חלוקה לפי יחס נתון

דף זה מחולק לחלקים על פי סוגי השאלות שאתם יכולים לפגוש.
החלקים של דף זה הם:

1. מה הן שאלות "חלוקה על פי יחס נתון"?
2. שתי דרכים לפתור תרגילים.
3. כיצד למצוא את היחס בשאלות בהן הוא לא נכתב בצורה מפורשת.
4. שאלות בהן השלם לא ידוע ואחד החלקים ידוע.
5. שאלות מהסוג: האם היחס יכול להיות?
6. תרגילים הנשענים על ידע נוסף.
7. תרגילים.

חלקים 2-3 הם החלקים החשובים של הדף.
חלקים 4,5,6 נועדו לתלמידים המעוניינים להכיר כל סוג שאלה.
התרגילים מיועדים לכולם.

• הדף הוא חלק מקורס יחס אשר באתר.

1.תקציר

לתקציר זה שני חלקים:

1. מה עליכם לדעת לפני דף זה.
2. פתרון בעיה לדוגמה בשתי דרכים.

1.מה עליכם לדעת לפני דף זה?

1.לדעת להסיק מסקנות מיחס.

לדעת שאם נתון:
היחס בין התפוחים ללימונים הוא
2:3.

אז ניתן להסיק מיכך:
היחס בין התפוחים לכלל הפירות בסלסלה הוא
2:5.
כי על כל 5 פירות יש 2 תפוחים.

השבר המייצג את כמות התפוחים בסלסלה הוא:

וגם:
3:5 הוא היחס בין הלימונים לכלל הפירות בסלסלה.
כי על כל 5 פירות יש 3 לימונים.

השבר המייצג את כמות הלימונים בסלסלה הוא:

• הסקת מסקנות מיחס הוא דף שדרכו ניתן ללמוד את הנושא.

2.לדעת למצוא חלק מתוך שלם

אם 2/3 מתך 36 פירות הם תפוחים.
אז מספר התפוחים מתקבל על ידי הכפלת החלק בשלם.

• מציאת החלק מהשלם הוא דף שדרכו ניתן ללמוד זאת.

2.פתרון בעיה לדוגמה בשתי דרכים

בחנות בגדים יש 56 פריטים שהם חולצות או מכנסיים.
היחס בין החולצות למכנסיים הוא 3:5.

דרך פתרון ראשונה
חולצות
היחס בין החולצות לכלל הפריטים הוא 3:8
3/8 הוא השבר המייצג את כמות החולצות מתוך כל הפריטים.
3/8 מתוך 56 זה מספר החולצות, החישוב נעשה כך:

21 חולצות בחנות.

מכנסיים
היחס בין המכנסיים לכלל הפריטים בחנות הוא 5:8
5/8 הוא השבר המייצג את החלק של המכנסיים.
5/8 מתוך 56 זה מספר המכנסיים, החישוב נעשה כך:

35 מכנסיים.

הערה
אם מצאנו את מספר החולצות דרך נוספת למצוא את מספר המכנסיים היא:
35 = 21 – 56

דרך פתרון שנייה
נגדיר:
3x  מספר החולצות.
5x  מספר המכנסיים.
המשוואה:
3x + 5x = 56
מכך נמצא:
x = 7
21 מכנסיים, 35 חולצות.

1.מה הן שאלות "חלוקה על פי יחס נתון"? 

בשאלות חלוקה על פי יחס נתון צריך לחלק כמות מסוימת על פי יחס נתון.

דוגמה 1
בחנות יש 100 בגדים שהם מכנסיים וחולצות.
היחס בין המכנסיים לחולצות הוא 1:3.
כמה מכנסיים וכמה חולצות בחנות?

תשובה
בתרגיל זה עלינו לחלק את ה 100 בגדים על פי יחס של 1:3.

דוגמה 2
בחנות יש 70 מדפסות ורמקולים.
היחס בין המדפסות לרמקולים הוא 8:2.
כמה מדפסות וכמה רמקולים בחנות?

תשובה
בתרגיל זה עלינו לחלק 70 ביחס 8:2.

2.שתי דרכים לפתור תרגילים

תלמיד טוב צריך לדעת את שתי השיטות. כי שתיהן שימושיות גם בסוגי תרגילים נוספים.

1.הכפלת החלק בשלם

בגינה יש רק פרחים אדומים וצהובים.
היחס בין פרחים צהובים לאדומים בגינה הוא 2:5.
בגינה 42 פרחים.
כמה פרחים אדומים וכמה פרחים צהובים בגינה?

