חוקי שורשים

חוקי שורשים הם המשכם הישיר של חוקי חזקות – משום שכל שורש ניתן להציג כחזקה שהיא שבר.

הדף הזה הוא דף מסכם וכולל תרגילים מכל הסוגים.

בדף זה 6 חלקים:

1. סיכום וידאו.
2. חוקי שורשים כללים בסיסיים.
3. חוקי שורשים תרגילים בסיסיים.
4. הכנסת מספר אל תוך השורש.
5. הוצאת מספר מתוך השורש.
6. סדר פעולות חשבון עם שורשים.
7. חישוב שורש שאינו שני.
8. שילוב של חוקי חזקות וחוקי שורשים.
9. שילוב של נוסחאות הכפל המקוצר וחוקי שורשים.

חלקים 4-5 מתאימים לרמת 5 יחידות בלבד.

חלקים 1,4,5,6 הם למנויים.

ניתן ללמוד את הנושאים הללו מהדף או מהקישורים שלמעלה.

1.סיכום וידאו

2.כללים בסיסיים 

1.שורש הוא פעולה ההפוכה לחזקה:

למשל, מכוון ש:

10² = 100

אז

√100 = 10

דוגמאות נוספות:

√4 = 2

√25 = 5

√64= 8

2.תוצאת השורש תמיד חיובית

למרות שגם

(-10)² = 100

לא ניתן לכתוב:

√100 = -10

וזה בגלל שההגדרה של פעולת השורש היא תוצאה חיובית בלבד.

3.למספרים שליליים אין שורש

למשל:

√-9

הוא תרגיל שאין לו תשובה.

כי אמרנו שעל מנת למצוא שורש עלינו לענות על השאלה:

"איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 9-"?

ואין מספר שבחזקת 2 נותן תוצאה שלילית.

4.את השורש ניתן לכתוב כחזקה בצורה הבאה:

4.ניתן לכתוב שורש בצורה של חזקה

עליכם לדעת כי שורש שני של מספר שווה לחזקת ½.

√x = x^0.5

√8 = 8^0.5

הדבר ישמש אותנו כדי לכתוב שורש בצורה של חזקה ואז לפתור את התרגיל בעזרת חוקי חזקות.

חוק החזקות המתאים לתרגילים הבאים הוא:

a^m * aⁿ = a^{m + n}

דוגמה 1

√8 * √8 = 8^0.5 * 8^0.5

8^{0.5 + 0.5} = 8¹ = 8

דוגמה 2

√x * √x = x^0.5 * x^0.5

x^{0.5 + 0.5} = x¹ = x

5.סדר פעולות חשבון עם שורש

אם יש מספר איברים בתוך השורש קודם מבצעים את הפעולות בתוך השורש על פי סדר פעולות חשבון.

לאחר מיכן מבצעים את פעולת השורש.

ולאחר מיכן מבצעים את 4 פעולות חשבון.

לדוגמה:

6.שורש כפול עצמו

כאשר יש לנו שורש של ביטוי כפול שורש של אותו ביטוי התוצאה היא הביטוי שהיה בתוך השורש.

דוגמה 1

√7 * √7  = 7

דוגמה 2

√x * √x  = x

7.שילוב של שורש עם חזקה

כאשר יש שורש וחזקה יחד צריך לבצע אותן, לא ניתן לבטל אותן אוטומטית.

למשל:

√(7²) = √49 = 7

אבל לא ניתן להתעלם מהפעולות ולתת להם לבטל אחת את השנייה.

צריך לבצע את שתיהן כי לפעמים התשובה לא תהיה המספר ההתחלתי.

כפי שקורה כאשר זו חזקה זוגית על מספר שלילי.

√(-5)² = √25 = 5

שתי דוגמאות נוספות למצבים בהם השורש והחזקה לא מבטלים אחד את השני:

אם החזקה היא רק על חלק מהשורש, לדוגמה:

כאשר הביטוי שבתוך השורש כולל משתנים לא ניתן לבטל את החזקה:

שתי שאלות שנשאלתי:

1.האם הביטוי x-√ הוא ביטוי מוגדר?

בחלק מהמקרים כן.

כאשר x הוא מספר חיובי הביטוי בתוך השורש שלילי ואז אנו מקבלים ביטוי לא מוגדר.

לעומת זאת, כאשר x שלילי הביטוי בתוך השורש חיובי. וניתן לקבל תוצאה.

למשל:
x = -9

√(-x) = √(- -9) = √9 = 3

2.כאשר x שלילי מה יהיה ערך הביטוי x²√

הערך יהיה חיובי.

על פי סדר פעולות חשבון נעלה את המספר השלילי x בריבוע.
נקבל מספר חיובי (כי כל מספר בחזקת 2 הוא חיובי).
כאשר נוציא שורש למספר חיובי נקבל מספר חיובי.

לסיכום
√x²

.הוא ביטוי מוגדר וחיובי תמיד

8.חיבור וחיסור של אותו שורש

חלק זה מיועד לתלמידי 4-5 יחידות.

כאשר יש לנו את אותו שורש ניתן לחבר או לחסר אותו.

דוגמאות

3√2 + 6√2 = 9√2

7√5 – 4√5 = 3√5

√x + 3√x = 4√x

• חיבור חזקות הוא דף המסביר כיצד לחבר חזקות, חיבור שורשים נעשה בצורה דומה מאוד.

3.הוצאת מספר מתוך השורש

• הוצאת מספר מתוך השורש.

משתמשים בו על מנת להפריד בין שני ביטויים בתוך שורש (עם כפל בניהם).

דוגמה 1

√(4x²) = √4 * √x² = 2 * x = 2x

דוגמה 2

הסיבה שפרקנו את 40 ל
10 * 4
היא שלמספר 4 יש שורש שלם.

יכולנו לפרק את המספר 40 גם ל:
8 * 5
אבל אז לא היינו יכולים להוציא שורש שלם, כך זה היה נראה:

4.הכנסת מספר לתוך השורש

• הכנסת מספר אל תוך השורש.

על מנת להכניס מספר לתוך שורש עלינו להעלות אותו בריבוע.

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3

√x * √x = √(x * x) = √x² = x

 

שני הכללים הללו הם בעצם חוק החזקה:

(a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ

תרגילים

בכל התרגילים אנו יודעים ש x חיובי. ולכן מתקיים:

בתרגילים הראשונים השתמשו בכלל:

√(25x²)

√(10x²)

√(100x⁴)

 

בתרגילים הבאים השתמשו בכלל:

 

3√x * 4√x =

√(6x) * √x

√(32x) * √(2x) =

החלקים הבאים בדף הם למנויים.