נוסחת משוואת הישר, נוסחה למציאת שיפוע

בדף זה נלמד את הנוסחאות למציאת משוואת ישר.

1. נוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.
2. משוואת ישר על פי 2 נקודות.
3. משוואת ישר על פי ישרים מקבילים.
4. משוואת ישר על פי ישרים מאונכים.
5. המשמעות של m,n במשוואת הישר y = mx + n.

חלק מהמגיעים לדף זה מעוניינים רק לדעת כיצד מוצאים שיפוע של ישר. ואת הנושא המצומצם הזה ניתן ללמוד בדף מציאת שיפוע.

 1. נוסחת משוואת הישר y = mx+ n

זו נוסחת משוואת הישר.
כאשר m (המקדם של x) ומייצג את שיפוע הישר.
n נותן את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.
הרחבה ותרגילים על m,n בהמשך הדף.

למשל, עבור הישר y = 2x – 4 השיפוע הוא 2 ונקודת החיתוך עם ציר ה y היא (4- , 0)

 

2. נוסחת מציאת הישר על פי שיפוע ונקודה (y-y₁=m(x-x₁

(y – y₁ = m(x – x₁
זו השיטה הכי בסיסית והכי שימושית למציאת משוואת ישר.
משתמשים בה כאשר ידוע השיפוע (m) ונקודה (x₁,y₁).

תרגיל
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה 2,5.

פתרון
נציב m = x,  x₁ = 2,  y₁ = 5
במשוואה:
(y-y₁=m(x-x₁

נקבל:
(y – 5 = 4(x – 2 
y -5 = 4x -8
y = 4x-3

• דף משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה כולל תרגילים נוספים.

3. נוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות

אם הנקודה A היא (x₁,y₁) והנקודה B היא  (x₂,y₂) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

בנוסחה זו נשתמש על מנת למצוא שיפוע כאשר נתונות לנו שתי נקודות הנמצאות על ישר.

לאחר שמצאנו את השיפוע נציב את השיפוע וערך אחת מהנקודות בנוסחת משוואת הישר (y-y₁=m(x-x_1.

תרגיל
מצאו את השיפוע של של הישר העובר דרך הנקודות (5,2)  (7,0).

פתרון
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל.

m= -1
תשובה: שיפוע הישר הוא 1-.

• דף מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות כולל עוד תרגילים.

4. משוואת ישר על פי ישרים מקבילים או מאונכים

נוסחאות:
1.השיפועים של ישרים מקבילים הם שיפועים שווים.
m₁ = m₂ עבור ישרים מקבילים

2.מכפת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
m₁ * m₂ = -1 עבור ישרים מאונכים

תרגילים בנושא ישרים מקבילים

תרגיל 1
מצאו את השיפוע של הישר המקביל לישר y = -4x+1.

פתרון
שיפוע הישר y = -4x+1 הוא 4-.
לכן שיפוע הישר המקביל שווה גם הוא 4-.

תרגיל 2
מצאו את שיפוע הישר המקביל לישר העובר דרך הנקודות (7,1) (1,4).

פתרון
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה

 

נקבל:

תשובה: לישר המקביל שיפוע שווה לישר העובר דרך שתי הנקודות. לכן שיפוע הישר המקביל הוא 0.5-.

ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.

1. אם שיפוע של ישר הוא 2 אז שיפוע הישר המאונך לו 0.5-.
2. שיפוע ישר 5- אז המאונך 0.2
3. שיפוע ישר 10 אז המאונך 0.1-
4. שיפוע ישר 0.4 אז המאונך 2.5-
5. שיפוע ישר 1 אז המאונך  1-

תרגיל 1
מצא את שיפוע הישר המאונך לישר y = 4x.

פתרון
אם m הוא שיפוע הישר המבוקש אז:
m*4 =  -1  / :4
m= – 0.25

• תרגילים נוספים בנושא מציאת משוואת ישר  בעזרת ישרים מקבילים או ניצבים.

5. נוסחאות נוספות בהם יכולים לעשות שימוש

הנוסחה למרחק בין שתי נקודות
אם (x₁, y₁)  ו  (x₂, y₂) הן הנקודות ו d הוא המרחק בניהן אז הנוסחה היא:
d²=(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²

 

הנוסחה לאמצע קטע
אם נתונות לנו שתי נקודות: (A(x₁, y₁ ו  (B(x₂, y₂ אז אמצע הקטע בניהן (C(x_c, y_c מתקבל על ידי הנוסחאות:

כלומר מחשבים את האמצע של ערכי ה X ואת האמצע של ערכי ה Y בנפרד.

• מרחק בין שתי נקודות.
• אמצע קטע.
• תרגילים נוספים בכול הנושאים שנמצאים בדף זה תמצאו בדף מציאת משוואת הישר או בדף פונקציה קווית.

6. המשמעות הגרפית של m, n בנוסחת משוואת הישר