שתי משוואות עם שני נעלמים

בדף זה סיכום העובר על עיקרי הדברים בנושא שתי משוואות עם שני נעלמים.

עבור מנויים יש חלקים שהם מעבר לעיקר החומר ושיעורים מפורטים יותר בכל אחד מהנושאים.

שני החלקים שהם חשובים בהרבה מכל השאר הם:

• שיטת ההצבה.
• שיטת השוואת מקדמים.

1.הקדמה: מה הוא פתרון?

פתרון של משוואה עם נעלם אחד הוא מספר שכאשר מצבים אותו במשוואה אנו מקבלים ביטוי נכון.

למשל עבור המשוואה:

x + 4 = 7

הפתרון הוא x = 3.

וכאשר נציב x = 3 במשוואה נקבל משהוא נכון:

3 + 4 = 7

7 = 7

אותו דבר כאשר יש שתי משוואות עם שני נעלמים כמו:

2x + 3y = 7

x – 2y = 0

הפתרון הוא צמד מספרים שכאשר נציב אותם בכל אחד מהמשוואות נקבל ביטוי נכון:

במקרה זה:

x = 2

y = 1

הם הערכים שנותנים פתרון נכון בשתי המשוואות:

במשוואה הראשונה

2x + 3y = 7

2 * 2 + 3 * 1 = 7

7 = 7

במשוואה השנייה

x – 2y = 0

2 – 2 * 1 = 0

0 = 0

דרך הפתרון

דרך הפתרון של שתי משוואות עם שני נעלמים היא להפוך את שתי המשוואות למשוואה אחת עם נעלם אחד.

יש שתי שיטות לעשות זאת:

1. שיטת ההצבה.
2. שיטת השוואת מקדמים.

והם יוסברו בחלקים הבאים.

• מה הוא פתרון? (הרחבה).

2.שיטת ההצבה 

בשיטת ההצבה הפתרון נעשה בשלושה שלבים:

1.מבודדים את אחד המשתנים.
נעשה זאת על המשתנה שהכי קל לבודד.

2.נציב את המשתנה המבודד במשוואה השנייה ונפתור, כך נמצא את המשתנה הראשון.

3.נציב את הפתרון בביטוי המבודד – וכך נמצא את המשתנה השני.

דוגמה 1

y = 2x – 4

2x – 3y = -8

דוגמה 2

4y + 2x = 20

5x – 2y = -10

דוגמה 3

6x – 3y = – 21

4y – 5x = 28

הרחבה: איזה משתנה נוח לבודד בשיטת ההצבה

• שיטת ההצבה מידע נוסף.

3.שיטת השוואת מקדמים

בשיטת השוואת מקדמים נחבר או נחסר משוואות על מנת ליצור משוואה עם נעלם אחד.

כלומר המטרה שלנו היא שאחד המשתנים “יעלם” לאחר הפעולה שנבצע.

נדבר על שלושה מצבים:

1.כאשר יש משוואות בהם אחד המקדמים הוא עם סימן הפוך:

3x – 4y = 5
x + 4y = 7

אז אנו נחבר את המשוואות ונקבל משוואה עם נעלם אחד.

כי חיבור יצור את הפעולה:

4y – 4y = 0

כך:

3x – 4y + x + 4y = 5 + 7

4x = 12  / :4

x = 3

לאחר שמצאנו את x = 3  נציב את זה באחת משתי המשוואות

3x – 4y = 5

x + 4y = 7

ונקבל את y.

4y + 3 = 7  / -3
4y = 4  / :4
y = 1

2.כאשר יש לנו שתי משוואות שהמקדמים שלהם זהים.

6y + 3x = 13.5
2y + 3x = 5.5

אז נחסר את המשוואות ונקבל משוואה עם נעלם אחד, כי:

3x – (+3x) = 0

כך:

6y + 3x – (2y + 3x) = 13.5 – 5.5

4y = 8
y = 2

ולאחר שמצאנו את y נציב באחת המשוואות המקוריות ונמצא את x.

3.כאשר המקדמים לא שווים ולא מנוגדים צריך להכפיל את את המשוואות על מנת לקבל מקדמים זהים או הפוכים

דוגמה 1
x + 2y = 10
3x – 5y = 1

במקרה זה על מנת לקבל מקדמים זהים נכפיל את המשוואה הראשונה פי 3 ונקבל:

3x + 6y = 30

ועכשיו נוכל לחסר את המשוואות על מנת לקבל משוואה עם נעלם אחד.

דוגמה 2
2x – 2y = 4
5x + 3y = -2

במקרה זה נכפיל את המשוואה הראשונה פי 3 ואת המשוואה השנייה פי 2 ונקבל:

6x – 6y = 12
10x + 6y = -4

ועכשיו נוכל לחבר את המשוואות על מנת לקבל משוואה עם נעלם אחד.

