פרופורציה ויחס

לדעתי מבין כל סוגי שאלות היחס שאלות הפרופורציה הן השאלות הקשות ביותר.
לכן, למדו נושא זה בסבלנות.
בדף זה נלמד 3 שלבים לפתרון תרגילי פרופורציה. עבדו לפי השלבים הללו ויהיה לך קל יותר לפתור.

לדף זה 4 חלקים:

  1. מה היא פרופורציה?
  2. שלבי הפתרון של תרגילי פרופורציה.
  3. תרגילים.
  4. פרופורציה עם 3 רכיבים.

הדף הוא חלק מקורס יחס שבאתר.

1.מה היא פרופורציה?

המשמעות של המילה פרופורציה בעברית היא יחסים שווים.
ובאמת תרגילי פרופורציה כוללים שני יחסים שווים.
יחס אחד אנו נקבל בנתוני השאלה ואילו את היחס השני נבנה בעזרת משתנה.
המשוואה שלנו תהיה שיחס אחד שווה ליחס שני.

אם למשל נקבל בשאלה את היחס  1:2.
ובעזרת נתוני השאלה נבנה את היחס  x:6
אז ניתן לבנות את המשוואה:

רגע של עברית!
מכירים את הביטוי "לשמור על פרופורציות?"
אומרים את זה כשרוצים שמשהו ירגע, שלא יגזים בתגובה שלו.
וזה בדיוק מה שלמדנו כאן, לשמור על פרופורציה זה לשמור על אותו יחס.

2.שלבי פתרון של בעיות פרופורציה

אני ממליץ לפתור בעיות פרופורציה על פי 3 שלבים:

  1. זיהוי היחס שנתון לנו בשאלה וכתיבתו כחלק ממשוואה (או ביצוע חישוב קטן למציאתו).
    עושים זאת על ידי: זיהוי שני הדברים שהשאלה מדברת עליהם.
  2. כתיבת יחס זהה נוסף בעזרת משתנה.
    עושים זאת על ידי: הכנסת המספר השלישי שנתון בשאלה + משתנה במשוואה.
  3. בניית משוואה ופתרונה.
    לרוב זו תהיה משוואה עם מספר במכנה.

דוגמה
בגינה יש 20 פרחים צהובים ו 30 פרחים אדומים.
בחממה יש את אותה יחס בין פרחים צהובים לאדומים ומספר הפרחים האדומים בחממה הוא 330.
כמה פרחים צהובים יש בחממה?

פתרון
שלב א: זיהוי היחס הנתון בשאלה
שני הדברים שמדברים עליהם הם פרחים צהובים ופרחים אדומים.
היחס בין הפרחים הצהובים לפרחים האדומים הוא 20:30.
ניתן לצמצם את היחס הזה ל 2:3.

נכתוב את היחס כשבר, ונכתוב במילים ליד מה זה מה.

שלב ב: כתיבת יחס זהה בעזרת משתנה
אנו יודעים כי בחממה 330 פרחים אדומים.

החלק שאנו לא יודעים הוא מספר הפרחים הצהובים בחממה.
לכן נגדיר:
x מספר הפרחים הצהובים בחממה.
נשלים את המשוואה כך:

שלב ג: פתרון המשוואה
נכפיל במכנה המשותף שהוא 330 ונקבל:

x = 110 * 2 = 220
תשובה: מספר הפרחים הצהובים בחממה הוא 220.

3.תרגילים

המשמעות של המילה פרופורציה היא שוויון, שוויון בין יחסים.
בתרגילי פרופורציה אחד מהיחסים יהיה כתוב בשאלה ואנו נצטרך רק לזהות אותו או לבצע חישוב קטן על מנת למצוא אותו.
ואילו את היחס השני נבנה בעזרת משתנה.
מכוון שהיחסים הללו שווים נוכל לבנות משוואה ולפתור את התרגיל.

שלבי הפתרון של תרגילי פרופורציה הם:

  1. זיהוי היחס שנתון לנו בתרגיל (או ביצוע חישוב קטן למציאתו).
  2. כתיבת יחס זהה נוסף בעזרת משתנה.
  3. בניית משוואה ופתרונה.

על מנת לפתור תרגילים תצטרכו לפתור משוואות פשוטות יחסית מהסוג של:

ידע באחד מסוגי המשוואות מספיק על מנת לפתור שאלות פרופורציה.

בחלק זה 9 תרגילים.
תרגילים 6-9 קשים יותר.

