הוכחת טרפז

החלקים בדף זה הם:

  1. כיצד מוכיחים שמרובע הוא טרפז.
  2. דוגמה להוכחה פשוטה של טרפז.
  3. כיצד מוכיחים שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים.
  4. תרגילים.

1.כיצד מוכיחים שמרובע הוא טרפז

על מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז עליכם להוכיח שיש למרובע שתי צלעות מקבילות ושתי צלעות שאינן מקבילות.

יש בתי ספר שלא יבקשו ממכם להוכיח שיש שתי צלעות שאינן מקבילית.

כיצד מוכיחים שצלעות מקבילות?

לרוב עושים זאת על ידי מציאת זוויות מתאימות שוות או זוויות מתחלפות שוות.
לאחר שמצאתם זוג זוויות כזה משתמשים במשפט:
"אם בין שני ישרים יש זוג זוויות מתאימות / מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים"

איך מוכחים שצלעות לא מקבילות?

אפשרות ראשונה
אם מצאתם זוויות מתאימות או מתחלפות שאינן שוות אז הישרים אינם מקבילים. במקרה זה משתמשים במשפט:
"אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות / מתחלפות שאינן שוות אז הישרים אינם מקבילים".

אפשרות שנייה
אם שני ישרים נפגשים אז הם לא מקבילים. (כי ישרים מקבילים לא נפגשים אף פעם).

הערה
אם השאלה היא בגיאומטריה אנליטית את משתמשים בכך שישרים עם שיפוע שווה הם מקבילים וישרים עם שיפוע שונה הם לא מקבילים.

2.דוגמה פשוטה להוכחת טרפז

במשולש ABC מעבירים את הישר DE.
C = 70,  ∠ AED = 70∠.
הוכיחו כי המרובע BCED הוא טרפז.

פתרון

  1. BC || DE  אם זוויות מתאימות שוות אז הישרים מקבילים   (C = ∠AED = 70∠).
  2. הישרים BD ו- CE אינם ישרים מקבילים כי הם נפגשים בנקודה A.
  3. הוכחנו כי הצלעות BC,DE מקבילות. והצלעות BD,CE אינן מקבילות. לכן המרובע BCED הוא טרפז.

3.איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים

מוכיחים שהמרובע הוא טרפז (על ידי מציאת שני קווים מקבילים) ואז צריך להוכיח את אחד מהדברים הבאים:

  1. שהשוקיים שוות.
  2. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות.
  3. שהאלכסונים שווים.

ואלו בדיוק המשפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה:

  1. בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו.
  2. טרפז בו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים.
  3. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
  4. טרפז בו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז שווה שוקיים מוכיחים שהצורה היא טרפז (על ידי מציאת שני קווים מקבילים) ואז צריך להוכיח את אחד מהדברים הבאים: שהשוקיים שוות. שהזוויות ליד אחד מבסיסי הטרפז שוות. שהאלכסונים שווים.

4.הוכחת טרפז תרגילים

לתרגילים 1-3 יש גם פתרון וידאו. הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

קבעו האם המרובעים הבאים הם טרפז / לא טרפז / לא ניתן לדעת.
אם המרובע הוא טרפז נסו לקבוע האם הוא טרפז שווה שוקיים.
התייחסו בתשובתכם רק להאם יש זוג קווים מקבילים (התעלמו לצורך התרגיל מהדרישה לזוג שני שאינו מקביל).

תרגילים בהוכחת טרפז

פתרון
את תרגיל מספר 2 נפתור בעזרת זוויות מתאימות.
את כל שאר התרגילים בעזרת זוויות חד צדדיות.

תרגיל 1
לא ניתן לדעת – בגלל שהזוויות הנתונות לא נמצאות על אותו ישר חותך.

תרגיל 2

פתרון
נמשיך את שוק הטרפז.
הזווית האדומה והזווית הירוקה הן זוויות צמודות ולכן משלימות ל 180 מעלות.
לכן גודל הזוויות האדומה הוא 70.

הזוויות האדומה היא זווית מתאימה שווה לזווית העליונה שגודלה 70 מעלות.
לכן שני הישרים מקבילים והמרובע טרפז.

הטרפז הוא לא טרפז שווה שוקיים כי הזוויות הנמצאות ליד אותו בסיס לא שוות זו לזו (50 לעומת 70).

תרגיל 3
לא טרפז – 130+60=190 – סכום זוויות חד צדדיות שונה מ 180 ולכן הישרים אינם מקבילים.

תרגיל 4
טרפז – 90+90 =180 – סכום זוויות חד צדדיות הוא 180 מעלות ולכן המרובע הוא טרפז.
הטרפז הוא לא טרפז שווה שוקיים כי הזוויות הנמצאות ליד אותו בסיס לא שוות זו לזו (90 לעומת 130).

