פונקציה רציונלית אסימפטוטות

בנושא פונקציה רציונלית אנו נתקלים במושג חדש: אסימפטוטות.

בדפים:

1. אסימפטוטה אנכית
2.  אסימפטוטה אופקית.

אנו לומדים את הנושא בצורה מפורטת ולמי שהנושא חדש מומלץ שילמד משם.

כאן הלימוד הוא קצר יותר ומחולק כך:

1. אסימפטוטה אנכית.
2.  אסימפטוטה אופקית.
3. תרגילים.

1.אסימפטוטות אנכיות

לפונקציה רציונלית יש אסימפטוטות אנכיות  (מקבילות לציר ה- Y ) כאשר המכנה מתאפס והמונה לא.
לכן שלבי מציאת האיסמפטוטה האנכית הם:

1. מציאת הערכים המאפסים את המכנה.
2. בדיקה אם הערכים הללו מאפסים גם את המונה. אם לא אז יש אסימפטוטה.
3. אם אנו צריכים לשרטט את גרף הפונקציה עלינו לבדוק אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף עבור הערכים הללו.

2.אסימפטוטות אופקיות

אסימפטוטת אופקיות (מקבילות לציר ה- X)  נמצאות אם כאשר ערך ה- X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף אז ערך הפונקציה שואף למספר.

קיומן של אסימפטוטת אופקיות תלוי במיקום חזקת המשתנה הגדולה ביותר של הפונקציה.

1. כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במונה הפונקציה תשאף לאינסוף או מינוס אינסוף כאשר x שואף לאינסוף. לכן במקרה זה אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.
2. כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במכנה האסימפטוטה תהיה y = 0.
3. כאשר החזקה הגדולה ביותר שווה במונה ובמכנה האסימפטוטה תהיה המנה של שניהם.

דגש: בכול המקומות בהם כתוב “בחזקה הגדולה ביותר” הכוונה היא לחזקה הגדולה ביותר על המשתנה.

כמו כן כאשר מוסיפים לפונקציה מספר לצד הביטוי המרכזי ערך האסימפטוטה משתנה.

עבור הפונקציה הזו האסימפטוטה היא y = 3.

כי:

ועבור הפונקציה הזו האסימפטוטה היא y = 5.

בדף זה 3 תרגילים. התרגיל השלישי הוא עם פרמטרים.

• דף פונקציה רציונלית כולל נושאים נוספים בחקירת הפונקציה.

3.תרגילים

בחלק זה 5 תרגילים.

תרגיל 1

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
בנקודות x = ± 2 המכנה מתאפס, והמונה הינו מספר שאינו אפס.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן כאשר x שואף ל – ±2 , יתקבלו אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.
לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל : 2/1- , כלומר ל: 2-.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.

לסיכום:
אסימפטוטות אנכיות : x = 2 , x = -2.
אסימפטוטה אופקית : y = -2

תרגיל 2

פתרון

אסימפטוטות אנכיות :
אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
נבדוק עבור אילו ערכי x המכנה  מתאפס:
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.
2x² – 9x + 10 = 0

לכן : x₁ = 2.5 , x₂ = 2

כאשר x שואף לאחד מן הערכים הללו, המכנה שואף ל – 0, והמונה שואף למספר קבוע שאינו 0.
כלומר, הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן כאשר x שואף ל- 2 או ל – 2.5 , יתקבלו אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות:
אסימפטוטות אופקיות יתקבלו כאשר הפונקציה שואפת לערך מסוים,
כאשר x שואף לאינסוף (או מינוס אינסוף).
*כאשר x שואף לאינסוף : בחישוב הגבול נתייחס רק למקדמים של  x² , כי הוא הגורם המשפיע.
לכן במקרה זה הפונקציה תשאף ל : 1/2.
*כאשר x שואף למינוס אינסוף תתקבל אותה אסימפטוטה.

לסיכום:
אסימפטוטות אנכיות : x = 2 , x = 2.5.
אסימפטוטה אופקית : y = 1/2

תרגיל 3
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה

פתרון
על מנת למצוא את האסימפטוטה האופקית עלינו למצוא את ערך הפונקציה (ערך ה y) כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

על מנת לעשות נסתכל על שני הביטויים שמרכיבים את הפונקציה ונראה למה הם שואפים כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

השבר
כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ערך השבר שואף ל 3.

המספר 2
המספר 2 מוסיף 2 לערך הפונקציה כאשר x = ± ∞

לכן באינסוף או במינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

3 + 2 = 5

ו y= 5 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

תרגיל 4 (פרמטרים)

האסימפטוטה האופקית של הפונקציה הבאה היא y = -7.
מצאו את הפרמטר a.

פתרון
מה הוא ערך הפונקציה כאשר x שואף ל ∞± ?

ערך הפונקציה מורכב מערך השבר ומהערך של a.

נמצא את ערך השבר כאשר x שואף ל ∞±

השבר שואף ל 3 כאשר x שואף ל ∞±.

לכן הפונקציה כולה שואפת ב x שואף ל ∞± ל:

3 + a

כמו כן האסימפטוטה האופקית היא y = -7.

לכן המשוואה היא:

3 + a = -7
a = -10

תשובה: a = -10.

 

תרגיל 5 (פרמטרים)

הישרים x = 1 ו- x = 2 הם אסימפטוטת אנכיות של הפונקציה

מצאו את a ו- b.

פתרון:

אסימפטוטות אנכיות מתקבלות כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).
כלומר, כאשר המכנה שואף ל – 0 , והמונה שואף למספר קבוע שאינו 0.
נתון כי הישרים x = 1 ו- x = 2 הם אסימפטוטת אנכיות של הפונקציה.
לכן המכנה צריך להתאפס כאשר x = 1  וכאשר  x = 2.
(נשים לב כי המונה אינו מתאפס עבור ערכי ה – x הנ”ל).
לכן נציב במכנה x = 1 , x = 2 , ונשווה ל – 0 .
נקבל 2 משוואות עם 2 נעלמים ( a ו – b).
x = 1:
a*1² + b*1 + 2 = 0
a + b + 2 = 0
b = -a -2

x = 2:
a*2² + b*2 + 2 = 0
4a + 2b + 2 = 0
נציב:  b = -a -2.
4a + 2*(-a -2) + 2 = 0
4a -2a -4 +2 = 0
2a – 2 = 0
2a = 2
a = 1

כדי למצוא את b ניזכר שכבר מצאנו כי : b = -a -2.
נציב a = 1. נקבל:
b = -1-2
b = -3.

גרף הפונקציה :      

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
• פונקציות נוספות.