תרגיל 1
היחס בין מספר הג'ירפות למספר הפילים הוא 5:6.
גם בגן החיות התנכי יש את אותו יחס בין ג'רפות לפילים ומספר הפילים שם הוא 24.
כמה ג'ירפות יש בגן החיות התנכי?

פתרון
שלב א: זיהוי היחס ורישומו
היחס בין מספר הג'ירפות למספר הפילים הוא 5:6.
נכתוב את היחס הזה בצורה של שבר.

שלב ב: כתיבת אותו יחס בעזרת משתנה.
24 פילים יש בגן החיות התנכי.
x מספר הג'ירפות בגן החיות התנכי.

מכך ניתן לבנות את אותו יחס ואת המשוואה.

שלב ג: נפתור את המשוואה
נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא 24.
x = 5 * 4 = 20
תשובה: יש 20 ג'ירפות בגן החיות התנכי.

תרגיל 2
צלע אחת במקבילית גדולה מהצלע השנייה ב 10 סנטימטר.
היחס בין שתי הצלעות הוא 2:3.
מצאו את אורכי צלעות המקבילית.

פתרון
שלב א: זיהוי היחס ורישומו
היחס בין מספר הג'ירפות למספר הפילים הוא 5:6.
נכתוב את היחס הזה בצורה של שבר.

שלב ב: כתיבת אותו יחס בעזרת משתנה.
נגדיר:
x  הצלע הקטנה.
x + 14 הצלע הגדולה.

מכך ניתן לבנות את אותו יחס ואת המשוואה.

שלב ג: נפתור את המשוואה

2x + 20 = 3x
20 = x

תשובה: המספר הקטן הוא 20, המספר הגדול הוא 30.

תרגיל 3
בבית של גיא יש 12 צלחות ו 30 כוסות.
בבית של שיר שומרים על אותה פרופורציה בין צלחות לכוסות ויש שם 20 צלחות.
כמה כוסות בבית של שיר?

פתרון
שלב א: זיהוי היחס שנתון בשאלה
מספר הכוסות 30, מספר הצלחות 12.
לכן היחס בין הכוסות לצלחות הוא: 30:12
ניתן לכתוב את היחס הזה בצורה של שבר.

שלב ב: כתיבת אותו יחס בעזרת משתנה
נכתוב את היחס בין הכוסות לצלחות בבית של שיר.
בבית של שיר 20 צלחות, אך מספר הכוסות אינו ידוע.
לכן נגדיר:
x  מספר הכוסות בבית של שיר.

היחס בין הכוסות לצלחות בבית של שיר הוא x:12.
משני היחסים הללו ניתן לכתוב את המשוואה.

שלב ג: פתרון משוואה
עכשיו סיימנו אם נושא הפרופורציה ומה שנותר לנו זה לפתור משוואה עם נעלם אחד.
צריך להכפיל במכנה המשותף.
המכנה המשותף הגדול היא 20 * 12
אבל אם היינו מתאמצים היינו מוצאים שגם 60 הוא מכנה משותף.
נפתור על פי מכנה משותף 20 * 12 כדי להראות שניתן לפתור את התרגיל גם בלי לדעת למצוא מכנה משותף קטן.

נכפיל ב 20*12 ונקבל:

x * 12 = 30 * 20
12x = 600 / 12
x = 50
תשובה: מספר הכוסות בבית של שיר הוא 50.

*הערה: כאשר בנינו את המשוואה שמנו את מספר הכוסות במונה ומספר הצלחות במכנה.
בצורה הזו:

האם היה מותר לנו לבנות את המשוואה בצורה הפוכה? עם הכוסות במכנה והצלחות במונה?
כך:

והתשובה כן. ניתן לבחור ולהפוך את המונה והמכנה כל עוד עושים זאת בשני צדדי המשוואה.

תרגיל 4
מחיר של 12 מחקים הוא 20 שקלים.
אילן קנה מחקים במחיר של 33.33 שקלים.
כמה מחקים אילן קנה?

פתרון
שלב א: מציאת היחס הכתוב בשאלה
היחס בין המחיר למספר המחקים הוא 20:12.
נבנה שבר/ משוואה עם היחס הידוע לנו.

שלב ב: כתיבת את אותו היחס בעזרת משתנה
נכתוב את היחס בין המחיר למספר המחקים כאשר משלמים 33.33
אנו לא יודעים את מספר המחקים במקרה זה לכן נגדיר:
x – מספר המחקים שקונים ב 33.33 שקלים.

