לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

בדף זה נלמד על הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת ברמת 4 יחידות.

נניח שיש לנו פונקציה  f (x) = x².
ניתן לשרטט לפונקציה גרף.

לפונקציה יש נגזרת f ' (x) = 2x.
וגם לנגזרת ניתן לשרטט גרף.

בדף זה נלמד על הקשר בין גרף הפונקציה וגרף הנגזרת ברמת 4 יחידות מבלי שיתנו לנו את המשוואות של הפונקציה או הנגזרת.
מה שיתנו לנו אלו הגרפים של הפונקציה והנגזרת או רק של אחד מיהם.

החלקים של דף זה הם:

  1. סיכום וידאו.
  2. סיכום כתוב של 4 הדברים שצריך לדעת.
  3. דוגמה מפורטת והסבר ל- 4 הדברים.
  4. דוגמאות לסוגי תרגילים שונים.
  5. תרגילים.

הערה, עלינו לזכור כי יש הבדל בין נקודת מקסימום לנקודת מינימום:

  • בנקודת מינימום הפונקציה f(x) עוברת מירידה לעליה.
  • בנקודת מקסימום הפונקציה f(x) עוברת מעליה לירידה.

ההבנה הזו מאוד תעזור להבין את הדף.

משמאל נקודת מינימום שבה יורדים ואז עולים. מימין נקודת מקסימום שבה עולים ואז יורדים.
משמאל נקודת מינימום שבה יורדים ואז עולים.
מימין נקודת מקסימום שבה עולים ואז יורדים.

1.הסבר וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.סיכום ארבע דברים שאתם צריכים להבין ולזכור

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

3.הסבר ודוגמה מפורטת לארבעת הדברים

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

4.דוגמאות לסוגים של תרגילים

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

5.תרגילים

בחלק זה 7 תרגילים.
בתרגילים 1-3 נתון גרף הפונקציה וצריך להסיק מסקנות על גרף הנגזרת.
בתרגילים 4-7 נתון גרף הנגזרת וצריך להסיק מסקנות על גרף הפונקציה.

תרגיל 1
נתון גרף הפונקציה (f (x

מי מבין הגרפים הבאים יכול להיות גרף הנגזרת.

פתרון התרגיל

הגרף שיכול לתאר את הנגזרת הוא גרף 4.

הסיבה לכך היא שאנו רואים שגרף הפונקציה הוא בעל נקודת קיצון.

מה שאומר שגרף הנגזרת צריך לחתוך את ציר ה x – כי ערך הנגזרת צריך להיות 0 בנקודה.

ואז זה עושים רק גרפים 3 ו 4.

ובנוסף:
משמאל לקיצון גרף הפונקציה יורד ולכן גרף הנגזרת צריך להיות שלילי משמאל לנקודת החיתוך עם ציר ה x.
וזה מתקיים בגרף מספר 4.

תרגיל 2
נתון גרף הפונקציה (f (x

  1. זהו את הנקודות שבהם f ' (x) = 0.
  2. זהו את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.
  3. שרטטו סקיצה של גרף נגזרת הפונקציה.
פתרון סעיף א

סעיף א: f ' (x) = 0
f ' (x) = 0 כאשר לפונקציה יש נקודות קיצון.
נקודות הקיצון מתקבלות כאשר

x = 1,  x = -1

פתרון סעיף ב

סעיף ב: תחומי עלייה וירידה של הפונקציה
ניתן לראות בגרף שהפונקציה עולה כאשר
x < -1  או  x > 1
ולכן בתחום זה הנגזרת חיובית.

הפונקציה יורדת כאשר:

-1 < x < 1

ולכן בתחום זה הנגזרת שלילית.

פתרון סעיף ג

סעיף ג: שרטוט סקיצה של הנגזרת
על מנת לשרטט סקיצה של הנגזרת נשרטט על גרף את נקודות החיתוך של הנגזרת עם ציר ה x שהם (1,0) ו (0, 1-).
ואת התחומים שבהם הנגזרת חיובית או שלילית.

ועכשיו נשרטט את הסקיצה של גרף הנגזרת.

 

תרגיל 3
נתון גרף הפונקציה (f (x שלה נקודת פיתול אחת.

