גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

בדף זה נלמד על הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת ברמת 4 יחידות.

נניח שיש לנו פונקציה  f (x) = x².
ניתן לשרטט לפונקציה גרף.

לפונקציה יש נגזרת f ‘ (x) = 2x.
וגם לנגזרת ניתן לשרטט גרף.

בדף זה נלמד על הקשר בין גרף הפונקציה וגרף הנגזרת ברמת 4 יחידות מבלי שיתנו לנו את המשוואות של הפונקציה או הנגזרת.
מה שיתנו לנו אלו הגרפים של הפונקציה והנגזרת או רק של אחד מיהם.

החלקים של דף זה הם:

1. סיכום וידאו.
2. סיכום כתוב של 4 הדברים שצריך לדעת.
3. דוגמה מפורטת והסבר ל- 4 הדברים.
4. דוגמאות לסוגי תרגילים שונים.
5. תרגילים.

הערה, עלינו לזכור כי יש הבדל בין נקודת מקסימום לנקודת מינימום:

• בנקודת מינימום הפונקציה f(x) עוברת מירידה לעליה.
• בנקודת מקסימום הפונקציה f(x) עוברת מעליה לירידה.

ההבנה הזו מאוד תעזור להבין את הדף.

1.הסבר וידאו

2.סיכום ארבע דברים שאתם צריכים להבין ולזכור

אלו ארבעת הדברים שאתם צריכים להבין ולזכור.
אם תדעו אותם תוכלו לענות על שאלות:

1.נקודת קיצון בפונקציה היא נקודת חיתוך עם ציר ה x בגרף הנגזרת

כי בנקודת הקיצון של הפונקציה ערך הנגזרת הוא 0.

ולהיפך: כאשר הנגזרת f ‘ (x) חותכת את ציר ה x לפונקציה f(x) יש קיצון.

דוגמה בשרטוט הבא:
שבו כאשר לגרף הפונקציה f(x) (באדום) יש קיצון (בנקודה x = 0).
אז לגרף הנגזרת f ‘ (x) (בשחור) יש חיתוך עם ציר ה x.

 

2.עליה בפונקציה ⇐ גרף הנגזרת חיובי.
ירידה בפונקציה ⇐ גרף הנגזרת שלילי.

ולהיפך:
גרף נגזרת חיובי ⇐ עליה של הפונקציה.
גרף נגזרת שלילי ⇐ ירידה של הפונקציה.

זה משהו שאנחנו כבר מכירים מהטבלאות שבעזרתם בודקים נקודת קיצון.

בשרטוט שלמעלה ניתן לראות שכאשר הנגזרת חיובית ב (x > 0) אז הפונקציה עולה.

3.כאשר גרף הנגזרת f ‘ (x) משיק (ולא חותך) את ציר ה x לגרף הפונקציה f(x) אין קיצון

כי הפונקציה לא עוברת מעליה לירידה או מירידה לעלייה משני צדדי הנקודה של הנקודה החשודה כקיצון.

ניזכר בטבלה
אנו זוכרים שאם היינו מקבלים טבלה כזו:

x	4	2	0
f (x)	חיובית	0	חיובית

אז x = 2 לא הייתה קיצון, כי לא היה מעבר בין חיוביות ושליליות.

נראה בגרף

כלומר, אם נתון שהגרף האדום הוא f ‘ (x), אז לפונקציה f(x) יש קיצון ב:
x = -1
וב x = 4 אין קיצון, כי זו נקודת השקה ולא נקודת חיתוך עם ציר ה x.

4.ההבדל בין נקודת מינימום לנקודת מקסימום

בנקודת מינימום של הפונקציה גרף הנגזרת עובר משליליות לחיוביות.

ולעומת זאת:

בנקודת מקסימום גרף הנגזרת עובר מחיוביות לשליליות.

