חוק הפילוג המורחב

בכיתה ז למדנו כיצד לפתוח סוגריים כאלו
a(b+c)=ab+ac
וזה נקרא חוק הפילוג.
בכיתה ח אנו לומדים כיצד לפתוח סוגריים כפול סוגריים הנראים כך:
a+b)*(c+d) = ac+ad+bc+bd)
וזה חוק הפילוג המורחב.

דוגמה 1
(x – 3) (x  – 6)

פתרון
דרך הפתרון היא זו:

(x – 3) (x  – 6)
x * x + x *-6 -3x -3*-6
x² -6x – 3x + 18
x² – 9x + 18

דוגמה 2
כיצד פותחים סוגריים כאלו:
(2x + 4) * (x – 5)

פתרון
מכפילים את 2x ב x וב 5-.
לאחר מיכן את 4 ב x וב 5-.

(2x + 4) * (x – 5)
2x*x +2x*-5 + 4x – 4*5
2x²-10x+4x-20
2x²-6x-20

דוגמה 3
(2x – (3x – 1) (x +2

פתרון
במתמטיקה איברים שיש בניהם כפל (או חילוק) נחשבים לאיבר אחד.
לכן המינוס הוא על כל מה שיש בתוך הסוגריים.
ניתן לכתוב את התרגיל בצורה הזו:
[(2x – [(3x – 1) (x +2

לכן:
בגלל סדר פעולות חשבון השלב הראשון יהיה הכפל של פתיחת הסוגריים.
את פתיחת הסוגריים נשאיר בתוך הסוגריים על מנת שנוכל להוסיף מינוס על כל מה שרשום שם.

(2x – (3x² + 6x – x – 2
(2x – (3x² + 5x – 2
2x – 3x² – 5x + 2
3x² – 3x + 2

תרגילים

1-4 הם תרגילים בסיסיים.
5-6 הם משוואות.
7-8 הם תרגילים הדורשים יותר פעולות.
לאחר מיכן מופיעים תרגילים נוספים עם מלבן.

תרגיל 1
(x + 5) (x + 2)

תרגיל 2
(2x – 3)(1 – 5x)

תרגיל 3
(x – 3) (3x + 2)

תרגיל 4
(x + 3) (-x – 4)

פתרון משוואות

תרגיל 5
x – 4) (x + 5) = x² – 3x)

תרגיל 6
(2x + 3) (x  – 6) = x(2x – 5)

פתרון התרגילים עם יותר פעולות

תרגיל 7
-(x + 2)(-3x – 4) + 4(-2 + 3x-)

תרגיל 8
(2x + 5) * 10 * (-x + 4) + 8(-2x – 4)

תרגילים הקשורים למלבן

תרגיל 1
אורך צלע הריבוע היא x סנטימטר.

1. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את שטח הריבוע.
2. מאריכים זוג צלעות נגדיות של הריבוע ב 4 סנטימטר ונוצר מלבן. כתבו ביטוי לשטח המלבן. פתחו סוגריים במידת הצורך.
3. אם x = 6 מה ההבדל בין שטח המלבן לשטח הריבוע? (השתמשו בביטויים שנכתבו בסעיפים 1,2 למתן התשובה).

פתרון
סעיף א: שטח הריבוע
שטח ריבוע הוא מכפלת צלע בעצמה.
x * x = x²

סעיף ב: שטח המלבן
x  זו צלע המלבן שנשארה כמו שהיא.
x + 4  זו צלע המלבן לאחר שגדלה ב 4 סנטימטר.
שטח מלבן הוא מכפלת הצלעות:
x(x + 4) = x² + 4x

סעיף ג: ההבדל בין השטחים.
אם x = 6  אז שטח הריבוע הוא:
x² = 6*6 = 36
שטח המלבן הוא:
x² + 4x = 6*6 + 4 * 6
60 = 24 + 36

ההפרש בין השטחים הוא:
24 = 36 – 60
תשובה: שטח המלבן גדול משטח הריבוע ב 24 סמ"ר.

תרגיל 2
במלבן צלע אחת קטנה מהצלע השנייה ב 4 סנטימטר.

1. כתבו ביטוי לשטח המלבן.
2. מקטינים את הצלע הקטנה ב 2 סנטימטר ומגדילים את הצלע הגדולה ב 3 סנטימטר. כתבו ביטוי אלגברי לשטח המלבן החדש שנוצר.
3. מה המספר השלם הקטן ביותר ש x יכול להיות?

פתרון
סעיף א: שטח המלבן הראשון
נגדיר:
x  הצלע הגדולה של המלבן בסנטימטרים.
לכן:
x – 4  הצלע הקטנה של המלבן בסנטימטרים.
שטח המלבן הוא:
x(x – 4) = x² – 4x

סעיף ב: שטח המלבן השני
הצלע הגדולה x גדלה ב 3 סנטימטר ולכן עכשיו היא:
x + 3
הצלע הקטנה x – 4 קטנה ב 2 סנטימטר ולכן היא:
x – 4 – 2 = x – 6

שטח המלבן הוא:
x + 3) (x – 6) = x² -6x +3x -18)
x² – 3x – 18

סעיף ג: מה המספר השלם הקטן ביותר ש x יכול להיות?
בשני המלבנים דיברנו על 4 צלעות שהביטוי שלהם היה:
x
x – 4
x + 3
x – 6
כל הגדלים הללו צריכים להיות גדולים מ 0 כי אורך של צלע הוא מספר חיובי תמיד.

ביקשו מאיתנו ש x יהיה שלם ולכן על מנת ש x – 6 יהיה מספר חיובי x צריך להיות 7 או מספר גדול יותר.

עוד באתר:

• מבחן בנושא חוק הפילוג המורחב.
• מתמטיקה לכיתה ח.