פתרון
למה תרגיל זה נקרא "חלוקה ביחס נתון"?
כי בתרגיל זה עלינו לחלק 42 פרחים ביחס 2:5.

שלב א: מציאת החלק של הפרחים הצהובים מכל הפרחים שבחממה
היחס 2:5 אומר שעל כל 2 צהובים יש 5 אדומים.
בשרטוט זה יראה כך:

ניתן לראות שמתוך 7 פרחים יש 2 צהובים.
לכן הצהובים הם מכל הפרחים שבחממה.
ניתן גם להגיד שהיחס בין הפרחים הצהובים לכל פרחי החממה הוא 2:7.

שלב ב: חישוב מספר הפרחים הצהובים.
אנחנו צריכים לחשב כמה הם 2/7 מתוך 42.
בכיתה ו למדתם כיצד עושים זאת.

מכפילים את השבר בשלם.
אם אתם לא זוכרים את זה אתם צריכים לשנן את זה:
"מחשבים חלק מתוך שלם על ידי הכפלת החלק בשלם".

בחממה יש 12 פרחים צהובים.
מספר הפרחים האדומים הוא:
30 = 12 – 42

יכולנו גם לחשב את מספר הפרחים האדומים על ידי התרגיל:

סיכום השלבים לפתרון בדרך זו:

1. נמצא את החלק מתוך השלם. למשל, בשאלה שלמעלה החלק של הפרחים הצהובים הוא 2/7.
2. נכפיל את החלק הזה בשלם.

שימו לב שבדרך זו אין צורך להגדיר משתנה.

2.פתרון כבעיה מילולית

נפתור את אותו תרגיל בדרך נוספת:

בגינה יש רק פרחים אדומים וצהובים.
היחס בין פרחים צהובים לאדומים בגינה הוא 2:5.
בגינה 42 פרחים.
כמה פרחים אדומים וכמה פרחים צהובים בגינה?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים (זה החלק הקשה להבנה)
עלינו להגדיר את מספר הפרחים האדומים והצהובים בעזרת משתנה אחד.
אם היו אומרים שהיחס של הצהובים לאדומים הוא 1:4.
אז היינו מבינים שיש פי 4 אדומים מצהובים.
ומגדירים
x  מספר הצהובים
4x מספר האדומים.

עבור יחס של 2:5 ההגדרה היא כזו:
2x  מספר הפרחים הצהובים 
ולכן 
5x מספר הפרחים האדומים.

שימו לב שהיחס 2x:5x הוא בדיוק היחס 2:5.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה (קצר וקל)
סכום הפרחים הצהובים והאדומים הוא 42.
לכן המשוואה היא:
2x + 5x = 42
7x = 42
x = 6

2x = 2*6= 12  מספר הצהובים.
5x = 5*6 = 30  מספר האדומים.
תשובה: בגינה 12 פרחים צהובים ו 30 פרחים אדומים.

לסיכום שלבי הפתרון בדרך הם:

1. הגדרת משתנים.
2. בניית משוואה ופתרונה.

3.כיצד למצוא את היחס בשאלות בהן הוא לא נכתב בצורה מפורשת

חלק זה נכון לכל סוגי השאלות איתם נתמודד:

1. חלוקה על פי יחס נתון.
2. פרופורציה.
3. קנה מידה.

בחלק מהשאלות יתנו לנו את היחס באופן מפורש.
למשל "היחס בין הפרחים הצהובים לפרחים האדומים הוא 3:4".

אבל בשאלות בשאלות אחרות היחס לא יכתב בצורה מפורשת.
בשאלות אלו הכלל אומר שעלינו לחפש את שני הדברים שהשאלה מדברת עליהם ורוצה שנחלק לפיהם.

דוגמה 1
בכיתה ח1 יש 40 תלמידים, בכיתה ח2 יש 32 תלמידים.
רוצים לחלק 90 שעות הוראה פרטנית בין הכיתות על פי מספר התלמידים בכול כיתה.
כמה שעות הוראה תקבל כל כיתה?

פתרון
הדבר שרוצים שנחלק לפיו הוא "מספר התלמידים בכול כיתה".
לכן היחס בין תלמידי ח2 ל ח1 הוא:
32:40
ואם נחלק את את היחס ב 8 נקבל את היחס המצומצם:
4:5.