ניזכר בטבלה
אנו זוכרים זאת מהטבלאות שאנו עושים כדי למצוא את סוג הקיצון.

אם x = 1, x = 3
הם נקודת החשודות כקיצון, וקיבלנו טבלה הנראית כך:

x	4	3	2	1	0
f ‘ (x)	חיוביות	0	שליליות	0	חיוביות

אז:
x = 1 היא מקסימום.
x = 3 היא מינימום.

ובגרף
הגרף השחור הוא גרף הנגזרת.
וכאשר ב x = 1 הוא עובר מחיוביות לשליליות לפונקציה יש מקסימום.

וכאשר ב x = 3 הוא עובר משליליות לחיוביות אז יש לפונקציה מינימום.

טיפ: כיצד לזכור את הדברים

הנושא של גרף הפונקציה וגרף הנגזרת נחשב נושא קשה.

בעיניי אחת הסיבות לכך היא שיש צורך ללמוד דברים בעל פה.

הדברים שנלמדים כאן ניתנים להבנה, אבל יש להוסיף לכך שינון.

ויש לי הצעה כיצד לזכור:

זכרו את הביטויים הבאים:

קיצון.
עלייה וירידה.
מקסימום לעומת מינימום.

אלו הדברים שיש להסתכל עליהם בגרף הפונקציה.

והאם אתם מבינים מה המשמעות שלהם בנגזרת?

f(x)	f ‘ (x)
קיצון	חיתוך עם ציר ה x. השקה לציר ה x לא מספיקה לקיצון.
עלייה וירידה	כשהפונקציה עולה הנגזרת חיובית (מעל ציר ה x) כשהפונקציה יורדת הנגזרת שלילית (מתחת ציר ה x).
מקסימום לעומת מינימום	במקסימום הנגזרת חיובית ואז שלילית. במינימום הנגזרת שלילית ואז חיובית.

ברגע שאתם יודעים לבנות את הטבלה בעצמכם אז כנראה שאתם יודעים את התיאוריה.

ההמלצה שלי היא לשנן את המילים: קיצון, עליה וירידה, מקסימום לעומת מינימום.
לרשום את הדברים הללו בטבלה.
ואז בעזרת ידע / הבנה להשלים את מה שאמור להופיע בצד של הנגזרת.

3.הסבר ודוגמה מפורטת לארבעת הדברים

נסביר את ארבעת הדברים הללו על ידי הפונקציה הבאה:

f(x) = x² (באדום)
והנגזרת שלה
f ‘ (x) = 2x  (בשחור)

 

1.נקודת קיצון בפונקציה היא נקודת חיתוך עם ציר ה x בגרף הנגזרת.

בנקודת הקיצון ערך הנגזרת הוא 0:
f ‘ (x) = 0

כאשר f ‘ (x) = 0  זה אומר שהגרף של f ‘ (x) חותך את ציר ה x.

זה כמו כל פונקציה שכאשר y = 0 מתקבלת נקודת חיתוך עם ציר ה x.

וניתן לראות את זה בגרף שלמעלה, כאשר יש קיצון ל f(x)

 

2.עליה בפונקציה ⇐ גרף הנגזרת חיובי.
ירידה בפונקציה ⇐ גרף הנגזרת שלילי.

רובנו זוכרים:
כאשר הפונקציה עולה הנגזרת חיובית.
כאשר הפונקציה יורדת הנגזרת שלילית.

אבל חלק מאיתנו מפספסים את המשמעות הגרפית של “נגזרת חיובית” או “נגזרת שלילית”.

1.כאשר הנגזרת חיובית זה אומר שהגרף שלה נמצא מעל ציר ה x.
כלומר, הגרף צריך להיות ברביע 1 או 2.

2.כאשר הנגזרת שלילית זה אומר שהגרף שלה מתחת לציר ה x.
כלומר, הגרף צריך להיות ברביע 3 או 4.