  1. זהו את הנקודות שבהם f ' (x) = 0.
  2. זהו את הנקודה שבה לגרף הנגזרת יש נקודת קיצון.
  3. זהו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
  4. שרטטו סקיצה של גרף נגזרת הפונקציה.
פתרון סעיף א

סעיף א: הנקודות שבהם f ' (x) = 0
לפונקציה יש נקודת קיצון אחת ב x =2.
ובנקודה זו f ' (x) = 0

פתרון סעיף ב

סעיף ב: קיצון לנגזרת
לנגזרת יש קיצון כאשר לפונקציה יש פיתול.
וזה קורה כאשר x = 0.

פתרון סעיף ג

סעיף ג: תחומי עליה וירידה של הפונקציה
הפונקציה יורדת כאשר
x < 2 וגם x ≠ 0
ובתחום זה הנגזרת שלילית.

הפונקציה עולה כאשר
x > 2
ובתחום זה הנגזרת חיובית.

פתרון סעיף ד

סעיף ד: שרטוט גרף הנגזרת
נסמן בגרף את נקודת החיתוך עם ציר ה x
x =2
את תחומי החיוביות והשליליות
ואת נקודת הקיצון x = 0

נשרטט את גרף הפונקציה:

שאלות בהם נתון גרף הנגזרת

תרגיל 4
בשרטוט גרף הנגזרת (f ' (x

  1. האם יש לפונקציה (f (x יש נקודות קיצון? ואם כן איזה חלק בגרף מסמן אותם.
  2. איך לדעתכם נראה גרף הפונקציה?
  3. ידוע f (4) = 2. שרטטו סקיצה של הפונקציה.
פתרון סעיף א

סעיף א: נקודות קיצון
על מנת שלפונקציה תהיה נקודת קיצון הנגזרת צריכה לעבור מחיוביות לשליליות או משליליות לחיוביות (לחתוך את ציר ה x).
הנגזרת הזו אף פעם לא שווה 0, לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

פתרון סעיף ב

סעיף ב: גרף הפונקציה
אנו רואים שלגרף הנגזרת יש ערך קבוע.
נגזרת קבועה זה מתאים לגרף של ישר.

פתרון סעיף ג

סעיף ג: סקיצה של הפונקציה
f (4) = 2.
כלומר הישר עובר בנקודה:
4,2

אנו גם יודעים ששיפוע הישר חיובי, לכן הישר עולה.
אנו לא יודעים בדיוק את השיפוע ולכן יש אינסוף ישרים שניתן לשרטט.

תרגיל 5
בשרטוט גרף הנגזרת (f ' (x.
לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

  1. שרטטו סקיצה אפשרית לגרף הפונקציה.
פתרון התרגיל

אנו רואים שלפונקציה יש נקודת קיצון אחת.
איזה גרף אנו מכירים עם קיצון יחיד? פרבולה.

משמאל לקיצון הנגזרת חיובית, כלומר הפונקציה עולה.
לכן זו פרבולה עם נקודת מקסימום.

כמו כן אנו צריכים גרף שאין לו נקודות חיתוך עם ציר ה x.
הגרף יכול להראות כך:

תרגיל 6
נתון הגרף של (f ' (x בתחום של x> -2.5  וגם x < 1 מצאו את:

גרף הנגזרת (f ' (x
גרף הנגזרת (f ' (x
  1. תחומי העליה והירידה של (f (x.
  2. ערכי x של נקודות קיצון של (f (x.
  3. שרטטו סקיצה של (f (x.
  4. שרטטו סקיצה (f " (x.

פתרון

פתרון סעיף א

סעיף א: תחומי עלייה וירידה
הפונקציה עולה כאשר הנגזרת נמצאת מעל ציר ה x.
לכן עבור x> 0 או x< -2 וגם x> -2.5 הפונקציה עולה.
הפונקציה יורדת עבור x< -2 וגם x< 0.

פתרון סעיף ב

סעיף ב: נקודות קיצון
נקודות קיצון מתקבלות כאשר הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות או להפך.
בגרף זה זה קורה כאשר:

x = -2 וכאשר x = 0.

פתרון סעיף ג

סעיף ג: סקיצה של הפונקציה
על מנת לשרטט סקיצה משרטטים קודם את הנקודות שמצאנו ומוסיפים את החיבור בניהם בהתאם לתחומי העלייה והירידה שמצאנו.

גרף הפונקציה (f (x
גרף הפונקציה (f (x
פתרון סעיף ד

סעיף ד: גרף הנגזרת השנייה
חיוביות שליליות
כאשר  (f ' (x יורדת (f " (x נמצאת מתחת לציר ה x (שלילית).
לכן (f " (x נמצאת מתחת לציר ה x כאשר:
x< -1.