עכשיו אנו יודעים את היחס והפתרון הוא "כרגיל":
מספר שעות ההוראה שתקבל ח2:

מספר שעות ההוראה שתקבל ח1 הוא:

דוגמה 2
דני וגבי קנו זוג כרטיסים קולנוע במחיר 110 שקלים כאשר מתוכם דני שילם 70 שקלים.
בעקבות הרכישה הם קיבלו הטבה של 44 שקלים לרכישת כרטיס קולנוע נוסף.
הם רצו לחלק את ההטבה בניהם על פי הסכום שכל אחד שילם.
איזה חלק מההטבה יקבל כל אחד מיהם?

פתרון
צריך לחלק על פי "הסכום שכל אחד שילם".
היחס בין הסכום שגבי שילם לסכום שדני שילם הוא:
40:70
ואם נצמצם פי 10 נקבל את היחס:
4:7

עכשיו נוכל לחלק את 44 השקלים.
גבי יקבל:

דני יקבל:

4.שאלות בהן השלם לא ידוע ואחד החלקים ידוע

בשאלות הקודמות ידענו את את גודל הקבוצה הגדולה והיינו צריכים צריכים לחלק אותה על פי יחס נתון.
בשאלות מסוג זה נדע את הגודל של אחת הקבוצות הקטנות ונצטרך למצוא בעזרתה את הגודל של הקבוצה הגדולה.

דוגמה
בחנות פלאפל היחס בין בקבוקי המים שנמכרים למנות הפלאפל שנמכרות הוא 3:4.
ידוע כי ביום נמכרים 60 בקבוקי מים.
כמה מנות פלאפל נמכרות ביום?

פתרון
נגדיר
x  מספר בקבוקי המים ומנות הפלאפל שהחנות מוכרת.
החלק של בקבוקי המים מתוך זה הוא 3/7 והוא שווה ל 60.

לכן נוכל לבנות את המשוואה:

נכפיל ב 7 ונקבל:

3x = 420  / :3
x = 140

סך הכל נמכרים 140 מנות פלאפל ובקבוקי שתייה (שהם 60).
לכן מספר מנות הפלאפל הוא:
80 = 60 – 140

דרך שנייה לפתרון
היחס הוא 3:4.
אנו יודעים כי המספר 3 מתאים (מייצג) את המספר 60.
לכן המספר 1 מתאים ל 20 = 60:3.
והמספר 4 מתאים ל 80 = 4*20.
לכן החנות מוכרת 80 מנות פלאפל.

5.שאלות מהסוג: האם היחס יכול להיות?

פתרון של שאלות מסוג זה נשען על כך שיש דברים שחייבים להגיע ביחידות שלמות.
למשל אם נתון לנו יחס בין כדורי רגל לכדורי סל ובתשובה שאנו מקבלים אנו מוצאים כי יש בחנות 10.5 כדורי רגל ו 40.5 כדורי סל אז היחס שקיבלנו הוא לא אפשרי כי המספר המייצג כדורים חייב להיות שלם.

דוגמה
בחנות יש 20 מחברות וספרים.

1. האם יתכן שהיחס בין המחברות לספרים הוא 1:2.
2. הציעו יחס אפשרי למחברות והספרים.
3. כמה מחברות וכמה ספרים יש בחנות על פי היחס שהצעתם.

פתרון
סעיף א
ננסה לפתור את התרגיל כתרגיל רגיל. אם נקבל פתרון הכולל מספרים שלמים זה יחס אפשרי.
אם נקבל שברים הפתרון לא אפשרי.

x  מספר המחברות בחנות.
2x  מספר הספרים בחנות.
המשוואה היא:
x +2x = 20
3x = 20
x = 6.66
קיבלנו שמספר המחברות הוא לא שם. לכן יחס זה הוא לא אפשרי.

סעיף ב
אנחנו צריכים ליצור משוואה שבה x יהיה שלם.
4x = 20
5x = 20
10x = 20
אלו הם דוגמאות למשוואות שבהם x יהיה שלם.

נסתכל על המשוואה:
5x =20
היחסים:
1:4
2:3
3:2
4:1
יוצרים אותה. נוכל לבחור כל אחד מהיחסים הללו על מנת לקבל יחס אפשרי.

סעיף ג
נבחר שהיחס בין המחברות לספרים הוא 1:4.
במקרה זה:
x  מספר המחברות.
4x  מספר הספרים.