אם נסתכל בגרף שלמעלה נראה כי:
f (x) עולה כאשר x > 0.
ואכן זה התחום שבו f ‘ (x) חיובי (בתחום הזה הישר השחור מעל ציר ה x).

3.נקודת השקה של גרף הנגזרת עם ציר ה x לא מסמלת נקודת קיצון של הפונקציה.

נניח שהגרף המצורף למטה הוא גרף של פונקציית הנגזרת f ‘ (x).

האם x = 0 היא נקודת קיצון בפונקציה f(x)?

האם x = 4 היא נקודת קיצון בפונקציה f(x)?

עבור x = 0
אנו רואים שהנגזרת שלילית משני צדדי הנקודה.
לכן הפונקציה יורדת מימין ומשמאל ל x = 0.

אם היינו מציגים זאת בטבלה זה היה נראה כך:

ערך x	1	0	1-
ערך הנגזרת	שלילית	0	שלילית

ואנו זוכרים שעל מנת שהנקודה החשודה כקיצון תהיה באמת קיצון הנגזרת צריכה לשנות סימן משני צדדיה מה שלא קורא כאן.

לעומת זאת ב x = 4.
גרף הנגזרת שלילי משמאל וחיובי מימין.
כלומר יורד ואז עולה.

לכן x = 4 זו נקודת מינימום.

בטבלה הסביבה של x = 4 הייתה נראית כך:

ערך x	5	4	3
ערך הנגזרת	חיובית	0	שלילית

 

4.בנקודת מינימום של הפונקציה גרף הנגזרת עובר משליליות לחיוביות.
בנקודת מקסימום גרף הנגזרת עובר מחיוביות לשליליות.

דבר זה הוזכר כבר בפתיחה של הדף.

בכול נקודת המינימום הפנימיות הנגזרת עוברת משליליות (ירידת הפונקציה) לחיוביות (עליית הפונקציה).

בכול נקודת המקסימום הפנימיות הנגזרת עוברת מחיוביות (עליית הפונקציה) לשליליות (ירידת הפונקציה).

ובעזרת התכונה הזו ניתן לזהות בעזרת גרף הנגזרת האם לפונקציה יש מינימום או מקסימום.

דוגמה לשאלה

בשרטוטים הבאים יש את הגרפים של הנגזרות:
f ‘ (x),  g ‘(x)

קבעו עבור הפונקציות:
f (x) ,  g (x)

1. האם יש להם קיצון.
2. ואם יש קיצון האם הוא מינימום או מקסימום.

 

קיצון מתקבל כאשר גרף הנגזרת חותך את ציר ה x.

נבדוק עבור f (x)

הגרף של f ‘ (x) לא חותך את ציר ה x.
לכן ל f (x) אין קיצון.

נבדוק עבור g (x)

בנקודה B הנגזרת עוברת משליליות לחיוביות.
לכן עבור ערך ה x בנקודה B יש לפונקציה נקודת מינימום.

בנקודה C הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות.
לכן עבור ערך ה x בנקודה C יש לפונקציה נקודת מקסימום.

4.דוגמאות לסוגים של תרגילים

5.תרגילים

בחלק זה 7 תרגילים.
בתרגילים 1-3 נתון גרף הפונקציה וצריך להסיק מסקנות על גרף הנגזרת.
בתרגילים 4-7 נתון גרף הנגזרת וצריך להסיק מסקנות על גרף הפונקציה.

תרגיל 1
נתון גרף הפונקציה (f (x

מי מבין הגרפים הבאים יכול להיות גרף הנגזרת.

תרגיל 2
נתון גרף הפונקציה (f (x

1. זהו את הנקודות שבהם f ‘ (x) = 0.
2. זהו את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.
3. שרטטו סקיצה של גרף נגזרת הפונקציה.

תרגיל 3
נתון גרף הפונקציה (f (x שלה נקודת פיתול אחת.