נקודות קיצון
בנקודת הקיצון של (f ' (x הנגזרת השנייה (f " (x חותכת את ציר ה x.
לכן נקודת החיתוך של (f " (x היא x= -1.

גרף הנגזרת השנייה (f '' (x בירוק לעומת גרף הנגזרת הראשונה בכחול
גרף הנגזרת השנייה (f " (x בירוק לעומת גרף הנגזרת הראשונה בכחול

תרגיל 7
בשרטוט נתון גרף הפונקציה f(x).
ידוע כי g ' (x) = f(x).

  1. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה g(x) וקבעו אם זו נקודת מינימום או מקסימום?
  2. מצאו את משוואת המשיק לפונקציה g(x) בנקודה (3,1) נמצאת על המשיק.

פתרון סעיף א

סעיף א: מציאת קיצון

g ' (x) = 0
כאשר x = 0.7, לכן זו הנקודה החשודה כקיצון.

ב x = 0.7 הנגזרת עוברת מחיוביות לשליליות לכן זו נקודת מקסימום.

פתרון סעיף ב

סעיף ב: מציאת משיק
יש לנו נקודה דרכה עובר המשיק.
חסר לנו שיפוע.

הגרף הוא הגרף של g ' (x).
נמצא את הערך של g ' (x) בנקודה ההשקה x = 1.

ערך זה הוא 2-.

לכן שיפוע המשיק הוא 2- והוא עובר בנקודה (1,3).

y = mx + n
3 = -2 * 1 + n
3 = -2 + n
5 = n

משוואת המשיק היא:
y = -2x + 5

עוד באתר:

תרגיל מהבגרות 5 יחידות

קיץ 2018 מועד ב

סעיף א
ניתן לראות שכאשר לגרף מספר 2 יש נקודות קיצון כרף מספ1 חותך את ציר ה x.
זה לא כך להיפך.
לכן:
(f ' (x  גרף מספר 2.
(f " (x  גרף מספר 1.

סעיף ב 1: נקודות קיצון
2 נקודות קיצון פנימיות.
משום שהגרף של (f ' (x חותך את ציר ה x פעמיים.
שימו לב:
ב x =0  הגרף משיק ולא חותך. וזה לא מתאים לנקודת קיצון.

סעיף ב 2: נקודות פיתול
נקודות פיתול מתקבלות כאשר הנגזרת השנייה שווה ל 0.
וגם הנגזרת השנייה משנה סימן מחיוביות לשליליות או להפך.
גרף מספר 1 שהוא (f " (x חותך את ציר ה x בדיוק 3 פעמים ולכן יש 3 נקודות פיתול.

סעיף ג
השיפוע הוא מינימלי כאשר (f " (x  מקבל ערך מינימלי.
ניתן לראות בגרף ש (f " (x מינימלי ב x= 1 וזו התשובה.

סעיף ד

נבנה את הגרף על פי הכללים הבאים:

  1. הפונקציה היא אי זוגית ולכן חייבת לעבור דרך ציר ה x.
  2. x = √6  נקודת מינימום.  x = – √6  נקודת מקסימום.

נקודות A,E הם קיצון.
נקודות B,C,D הם פיתול.

סעיף ה: אינטגרלים

סעיף ו
מכוון שהנקודה עוברת בראשית הצירים (בגלל שהיא אי זוגית) ניתן להציב בפונקציה 0,0
a*05 + b * 03 + c = 0
c = 0

קיבלנו שהפונקציה היא:
f (x) = ax5 + bx3
אנו יודעים שכאשר x = √6 לפונקציה יש נקודת קיצון.
f ' (x) = 0
זו תהיה המשוואה שלנו.

נגזור ונשווה ל 0.
f ' (x) = 5ax4 + 3bx² = 0
נציב x = √6
5a * 36 + 3b * 6 = 0
180a + 18b = 0
10a + b = 0
b = -10a
b / a = -10

50 מחשבות על “הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אין אני יכולה לשרטט את גרף הנגזרת כאשר נתון לי שלפונקציה f(x) אין נקודות קיצון והיא עולה לכל איקס?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה גרף חיובי לכל x.
      יש הרבה גרפים שיכולים להתאים ולכן זו סקיצה ולא גרף מדויק.