דוגמה 1: צריך לכפול רק משוואה אחת

6x – 2y = 24

x + 5y = 4

דוגמה 2: יש להכפיל את שתי המשוואות

4x + 3y = -11

3x – 2y = -4

דוגמה 3: יש לסדר את המשוואות

(הערה: “סידור משוואות” היא לא פעולה הכרחית מבחינת מתמטית כי ניתן להכפיל ולאחר מיכן לחסר משוואות גם כשהם במצב הנוכחי אבל רבים נוהגים “לסדר משוואות” על מנת למנוע בלבול)

3x = 5y + 5

2y = 4x – 16

הרחבה: כיצד נוח לפתור בשיטת השוואת מקדמים

• השוואת מקדמים – תרגילים נוספים.

4.מספר הפתרונות של שתי משוואות עם שני נעלמים

לשתי משוואות עם שני נעלמים יש 3 אפשרויות פתרון:

1. פתרון יחיד (המקרה הנפוץ).
2. אינסוף פתרונות.
3. אף פתרון.

אלו 3 האפשרויות היחידות ולא ניתן לקבל אפשרות נוספת שהיא “באמצע”. למשל אין מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים שיש לה שני פתרונות.

איך נראה מצב של אינסוף פתרונות?

כאשר נפתור תרגיל ונקבל בסוף ביטוי שהוא תמיד נכון כמו:

2 = 2

אז זה אומר שיש מצב של אינסוף פתרונות.

בגרף:
אין סוף פתרונות הם שני ישרים מתלכדים שיש להם אינסוף נקודות משותפות (וכל נקודה משותפת היא פתרון).

 

איך נראה מצב של אף פתרון?

בסוף הפתרון נקבל משהוא שהוא לא כולל משתנים, אלא כולל רק מספרים והוא אף פעם לא נכון.

למשל:
0 = 2

זה אף לא נכון וזה מייצג מצב שאין אף פתרון.

בגרף מצב של אין פתרון מיוצג על ידי ישרים מקבילים.

(ישרים מקבילים אף פעם לא נפגשים).

אמרנו שפתרון מיוצג על ידי נקודת פגישה. לכן אין פתרונות מיוצג על ידי 0 נקודות פגישה.

• אינסוף פתרונות או אף פתרון.

5.פתרון גרפי של שתי משוואות עם שני נעלמים

• פתרון גרפי שתי משוואות עם שני נעלמים.

בתחילת הדף אמרנו שפתרון של שתי משוואות עם שני נעלמים אלו ערכי x,y שניתן להציב במשוואות ונקבל “משוואה נכונה” כמו:

7 = 7

למשל עבור המשוואות:

x + 2y = 5
y – 2x = 0

הפתרון הוא:

x = 1

y = 2

ולפתרון הזה יש גם משמעות גרפית – הוא נקודת החיתוך של הישרים.

נסביר

1.את כל אחת מהמשוואות ניתן “לסדר” כמשוואת ישר.

x + 2y = 5    ⇒  y = -0.5x + 2.5

y – 2x = 0     ⇒  y = 2x

2.את כל אחת מהישרים הללו ניתן לשרטט במערכת צירים.

וכל נקודה שנמצאת על ישר היא פתרון של משוואת הישר.

למשל הנקודה:

B(2,4)
(בשרטוט)

שנמצאת על y = 2x היא פתרון של משוואה זו.

ומכוון שהנקודה C(1,2) נמצאת על שני הישרים היא הפתרון של שתי המשוואות.

 

דוגמה

שני הגרפים הבאים מתארים את שתי המשוואות הבאות:

y – 3x = 0

y – 2x = 2

קבעו בעזרת התבוננות בגרף מה הפתרון של שתי המשוואות:

לסיכום עליכם להבין את שני השלבים ההגיוניים הללו:

1. כאשר משרטטים גרף למשוואה כל הנקודות הנמצאות על הגרף הן פתרונות של המשוואה ששורטטה.
2. אם נקודה נמצאת על גרפים של שני ישרים היא “פתרון נכון” של שתי המשוואות (וזה הפתרון שאנו מחפשים).

עד כאן עברנו על עיקר החומר בנושא שתי משוואות עם שני נעלמים.

החלקים הבאים של:

1. משוואות לא מסודרות
2. שיטת ההצבה לעומת שיטת השוואת מקדמים.
3. תרגילים מסכמים עם פתרונות מלאים.

מיועדים למנויים.

רכישת מנוי מתבצעת דרך הדפים הבאים:

• רכישת מנוי לכיתה ח.
• רכישת מנוי לכל תכני האתר.