1. זהו את הנקודות שבהם f ‘ (x) = 0.
2. זהו את הנקודה שבה לגרף הנגזרת יש נקודת קיצון.
3. זהו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
4. שרטטו סקיצה של גרף נגזרת הפונקציה.

שאלות בהם נתון גרף הנגזרת

תרגיל 4
בשרטוט גרף הנגזרת (f ‘ (x

1. האם יש לפונקציה (f (x יש נקודות קיצון? ואם כן איזה חלק בגרף מסמן אותם.
2. איך לדעתכם נראה גרף הפונקציה?
3. ידוע f (4) = 2. שרטטו סקיצה של הפונקציה.

תרגיל 5
בשרטוט גרף הנגזרת (f ‘ (x.
לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

1. שרטטו סקיצה אפשרית לגרף הפונקציה.

תרגיל 6
נתון הגרף של (f ‘ (x בתחום של x> -2.5  וגם x < 1 מצאו את:

1. תחומי העליה והירידה של (f (x.
2. ערכי x של נקודות קיצון של (f (x.
3. שרטטו סקיצה של (f (x.
4. שרטטו סקיצה (f ” (x.

פתרון

תרגיל 7
בשרטוט נתון גרף הפונקציה f(x).
ידוע כי g ‘ (x) = f(x).

1. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה g(x) וקבעו אם זו נקודת מינימום או מקסימום?
2. מצאו את משוואת המשיק לפונקציה g(x) בנקודה (3,1) נמצאת על המשיק.

עוד באתר:

• נגזרת – הדף המרכזי בנושא.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

תרגיל מהבגרות 5 יחידות

קיץ 2018 מועד ב

סעיף א
ניתן לראות שכאשר לגרף מספר 2 יש נקודות קיצון כרף מספ1 חותך את ציר ה x.
זה לא כך להיפך.
לכן:
(f ‘ (x  גרף מספר 2.
(f ” (x  גרף מספר 1.

סעיף ב 1: נקודות קיצון
2 נקודות קיצון פנימיות.
משום שהגרף של (f ‘ (x חותך את ציר ה x פעמיים.
שימו לב:
ב x =0  הגרף משיק ולא חותך. וזה לא מתאים לנקודת קיצון.

סעיף ב 2: נקודות פיתול
נקודות פיתול מתקבלות כאשר הנגזרת השנייה שווה ל 0.
וגם הנגזרת השנייה משנה סימן מחיוביות לשליליות או להפך.
גרף מספר 1 שהוא (f ” (x חותך את ציר ה x בדיוק 3 פעמים ולכן יש 3 נקודות פיתול.

סעיף ג
השיפוע הוא מינימלי כאשר (f ” (x  מקבל ערך מינימלי.
ניתן לראות בגרף ש (f ” (x מינימלי ב x= 1 וזו התשובה.

סעיף ד

נבנה את הגרף על פי הכללים הבאים:

1. הפונקציה היא אי זוגית ולכן חייבת לעבור דרך ציר ה x.
2. x = √6  נקודת מינימום.  x = – √6  נקודת מקסימום.

נקודות A,E הם קיצון.
נקודות B,C,D הם פיתול.

סעיף ה: אינטגרלים

סעיף ו
מכוון שהנקודה עוברת בראשית הצירים (בגלל שהיא אי זוגית) ניתן להציב בפונקציה 0,0
a*0⁵ + b * 0³ + c = 0
c = 0

קיבלנו שהפונקציה היא:
f (x) = ax⁵ + bx³
אנו יודעים שכאשר x = √6 לפונקציה יש נקודת קיצון.
f ‘ (x) = 0
זו תהיה המשוואה שלנו.

נגזור ונשווה ל 0.
f ‘ (x) = 5ax⁴ + 3bx² = 0
נציב x = √6
5a * 36 + 3b * 6 = 0
180a + 18b = 0
10a + b = 0
b = -10a
b / a = -10