מציאת שיפוע ישר

יש 4 דרכים למצוא שיפוע של ישר ואלו גם ארבעת החלקים של הדף:

1. למצוא שיפוע על פי שתי נקודות.
2. למצוא שיפוע בעזרת ישרים מקבילים.
3. למצוא שיפוע בעזרת ישרים ניצבים (באותו קישור שלמעלה).
4. מציאת שיפוע ישר על פי גרף.
5. נספח: זיהוי של שיפוע במשוואת ישר.

כל אחד מחלקי הדף כולל הסברים מילוליים, הסברים בוידאו ותרגילים.

לאחר שתדעו למצוא שיפוע עליכם לדעת לבנות משוואת ישר בעזרת השיפוע, מידע מפורט מאוד בקישור.

בסוף הדף יש נספח המלמד לזהות את שיפוע הישר במשוואת הישר.

סרטונים מסכמים

1.מציאת שיפוע על פי שתי נקודות

אם הנקודה A היא (x₁,y₁) והנקודה B היא  (x₂,y₂) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

המשוואה הזו בעצם אומרת שאם נתונות לנו שתי נקודות אז השיפוע העובר דרכן שווה להפרש ערכי ה Y של הנקודות לחלק בהפרש ערכי ה X של הנקודות.

חשוב להקפיד שאם בחרנו לחסר את נקודה B מנקודה A נעשה זאת בסדר הזה גם במונה וגם במכנה.
שגיאה תהיה לחסר במונה את B מנקודה A ובמכנה להחליף ולחסר את A מנקודה B.

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות

תרגיל 1
מצאו את:
1.שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (4, 2)A   ו   (3-, 1)B.
2. את משוואת הישר העובר דרך הנקודות הללו.

פתרון
מציאת השיפוע.
נציב את ערכי הנקודות A ו  B בנוסחה:

ונקבל:

מציאת משוואת הישר.
נמצא את משוואת הישר על פי m = 7 ואחת מהנקודות שיש לנו.
אני אבחר בנקודה (4, 2)A אבל ניתן לבחור גם ב B.
נציב בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y-y₁=m(x-x₁
(y – 4 = 7 (x – 2
y – 4 = 7x – 14   / +4
y = 7x -10  (זו משוואת הישר)

אם היינו צריכים לשרטט את הישר ושתי הנקודות זה היה נראה כך:

תרגיל 2
מצאו את:
1.שיפוע הישר העובר דרך הנקודות (4-,  1-)A  ו  (2-, 0)B.
2. משוואת הישר העובר דרך הנקודות הללו.

פתרון
מציאת השיפוע.
נציב את ערכי הנקודות A ו  B בנוסחה:

ונקבל:

מציאת משוואת הישר
נציב m = 2 ואת ערכי הנקודה  (2-, 0)B בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y-y₁=m(x-x₁
(y – (-2) = 2 (x – 0
y + 2 = 2x   / -2
y = 2x – 2  (זו משוואת הישר).

אם היינו צריכים לשרטט את משוואת הישר ושתי הנקודות היא הייתה נראית כך.

• מציאת שיפוע על פי 2 נקודות מידע נוסף.

2.מציאת שיפוע על פי ישרים מקבילים

לישרים מקבלים יש שיפועים זהים.
מה השיפוע של הישר המקביל לישר y=2x-7?
השיפוע הוא 2.
הערה: יש אינסוף ישרים אשר השיפוע שלהם הוא 2 והם מקבילים לישר y=2x-7. בגרף המצורף מטה נבחר כדוגמה y=2x+1.

• תרגילים נוספים מציאת משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או ניצבים.

3. מציאת שיפוע על פי ניצבות

מכפלת השיפועים של ישרים ניצבים היא 1-.
אם שיפוע של ישר הוא 5 אז שיפוע הישר הניצב לו הוא 1/5-. (כי 5 * 0.2 – = 1-).
אם שיפוע של ישר הוא 1/2- אז שיפוע הישר הניצב הוא 2. (כי 2  * 0.5 –  = 1 – ).
אם משוואת ישר היא y= – x+2 אז שיפוע הישר הניב אליו הוא 1. (כי 1-  *  1 = 1-).

