אלגברה לכיתה ח

בכיתה ח נלמדים מספר נושאים “גדולים” באלגברה ולכל אחד מיהם יש דף נפרד באתר:

• משוואות עם נעלם אחד.
• שתי משוואות עם שני נעלמים.
• אי שוויונות כיתה ח.

בנוסף נלמדים מספר נושאים “קטנים”:

1. פתיחת סוגריים של רב איבר (2x+4) * (x-5)
2. הוצאת גורם משותף.
3. פתרון משוואה ריבועית מהסוג    ax² + bx = 0
4. צמצום שברים אלגבריים ומציאת תחום הצבה.

בדף זה תמצאו הסברים ותרגילים בנושאים “הקטנים” הללו.

• מתמטיקה לכיתה ח, נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

1.פתיחת סוגריים

בכיתה ח עליכם לדעת לפתוח מכפלה של סוגריים שבכול אחד מהסוגריים יש שני איברים או יותר. למשל:
(2x+4) * (x-5)

נושא זה נקרא גם חוק הפילוג המורחב.

a(b+c)=ab+ac  – חוק הפילוג.
a+b)*(c+d) = ac+ad+bc+bd)  – חוק הפילוג המורחב.

כיצד פותחים סוגריים מסוג זה?
(2x+4) * (x-5)

מכפילים את 2x ב x וב 5-. ולאחר מיכן את 4 ב x וב 5-.

(2x+4) * (x-5)
2x*x +2x* -5 + 4x-20
2x²-10x+4x-20
2x²-6x-20

פתחו סוגריים וכנסו איברים בתרגילים הבאים

1. (2x-3)(1-5x)
2.(x-3)(3x+2)
3. (x+2)(-3x-4) +4(-2+3x-)-
4. (2x+5)*10*(-x+4)+8(-2x-4)

פתרון

תרגיל 1
(2x-3)(1-5x)
2x-10x²-3+15x
-10x²+17x-3

תרגיל 2
(x-3)(3x+2)
3x² +2x -9x -6
3x² -7x -6

תרגיל 3
(x+2)(-3x-4) +4(-2+3x-)-
3x²+4x-6x-8) -8+12x)-
3x² +2x +8 – 8 + 12x-
3x²+14x-

תרגיל 4
(2x+5)*10*(-x+4)+8(-2x-4)
20x+50)(-x+4) -16x-32)
20x²+80x-50x+200-16x-32-
20x²+14x+168

2. הוצאת גורם משותף

מה הוא גורם משותף?

גורם משותף הוא מספר או משתנה המופיע בשני איברים לפחות.
גורם משותף יכול להיות מספר או משתנה:

3X+6  – המספר 3 הוא גורם משותף.

2x+4x²  – הביטוי 2X הוא גורם משותף.

הוצאת גורם משותף היא פעולה אלגברית בסיסית שהופכת פתרון תרגילים לפשוט יותר.

הוציאו גורם משותף בתרגילים הבאים:

1. 4x +8
2. x² + x
3. x² -x
4. 6x – 9-
5. 2x² + 6x³ – 4x

פתרון

1.  (4x +8 = 4(x+2
2. (x² + x = x (x+1
3. (x² -x = x(x-1
4. (6x – 9 = -3(2x+3-
5. (2x² + 6x³ – 4x = 2x(x+3x²-2

תרגילים קשים יותר:

1. 6x⁴y²-8x³y² + 4x⁵y⁵
2. 9x⁴z⁴y² – 3x³y⁵z – 12z³x²

פתרון

1. (6x⁴y²-8x³y² + 4x⁵y⁵ = 2x²y² (3x² -4x + 2x³y³
2. (9x⁴z⁴y² – 3x³y⁵z – 12z³x² = 3x²z (3x²z³y² – xy⁵-4z²

תרגילים נוספים בנושא הוצאת גורם משותף.

3. פתרון משוואות מהסוג ax² + bx = 0

בעזרת הוצאת גורם משותף אנו יכולים לפתור במהירות ובקלות יחסית משוואות מהסוג ax² + bx = 0 .
הכוונה היא למשוואות שבהם יש x² יש x אבל אין מספר חופשי ללא משתנה (כמו 7 או 2- למשל).

על מנת לפתור תרגילים מסוג זה נשתמש בתכונה שאם יש מכפלה של שני איברים השווה ל- 0 אז לפחות אחד האיברים שווה ל- 0. כלומר אם:
x*y=0
אז x או y שווים ל 0.

תרגיל
5x²+10x=0

פתרון
5x²+10x=0
5x(x+2)=0
ואז או ש 5X=0 כלומר x=0.
או ש  x+2=0 כלומר x= -2.

תרגילים

1. 4x² + 2x = 0
2. x² -3x = 0
3. x² – 4x =0-
4. 9x²-5x=0

פתרון

4x² + 2x = 0
2x (2x+1) =0
2x =0, x=0
או
2x+1=0, x= – 0.5

x² -3x = 0
x (x-3) = 0
x=0
או
x-3=0, x=3

x² – 4x =0-
x(-x-4) =0
x=0
או
x-4 =0, x= -4-

9x²-5x=0
x(9x-5)=0
x=0
או
9x-5=0
9x=5
x=5/9

4. צמצום שברים

הערה: באתר זה לא ניתן לכתוב שבר כך שהמונה יהיה למעלה והמכנה למטה. כאשר נכתב כאן 0.5 הוא נראה כך 1/2.
על מנת להבליט יותר מה מכנה ומה מונה אכתוב את המכנה בבולד.

צמצום שברים שלא דורשים הוצאת מכנה משותף.

1. 10x / 5x
2. 10x / 5
3. 12x³ / -5x–
4. 6x / 6x + 6x² +3

פתרונות

1. 10x / 5x  = 2
2. 10x / 5 = 2x
3. 12x³ / -5x = 12x² / 5–
4. (6x / 6x + 6x² +3 = 6x / 3(2x +2x²+1) = 2x / (2x +2x²+1

פתרון תרגילים בעזרת צמצום שברים

כאשר יש לכם משתנה במכנה שימו לב שאתם בודקים מתי המכנה מתאפס ומוצאים את האפשרות הזו מתחום ההצבה של התרגיל.

פתרונות

פתרון תרגיל 1

4x – 6 = 0  / +6
4x = 6  /:4
x = 1.5
תחום ההצבה הוא x ≠ 0.

פתרון תרגיל 2

x=0
תחום ההצבה:
6x – 2 = 0  /+2
6x = 2  /:6
x = 2/6 = 0.333
תחום ההצבה הוא x= 0.333

פתרון תרגיל 3

x = 0  /*-1-
x=0
תחום ההצבה
x – 5 = 0  / +5
x = 5

פתרון תרגיל 4

נוציא גורם משותף לצד השמאלי בלבד

x / -3 = 2x – 5
x = -6x  +15  /+6x
7x = 15  /:7
x = 2.16
תחום ההצבה:
3x – 3 = 0-
3x = -3  /:3
x = -1

תרגילים נוספים בנושא צמצום שברים.