תכונות מעוין, אלכסונים במעוין

מעוין הוא מקבילית ולכן כל תכונות המקבילית קיימות גם במעוין.
בדף זה נעבור על תכונות המעוין על פי הסדר הבא:

1. תכונות הצלעות.
2. תכונות הזוויות.
3. תכונות האלכסונים.
4. תכונות השטח.
5. תרגילים.

1.סיכום תכונות המעוין בסרטון

2.תכונות צלעות המעוין

1. ארבעת צלעות המעוין שוות זו לזו.
2. שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.

בשני המשפטים ניתן להשתמש ללא הוכחה.

3.תכונות זוויות המעוין

1. שני זוגות של זוויות נגדיות שוות (במשפט זה ניתן להשתמש ללא הוכחה).
2. זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות.
3. סכום הזוויות הוא 360 מעלות – כמו בכל מרובע.

• זוויות במעוין – מידע נוסף.

4.אלכסונים במעוין

בשלושת המשפטים הבאים ניתן להשתמש בבגרות ללא הוכחה.

1.אלכסוני המעוין חוצים זה את זה
(הערה: חוצים זה אומר שהם מחלקים אחד את השני לשני חלקים שווים).

2.אלכסוני המעוין הם חוצי זווית.

3.אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.

 

טיפ לזכירת תכונות האלכסונים

שימו לב שהקודקוד ממנו יוצאים האלכסונים הוא קודקוד משולש שווה שוקיים (למשל משולש ABC שבשרטוט).

ומכוון שאלכסוני המקבילית הם חוצים (כלומר תיכונים) זה לזה אז הם גם צריכים להיות חוצה זוויות ומאונכים זה לזה – בדיוק כמו תיכון במשולש שווה שוקיים.

תכונות נוספת:

1. אלכסוני המעוין יוצרים 4 משולשים חופפים.
   AOD ≅ AOB ≅ COB ≅ COD
   (ניתן להוכיח בקלות על ידי משפט חפיפה צ.צ.צ).
2. אלכסוני המעוין יוצרים 4 זוגות של זווית מתחלפות שוות.

הרבה שואלים: האם אלכסוני המעוין שווים באורכם?
לא.
אלכסוני המעוין לא שווים באורכם.
אלכסוני המלבן והריבוע כן שווים באורכם.

סיכום תכונות הזוויות והצלעות

סיכום תכונות האלכסונים

5.שטח מעוין

1.שטח מעוין על פי צלע והגובה אליה.
השטח של כל הצורות שהן מקבילית הוא:   צלע כפול הגובה אל הצלע.
לרוב:
a  מסמן את הצלע.
h  מסמן את הגובה.
s  מסמן את השטח
s=a×h.

2.שטח מעוין על פי אורכי האלכסונים
שטח מעוין שווה למכפלת אורכי האלכסונים.
אם AC ו- BD הם אלכסוני המעוין אז השטח שווה ל:

תרגיל
שטח מעוין הוא 24 סמ”ר.
אורך האלכסון AC = 6.

1. חשבו את אורך האלכסון BD.
2. חשבו את אורך צלע המעוין.

פתרון
חישוב שטח המעוין על פי האלכסונים הוא:

נציב את המספרים שאנו יודעים בנוסחה ונקבל:

6BD = 48  / : 6
BD = 8
תשובה: אורך האלכסון BD הוא 8 סנטימטר.

סעיף ב: חישוב צלע המעוין
מכוון שאלכסוני המעוין חוצים זה את זה ניתן לכתוב:
AO = 3
BO = 4

אלכסוני המעוין מאנכים זה לזה ולכן משולש AOB הוא משולש ישר זווית.
על פי משפט פיתגורס במשולש AOB נקבל:
AB² = AO² + BO²
AB² = 3² + 4²
AB² = 9 + 16 = 25
AB = 5
(התשובה AB = -5 נפסלת כי אורך צלע הוא גודל חיובי).

הערה: נוסחת האלכסונים נכונה גם לחישוב שטח ריבוע ושטח דלתון. (מעוין, ריבוע ודלתון הם מרובעים שאלכסוניהם מאונכים).

6.תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• תכונות מעוין, אלכסונים במעוין תרגילים

תרגיל 1
מרובע ABCD הוא מעוין.
השלימו את זוויות המעוין.

פתרון
במעוין המשולשים שיוצרים האלכסונים הם משולשים ישרי זווית (כי אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה).
לכן במשולש DOC:
DCO = 180 – 90 – 25 = 65

אלכסוני המעוין הם חוצי זווית ולכן:
ADO = ODC = 25
וגם:
BCO = DCO = 65

עד עכשיו חישבנו חצאי זוויות, עכשיו נחשב זוויות שלמות.
C = 65 + 65 = 130
A = C = 130 זוויות נגדיות במעוין שוות זו לזו.

D = 25 + 25 = 50
B = D = 50 זוויות נגדיות במעון שוות זו לזו.

תרגיל 2
שטח מעוין ABCD שווה 100 סמ”ר.
אורך האלכסון BD = 20 סנטימטר.

1. חשבו את אורך האלכסון השני.
2. חשבו את אורך צלע המעוין.

פתרון
חישוב אורך האלכסון AC
שטח מעוין שווה למכפלת שטחי האלכסונים חלקי 2.

נציב את המספרים של התרגיל ונקבל:

נכפיל את המשוואה פי 2.
20AC = 200  / :20
AC = 10

תשובה: אורך האלכסון השני הוא 10 סנטימטרים.

סעיף ב: חישוב אורך צלע המעוין
האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה.
לכן משולש AOD הוא משולש ישר זווית.
וגם:
AO = AC : 2 = 5
DO = DB : 2 = 10

על פי משפט פיתגורס במשולש AOD:
AD² = AO² + DO²
AD² = 5² + 10²
AD² = 25 + 100 = 125
AD = √125
תשובה: אורך צלע המעוין הוא  125√.

עוד באתר:

1. מבחן בנושא תכונות מעויין
2. אלכסונים במרובעים – מידע על אלכסונים במרובעים נוספים.
3. מעוין – מידע מקיף על הצורה.
4. מקבילית, מלבן, ריבוע, טרפז – מידע על סוגי מרובעים נוספים.

[/mepr-show]