בדרך שנייה (ללא בניית עזר)
נגדיר:
BAD = x∠
לכן:
ABC = 180 – x∠    זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות.
DCB = 180 – x∠  במרובע זוויות נגדיות משלימות ל 180 מעלות.
נובע מכך:
ABC = ∠DCB∠

טרפז ABCD הוא שווה שוקיים כי אם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הטרפז שווה שוקיים.

תרגיל 3
המרובע ABCD חסום במעגל (המרובע הוא לא טרפז).
AD= DC
DAC = 20∠
חשבו את זוויות B ו D.

פתרון
במשולש ADC:
DCA = 20  (מול צלעות שוות נמצאות זוויות שוות).
ADC = 140  (משלימה ל 180 מעלות במשולש)

ABC = 40 זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל משלימות ל 180 מעלות.

תרגיל 4
מהנקודה A שמחוץ למעגל מעבירים את שני החותכים AB,AC.
הוכיחו כי:
ABC ∼ AED

פתרון
נגדיר:
ABC = x
לכן:
DEC = 180 – x  (זוויות נגדיות במרובע החוסם מעגל).

AED = x  זווית צמודה.
BAC  היא זווית משותפת לשני המשולשים.
לכן:
ABC ∼ AED  דמיון משולשים על פי ז.ז.

תרגיל 5
AB,AD הם שני משיקים למעגל.
BAD = 50∠.
מצאו את הזווית המסומנת ב a בשרטוט הבא.

רמז לפתרון: על מנת לפתור את התרגיל עליכם להעביר את הרדיוסים OB, OD ואז להסתכל על מרובע ABOD.

פתרון
נעביר את הרדיוסים OB,OD.
הזוויות שהם יוצרים עם המשיקים הן 90 מעלות (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
במרובע ABOD על פי סכום זוויות במרובע:

BOD = 360 – 90 – 90 – 50 = 130

BCD = 0.5BOD = 65   זווית היקפית שווה למחצית המרכזית המשענות על אותה קשת.
(מצאנו את המבוקש).

תרגיל 6
AB,AD הם שני משיקים למעגל.
BAD = 50∠.
מצאו את הזווית המסומנת ב a בשרטוט הבא.

פתרון
נעביר את הרדיוסים OB, OD.
הזוויות שהם יוצרים עם המשיקים הן 90 מעלות (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
במרובע ABOD על פי סכום זוויות במרובע:

BOD = 360 – 90 – 90 – 50 = 130

נשלים את מרובע BECD (מצורף שרטוט).
BEC = 65  זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.
BCD = 180 – 65 = 115 במרובע החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180 מעלות.

תרגיל 7
שני מעגלים נחתכים בנקודת E ו F. מהנקודה A שעל מעגל 1 מעבירים ישר דרך הנקודה E אל הנקודה B שעל המעגל השני.
מהנקודה D שעל מעגל 1 מעבירים דרך הנקודה F ישר אל הנקודה C שעל המעגל השני.
הוכיחו כי הישר AD מקביל ל BC.

פתרון

1. נגדיר EBC=a∠
2. EFC = 180-a∠ במרובע BEFC החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
3. EFD = a∠ סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
4. EFD = 180-a∠  במרובע AEFD החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
5. הישר AD מקביל ל BC – אם זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות אז הישרים מקבילים.
   (הזוויות החד צדדיות הן EFD = 180-a∠ ו EBC=a∠)

פתרון וידאו

עוד באתר:

• מרובע חוסם מעגל.
• מעגל משפטים – משפטי מעגל לבחינת הבגרות.
• מעגל – הדף המרכזי על הצורה עם קישורים לדפים רבים.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.