נשלים את המשוואה עם היחס החדש:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 12x ונקבל:

x * 20 = 33.33 * 12
20x = 400
x = 20
תשובה: אילן קנה 20 מחקים.

תרגיל 5
על מנת לבנות 8 מדרגות צריכים 5 שקי מלט. כמה שקי מלט צריכים על מנת לבנות 6 מדרגות?

פתרון
שלב א: נזהה את היחס הכתוב לנו בשאלה
היחס בין שקי המלט למדרגות הוא 5:8.
נכתוב שבר בעזרת היחס שאנו יודעים.

שלב ב: נכתוב את אותו היחס בעזרת משתנה
נגדיר
x מספר שקי המלט לבניית 6 מדרגות.
היחס בין המלט למדרגות הוא x:6.

נוסיף את היחס החדש למשוואה:

המכנה המשותף הוא 24.
נכפיל פי 24 ונקבל.

x * 4 = 5 * 3
4x = 15  / : 4
x = 3.75
תשובה: על מנת לבנות 5 מדרגות צריכים 3.75 שקי מלט.

תרגיל 6
היחס של מספר נתון ל 10 שווה ליחס בין 6 ל 4. מה המספר הנתון?

פתרון
שלב א: זיהוי היחס הנתון בשאלה
היחס בין שני מספרים הוא 6:4

שלב ב: בניית יחס בעזרת משתנה
נגדיר:
x המספר הנתון
נבנה מהיחס הידוע לנו שבר.

נשים לב שה x מתאים ל 6 מבחינת כתיבת היחס (שניהם מתוארים ראשונים במלל).
לכן x צריך להיות במונה.
נשלים את המשוואה.

נכפיל במכנה המשותף 20 ונקבל:

x * 2 = 6 * 5
2x =30  / : 2
x = 15
תשובה: המספר הנתון הוא 15.

תרגילים קשים יותר

תרגיל 7
בחנות רהיטים היחס בין הכיסאות לשולחנות הוא 7:2.
בתחילת יום מכירה היו בחנות 60 שולחנות ומתוכם נמכרו 10.
בסוף המכירה נשמר היחס בין הכיסאות לשולחנות.

  1. כמה כיסאות היו בחנות לפני המכירה.
  2. כמה כיסאות נמכרו?

פתרון
סעיף א: כמה כיסאות היו בחנות לפני המכירה
שלב א: זיהוי היחס הרשום בשאלה
היחס בין הכיסאות לשולחנות הוא 7:2.
נבנה שבר מהיחס הידוע לנו שהוא 2:7

שלב ב: בניית יחס נוסף בעזרת משתנה
מספר השולחנות בחנות הוא 60, את מספר הכיסאות אנו לא יודעים.
נגדיר:
x מספר הכיסאות בחנות בתחילת יום המכירה.
היחס בין הכיסאות לשולחנות הוא x:60

נכפיל במכנה המשותף שהוא 60 ונקבל:

x = 7 * 30 = 210
תשובה: לפני המכירה היו בחנות 210 כיסאות.

סעיף ב: כמה כיסאות נמכרו
לאחר המכירה היו בחנות 50 שולחנות והיחס היה 2:7.
נגדיר:
y  מספר הכיסאות בחנות לאחר המכירה.
בדומה לסעיף א נבנה את המשוואה הבאה.

נכפיל במכנה המשותף 50 ונקבל.
x = 7 * 25 = 175

מספר הכיסאות לאחר המכירה הוא 175.
לפני המכירה היו 210.
35 = 175 – 210
תשובה: ביום המכירה נמכרו 35 כיסאות.

תרגיל 8
מופיעה כאן בעיית קנה מידה הנפתרת כמו בעיית פרופורציה.
הפתרון בוידאו בלבד.

תרגיל 9
בחנות צעצועים יש 410 מוצרים, מתוכם 50 כדורים.
כמה כדורים צריך להוסיף לחנות על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו, כאן שאלו על מספר הכדורים שצריך להוסיף, וזה מתאים להיות המשתנה.
x  מספר הכדורים שצריך להוסיף על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
נחשב את מספר הכדורים והמוצרים במצב הרצוי.
x + 50  זה מספר הכדורים.
x + 410  זה מספר המוצרים.

המשפט שעל פיו בונים את המשוואה הוא: "היחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4".
יחס של 1:4 אומר שמספר המוצרים יהיה פי 4 ממספר הכדורים.
המשוואה היא:
x + 50) * 4 = x+ 410)

דרך אחרת היא לבנות את המשוואה כמשוואת יחס:

כאשר נכפיל את המשוואה הזו במכנה המשותף שהוא x +410)*4) נקבל את המשוואה הראשונה שכתבנו.