המשוואה
x + 4x = 20
5x = 20
x = 4
תשובה: מספר המחברות הוא 4, מספר הספרים הוא 16.

• האם יחס זה אפשרי? דוגמאות נוספות.

6.תרגילים הנשענים על ידע נוסף

בחלק מהתרגילים עלינו להשתמש בידע נוסף על מנת לפתור את השאלה.
לרוב הידע הוא מתחום ההנדסה.

דוגמה 1
היחס בין זוויות משולש הוא 1:2:3.
חשבו את גודל הזווית הגדולה במשולש.

פתרון
בשאלה זו עלינו להסתמך על כך שסכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות.
לכן גודל הזוויות הגדולה הוא:

דוגמה 2
היקף מלבן הוא 40 סנטימטר.
היחס בין אורך צלעותיו הוא 2:3.
חשבו את אורך הצלעות.

דרך פתרון ראשונה
נגדיר:
2x אורך הצלע הקצרה.
3x אורך הצלע הארוכה.

היקף המלבן הוא פעמיים כל צלע.
לכן המשוואה היא:
2x + 2x + 3x + 3x = 40
10x = 40
x = 8

2x = 2* 4 = 8   זה אורך הצלע הקצרה בסנטימטר.
3x = 3*4 = 12  אורך הצלע הארוכה בסנטימטר.

דרך פתרון שנייה
היקף המלבן הוא 40 סנטימטר.
לכן אורך הצלע הארוכה והצלע הקצרה ביחד הוא 20.

מתוך 20 החלק של הצלע הקצרה הוא 2/5.

מתוך 20 החלק של הצלע הארוכה הוא:

7.תרגילים

בחלק זה 9 תרגילים.
התרגילים מגוונים וכוללים מכשולים שונים.
תרגילים 8-9 קשים יותר ולא נלמדו קודם לכן בדף.

תרגיל 1
בחממה 40 פרחים. חלקם אדומים וחלקם צהובים. היחס בין הפרחים האדומים לצהובים הוא 3:5. מה מספר הפרחים האדומים בחממה?

תרגיל 2
בסט מזלגות וכפות יש 60 פריטים.
היחס בין מספר המזלגות למספר הכפות הוא 1:2.
כמה מזלגות וכמה כפיות בסט?

תרגיל 3
במשולש היחס בין הזוויות הוא 2:5:3. מה גודלה של כל זווית?

תרגיל 4  (תרגיל שונה משלושת הקודמים).
בכיתה היחס בין נועלי הנעליים לנועלי הסנדלים הוא 4:3.
ידוע כי 15 תלמידים נועלים סנדלים.
מצאו כמה תלמידים בכיתה וכמה מתוכם נועלים נעליים.

תרגיל 5 (יחס הכולל 3 מספרים)
היחס בין מספר התלמידים בכיתות ח1, ח2, ח3 הוא 5:4:6.
בשלושת הכיתות יש 90 תלמידים.
כמה תלמידים בכיתה ח3.

תרגיל 6 (שאלה הנראית קשה יותר, יחס במספרים גדולים)
בשכבת כיתה ח יש 200 תלמידים. בשכבת כיתה ט יש 250 תלמידים.
בית הספר קיבל 18 תמונות ומחליט לתלות אותם במסדרונות של השכבות באופן יחסי לגודל השכבות.
כמה תמונות יתלו בכול מסדרון?

תרגיל 7
בישוב יש 1500 גברים ו 1800 נשים.
הישוב זה בפרס של 1,000,000 שקלים שיחולק לקבוצת הנשים וקבוצת הגברים על פי גודלם היחס.
כמה כסף תקבל כל קבוצה?

*תרגיל 8
בקופסה יש 990 פיצוחים.
הפיצוחים מחולקים לשקיות בהם יש 20 שקדים או 30 אגוזים.
היחס בין שקיות האגוזים לשקדים הוא 1:3.

1. כמה אגוזים יש בקופסה?
2. כמה שקיות אגוזים וכמה שקיות שקדים בקופסה?

*תרגיל 9
בחנות כלי בית יש סטים של צלחות בהם יש 7 צלחות בכול סט. 
וסטים של כוסות, בהם יש 5 כוסות בכול סט.
היחס בין הסטים של הכוסות לסטים של הצלחות הוא 1:2.
בסך הכל יש בחנות 190 צלחות וכוסות. 
כמה כוסות יש בחנות?

• מתמטיקה לכיתה ח, הסברים ותרגילים לחומר הלימוד של שנה זו.