תרגילים

תרגיל 1
הישר L מקביל לישר y =-3x +1.
1.מצאו את שיפוע הישר L.
2. הישר L עובר בנקודה 1,1. מצאו את משוואת הישר L.

פתרון
סעיף 1: מציאת השיפוע
השיפוע של הישר y =-3x +1 הוא 3-.
לישרים מקבילים שיפועים שווים ולכן שיפוע הישר L הוא 3-.

סעיף 2: מציאת משוואת הישר L
השיפוע של הישר L הוא 3- והוא עובר בנקודה 1,1
נציב זאת בנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
(y-y₁=m(x-x₁
 (y -1 = -3 (x – 1
y – 1 = -3x + 3  / +1
y = -3x + 4
תשובה: משוואת הישר L היא y = -3x + 4.

תרגיל 2
הישר L ניצב לישר y = 2x.
1. .מצאו את שיפוע הישר L.
2. הישר L עובר דרך נקודת החיתוך של הישרים y = 4x +1  ו  y = -2x +10.
מצאו את משוואת הישר L.

פתרון
סעיף 1: מציאת השיפוע.
השיפוע של הישר y = 2x הוא 2.
נניח כי השיפוע של ישר L הוא m.
מכוון שמכפלת ישרים ניצבים היא 1-.
אז המשוואה שלנו היא:
2m = -1
2m = -1  / :2
m = -0.5
שיפוע הישר L הוא 0.5-.

סעיף 2: מציאת משוואת הישר L.
עבור הישר L יש לנו שיפוע 0.5-, אבל אין לנו נקודה.
הנקודה שאנו מחפשים היא נקודת החיתוך של הישרים y = 4x +1  ו  y = -2x +10
הסבר למציאת נקודת חיתוך בין ישרים תוכלו למצוא בקישור.
נמצא את נקודת החיתוך על ידי השוואת המשוואות:
4x +1 = -2x + 10
4x +1 = -2x + 10  / +2x -1
6x = 9  / :6
x = 1.5

מצאנו את ערך ה x של נקודת החיתוך.
נציב x = 1.5 במשוואת אחד הישרים ונמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y = 4x +1
y = 4 *1.5 +1 = 7

השלב הבא
מצאנו ששיפוע הישר L הוא 0.5- ושהוא עובר בנקודה 7, 1.5.
נציב את הנתונים הללו בנוסחה למציאת משוואת ישר.
(y-y₁=m(x-x₁
(y – 7 = -0.5 (x – 1.5
y – 7 = -0.5x + 0.75  / +7
y = -0.5x + 7.75
תשובה: משוואת הישר L היא y = -0.5x + 7.75.

4.מציאת משוואת ישר על פי גרף

דוגמה 1
מצאו את משוואת הישר על פי הגרף שלמטה.

פתרון
נאתר שתי נקודות שקל לראות את הערכים שלהן על הגרף.
אני בחרתי את אלו אבל אתם יכולים לבחור נקודות אחרות.

הנקודות הן:
(A(1,2)   B(2,5
נמצא את שיפוע הישר על פי שתי הנקודות הללו:

נמצא משוואת ישר על פי שיפוע m = 3 ונקודה (1,2)

נציב את הנתונים הללו במשוואה
y = mx + n
2 = 3 * 1 + n
2 =3 + n
-1 = n

n = – 1, m = 3
נציב במשוואת הישר ונקבל:
y = mx + n
y = 3x -1
זו משוואת הישר המבוקשת.

 

עוד באתר:

• מציאת משוואת ישר – לרוב מציאת השיפוע היא רק החלק הראשון בתרגיל שלכם והחלק השני הוא מציאת משוואת הישר. בקישור תמצאו הסברים ותרגילים כיצד למצוא משוואת ישר.
• מתמטיקה לכיתה ט – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

5.נספח: זיהוי של שיפוע במשוואת הישר