תרגיל 2

קבעו האם המרובעים הבאים הם טרפז / לא טרפז / לא ניתן לדעת.
התייחסו בתשובתכם רק להאם יש זוג קווים מקבילים (התעלמו לצורך התרגיל מהדרישה לזוג שני שאינו מקביל).

הוכחת טרפז

1. בשרטוט זוג זוויות מתחלפות שגודל אחת מיהן הוא 70 מעלות וגודל השנייה הוא 40 מעלות.
מכוון שהזוויות המתחלפות אינן שוות המרובע אינו טרפז.

2.בשרטוט זוג זוויות מתחלפות שגודל שתיהן הוא 50 מעלות.
מכוון שהזוויות המתחלפות שוות הקווים מקבילים והמרובע הוא טרפז.

תרגיל 3

במרובע ABCD האלכסון BD הוא חוצה זווית D.
AD= AB.
המשולש ABD הוא משולש שווה שוקיים.
הישרים BC ו AD אינם מקבילים.
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא טרפז.
רמז: הניחו כי גודל זווית BDC= x∠.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BDC = ∠BDA = x∠  נתון DB חוצה זווית.
  2. ABD = ∠ADB = x∠  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ADB שוות זו לזו.
  3. BDC = ∠ABC∠  נובע מ 1 ו 2.
  4. AB מקביל ל DC. אם זוויות מתחלפות שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
  5. הישרים BC ו AD אינם מקבילים. (נתון)
  6. המרובע ABCD הוא טרפז. מרובע הכולל זוג אחד של צלעות מקבילות הוא טרפז.

עוד באתר:

  1. טרפז – מידע ותרגילים.
  2. טרפז שווה שוקיים – מידע ותרגילים.
  3. טרפז ישר זווית – מידע ותרגילים.
  4. שטח טרפז – מידע ותרגילים.
  5. מקבילית, מלבן, מעויןריבוע – מידע ותרגילים על המרובעים הללו.

נספח

שאלה בסיסית שכולם צריכים לדעת לפתור

בשאלה בסיסית זו עליכם לבנות משוואה בעזרת תכונות הטרפז.
שאלה זו לא דורשת שימוש במשפטי טרפז כלשהם והיא חוזרת על עצמה הרבה מאוד פעמים בשאלות על טרפז וצורות נוספות.
אם אתם תלמידי כיתה ח ומעלה ואתם מתחילים את דרככם שאלה זו היא חובה.

9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

19 מחשבות על “הוכחת טרפז”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה לא משפט שניתן להשתמש בו בבגרות אבל כנראה שמהנתונים הללו ניתן לפתח הוכחה.

  1. יש לי ריבוע שבתוך הריבוע יש משולש ובתוכו יש טרפז. אני צריך לראות שהוא שווה שוקיים כדי להראות שהמשולש הוא שווה שוקיים.
    איך אני מראה את זה מישהו יודע?

    1. לומדים מתמטיקה

      לא הבנתי את השאלה.
      אבל באופן כללי ניתן לומר שכל שאלת הוכחה היא קצת אחרת ותלוי בנתונים.

  2. יש לך מקום בגן עדן ! אני מלמדת את עצמי וכך ויכולה לשבת עם הבנות שלי. ההסברים שלך מפורטים מאוד.
    דוגמאות נהדרות . המון המון תודה

  3. היי בסרטון הראשון אמרת שם שטרפז מורכב מ2 שוקיים מקבילות זה לא הבסיסים מקבילים והשוקיים לא ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נוגה.
      לא. מרובע כזה הוא לא בהכרח טרפז.
      לא יודע באיזו כיתה את ולא יודע אם ההסבר שלי יהיה מובן אבל.
      אם את לוקחת בסיס של טרפז ומוציאה משני קצוות הבסיס שוקיים באותה זווית.
      ונניח שקצה הבסיס הוא מרכז מעגל שממנו אנו מוצאים רדיוסים באורך של האלכסון.
      אז הרדיוס יכול לחתוך את השוק ביותר מנקודה אחת ולכן יתכן והבסיס השני לא יהיה מקביל.
      מקווה שעזרתי.

  4. תתקנו את הקול של מי שמדבר בכל סרטון שלכם זה כאילו הוא מצונן מאוד
    זה ממש מציק בבקשה תתקנו את זה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      כך נשמע הקול שלי ביום רגיל, כשאני מצונן זה יותר גרוע.
      ואני יודע הקול שלי הוא לא דבר המשפר את האתר.
      בהצלחה

  5. תודה רבה לך, אמור להיות לי מבחן על נושא משפחת המרובעים בקרוב והאתר שלך הוא האתר היחידי שאני מצליחה באמת להבין בו את החומר.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.