נפתור את המשוואה
x + 50) * 4 = x+ 410)
4x + 200 = x + 410  / -x – 200
3x = 210  / :3
x = 70

תשובה: מספר הכדורים שצריך להוסיף הוא 70.

תרגיל 10
בחנות רהיטים היחס בין מספר השולחנות למספר הכיסאות הוא 2:5.
סך הכל בחנות 49 כיסאות ושולחנות.
כמה שולחנות יש להוסיף על מנת שהיחס בין השולחנות לכיסאות יהיה 5:7?
כמה שולחנות יהיו בחנות במצב זה?

פתרון
שלב א: נמצא את מספר הכיסאות והשולחנות שיש עכשיו בחנות
2x מספר השולחנות.
5x מספר הכיסאות.

2x + 5x = 49
7x = 49
x = 7
14 שולחנות.
35 כיסאות.

שלב ב: נמצא כמה שולחנות צריך להוסיף
x מספר השולחנות שצריך להוסיף.
x + 14 הוא מספר השולחנות לאחר ההוספה.
35 הוא מספר הכיסאות.

היחס בין השולחנות לכיסאות הוא 5:7 ולכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה ב 35 ונקבל:
x + 14 = 5*5
x = 25 – 14 = 11

עלינו להוסיף 11 שולחנות.
מספר השולחנות לאחר ההוספה יהיה:
25 = 11 + 14

תשובה: כאשר נוסיף 11 שולחנות היחס בין הכיסאות לשולחנות יהיה 5:7.
מספר השולחנות במקרה זה יהיה 25.

4.שאלות פרופורציה עם 3 רכיבים

במתכון יש לשים 1 כפית תמצית וניל. 2 כפיות קפה ו- 600 גרם קמח.

  1. רשמו את הפרופורציה בין הרכיבים.
  2. אם נשתמש במתכון שבו 6 כפיות קפה. מה כמות תמצית הוניל והקמח שנצטרך להוסיף?

פתרון

סעיף א
הפרופורציה היא 1:2:600.

סעיף ב
נבדוק פי כמה הגדלנו את כמות הקפה:
כמות הקפה עלתה מ 2 ל 6 ולכן הגדלנו את כמות הקפה פי 3.

אנו צריכים להגדיל את כמות הרכיבים האחרים בדיוק באותו אופן.
תמצית וניל:
3 = 3 * 1
קמח:
1800 = 3 * 600
תשובה: אם נשתמש ב- 6 כפיות קפה נוסיף גם 3 כפיות תמצית וניל ו- 1800 גרם קמח.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

16 מחשבות על “פרופורציה ויחס”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יחס זה הנושא הגדול ויש בו מגוון יחס של שאלות. כמו קריאת יחס וחלוקה על פי יחס נתון.
      פרופורציה זה סוג מסוים של בעיות יחס.
      ההבדל בין המושגים לא צריך להטריד.

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    יש לי שאלה למה בתרגיל 3 הפכת את זה ל 30:12 הרי כתוב שצלחות ואז הכוסות לא ההפך? זה אמור להיות 12:30

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      30 כוסות, 12 צלחות.
      זה אומר שהיחס בין הכוסות לצלחות הוא 30:12
      או
      היחס בין הצלחות לכוסות הוא 12:30
      אלו שני דברים זהים.

      אם משהו הפריע צריך לחדד את השאלה.

  2. תודה על זה אבל יש לכם עוד עמודים של תירגול כי זה לא כזה הצליח לעזור לי כי זה יותר קל כי אני בכתה ח וזה מרגיש כיתה ו יש לכם קצת קשה יותר

  3. שלום, יש לי מבחן במתמטיקה מחר (אני בכיתה ח) ואני קצת מתקשה בכתיבת ההוכחות בחפיפת המשולשים יש איזשהו הסבר?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. אשתדל לעזור.
      לחפיפת משולשים יש דף עם סרטונים והסברים. כולל סרטונים המסבירים 3 רמות של שאלות בחפיפת משולשים. האם ביקרת בדף זה?
      http://www.m-math.co.il/geometry/congruence-of-triangles/
      ואם ביקרת בדף והוא לא עזר לך אשמח אם תשאיר כאן שאלה (מהדף שבאתר או שלך) שאותה אתה מתקשה לפתור.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.