  2. התוכן באתר מקסים ועוזר לי מאוד!
    אשמח לתשובה: האם לאסיפטוטות בפונקציה יש השפעה על הנגזרת? אם כן, מהי?
    תודה רבה!

  3. אני מבולבלת מאד – נתון לי שרטוט גרף של נגזרת שניה. היא שלילית עד 0 וחיובית אחרי 0. יש לה 3 נקודות חיתוך עם ציר x.

    לפי האפסים לפונקצית הנגזרת יש 3 נקודות קיצון.
    לפי זה שהנגזרת השניה שלילית עד 0 וחיובית אחריו אני מזהה נקודת קיצון אחת מסוג מינימום.

    תוכל להסביר לי את הטעות בבקשה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה שהיא שלילית עד 0 וחיובית אחרי 0.
      לא מסתדר עם זה שיש 3 נקודות חיתוך עם ציר ה x. אם יש 3 נקודות חיתוך צריכים להיות תחומים נוספים של חיוביות ושליליות.

      1. הפונקציה עולה עד הנקודה (מינוס 2, אפס) ואז יורדת עד הנקודה (מינוס אחת, מספר שלילי) ואז שוב עולה עד ראשית הצירים וממשיכה לעלות עד הנרודה (אחת, 54), ואז יורדת עד (שתים, אפס) –
        סהכ 3 נקודות בהן הפונקציה מתאפסת – מינוס 2, אפס, שתים = 3 נקודות קיצון
        אבל היא עוברת משליליות לחיוביות רק בנקודה אפס אפס
        נדמה לי שזו ההגדרה של נקודת קיצון ולכן יש לפונקציה רק נקודת קיצון אחת, כאשר איקס שווה אפס.
        עכשיו מבקשים ממני למצוא את ערך y כשאומרים לי שהפונקציה של הנגזרת השניה היא אי זוגית, ושהשטח הכלוא בינה לבין ציר x שווה ל-128.
        אני לא מבינה איך אני יכולה להשתמש בנקודה שנתנו לי (אחת, 54) כדי למצוא את ערך y של נקודת הקיצון של הפונקציה הנגזרת (הראשונה).
        תודה לך!

        1. לומדים מתמטיקה

          את שינית את השאלה נוספו אינטגרלים ואי זוגיות.
          זו שאלה שצריך לראות.
          אם את מנויה שלחי את השאלה עם הפתרון שכתבת באימייל או בוואטסאפ ובצירוף שם המנוי.

  4. הסבר מעולה! תודה רבה!
    תוכל רק לבדוק אם בדוגמא שהבאת לכלל השלישי עם הגרף שעובר דרך 0,4
    התכוונת לכתוב ש- x=4 מינימום? (כתוב מקסימום)

  5. שלום.
    מה אני עושה אם יש לי תרגיל כזה:
    לפנייך גרף הפונקציה (f(x בתחום 0-9 .
    נתון גם 4=(f'(0.
    מצא את משוואת המשחק לגרף הפונקציה (f(x בנקודה שבה x=0.
    אני גם אשמח לדעת איך קוראים לנושא הזה כי אני לא מוצאת הסבר בשום מקום (כי אני לא יודעת מה השם של הנושא ^^) בספר שלי זה נכלל תחת הנושא הקשר בין גרף הפונקציה לבין גרף הנגזרת שלה…
    תודה מראש.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לזהות בגרף את ערך ה y ב x = 0 ואז למצוא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.
      ניתן לשלב סעיף כזה בשאלה ממספר נושאים. בעיניי זה קשור למציאת משוואת משיק / הבנה של גרף הפונקציה

  6. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום,
    איך אני יכולה לדעת על פי ציור הגרף, אם זה סקיצה המתארת נגזרת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה מה שמוסבר כאן בדף.
      אם יש שאלה ממוקדת על התוכן בדף אפשר לחזור אליי.

  7. קודם כל תודה על ההסברים
    רציתי לדעת אם אני יודעת שהנגזרת חיובית יש דרך לדעת האם הפונקציה חיובית?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא ניתן לדעת ממידע זה בלבד.
      אם יש מידע על ערכי y של נקודות קיצון אולי ניתן לדעת.
      יש קשר בין הנגזרת לתחומי עלייה וירידה.
      אין קשר בין נגזרת לחיוביות שלייליות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אלון
      נקודות פיתול של הפונקציה הם נקודות החיתוך של הנגזרת השנייה עם ציר ה x.
      אם יש מידע גם על הנגזרת הראשונה תוכל לשרטט בפירוט רב יותר.

  8. היי, מה הכוונה במשפט הראשון שכתבתם "ולהפך"? זאת אומרת שנקודות קיצון בנגזרת שוות לנקודות חיתוך של X עם הפונקציה? לא הבנתי….

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ליה
      הכוונה היא שנקודות החיתוך של הנגזרת הם נקודות קיצון פנימי של הפונקציה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אפרת
      בנקודת הפיתול גרף הנגזרת צריך לחתוך את ציר ה x ולעבור מחיוביות לשליליות או להיפך.

  9. שלום,
    ציטוט –
    "נניח שיש לנו פונקציה f (x) = 4x³ – 6x².
    ניתן לשרטט לפונקציה גרף".

    אודה לך אם תנחה אותי איך לפי הפונקציה הנ-ל אני מגיע לשרטוט הגרף
    תודה וכל טוב

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך למצוא תחום הגדרה.
      צריך לגזור ולמצוא נקודות קיצון.
      למצוא נקודות חיתוך עם הצירים.
      הדברים הללו יוצרים סקיצה.
      אם משהו מהדברים אתה לא יודע לעשות כתוב לי.

      1. תודה
        חלק מהדברים אני לא יודע
        אבל בינתיים אנסה בכוחות עצמי
        אם אצטרך שוב עזרה אפנה
        ואני רואה שיש לי כתובת מעולה !

        1. לומדים מתמטיקה

          תודה.
          נסה להעזר בדף זה.
          יש שם קישורים בנושא פונקציית פולינום (6 הקישורים שבהתחלה).

          1. אנונימי

            היי,
            רציתי לשאול מה זה אומר בשאלה כאשר מבקשים ממני למצוא:
            1. 0<(f(x
            2. 0<(f '(x
            תודה רבה!
            ואשמח אם תוכל שלא להציג את השאלה שלי באתר :)

            1. לומדים מתמטיקה

              שלום
              על מנת לענות על שאלות גם השאלה וגם התשובה צריכות להיות מפורסמות. אבל שיניתי את הפרטים שכתבת.
              אם נתון לך הגרף אז
              0<(f(x זה התחום בו הפונקציה חיובית - מעל ציר ה x. 0<(f '(x זה התחום בו הנגזרת חיובית - מעל ציר ה x. אם לא נתון הגרף צריך לפתור אי שוויונות. למשל f(x) = 2x + 4 אז 2x + 4 > 0

  10. זה בהכרח הפוך?
    נכון אם הפונקציה עולה אז הנגזרת חיובית. אז אם הפונקציה חיובית הנגזרת עולה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      חיוביות ושליליות לא קשורה לנגזרת או לעלייה וירידה.
      זה בלבול מושגים.

      כשהפונקציה עולה הנגזרת בהכרח חיובית וכשהנגזרת חיובית הפונקציה בהכרח עולה.

  11. מה בעצם ההיגיון של זה שכאשר הפונקציה עולה אז גרף הנגזרת חיובי? הבנתי את זה בתור עובדה, מעניין אותי להבין למה זה ככה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      שתי נקודות שצריך להבין:
      1.פונקציית הנגזרת מתארת את השינויים בפונקציה, זו עובדה הנובעת מהגדרת הנגזרת.
      (את ההגדרה המדויקת ניתן לראות בערך ויקיפדיה של נגזרת).
      2.הפונקציה עולה כאשר הנגזרת חיובית – זה דבר שלומדים לפני דף זה.
      נגזרת חיובית זה אומר שהגרף מעל ציר ה x.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה לא נושא שאני עוסק בו וכפי שאת רואה הוא לא בדף.
      הנגזרת היא פונקציה שונה מהפונקציה המקורית, ואסימפטוטות לא נקבעות על ידי נגזרות. לכן אני לא רואה קשר בין אסימפטוטה אנכית או אופקית לנגזרת.
      אבל זו תשובה על פי הגיון ולא מכך שלמדתי את הנושא.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אפשר להתייחס את הנגזרת הראשונה כפונקציה ואל הנגזרת השנייה כנגזרת שלה.
      ואז להשתמש באתן העקרונות שמוסברים כאן.
      למשל לנגזרת השנייה צריכה להיות נקודת חיתוך עם ציר ה x היכן שלנגזרת הראשונה יש קיצון.