חישוב נפח גליל, שטח פנים ומעטפת

בדף זה נכיר את הגליל ונלמד לחשב נפח ושטח פנים של גליל.

החלקים של דף זה הם:

1. נוסחת נפח גליל.
2. שטח פנים של גליל.
3. תרגילים המתאימים לבית הספר היסודי (תרגילים 1-3).
4. תרגילים לבית הספר היסודי ולחטיבה (תרגילים 4-5).
5. תרגילים לחטיבת הביניים (תרגילים 6-11).

1.נפח גליל

גליל נוצר על ידי שני עיגולים זהים ומקבילים והנפח המחבר בניהם (זו הגדרה שאינה מדויקת ואינה מתמטית אבל מסבירה מה הוא הגוף).

נפח גליל הוא שטח העיגול הבסיס כפול גובה הגליל.

V=₶*R²*h – נפח גליל.
V=₶*R*R*h  כתיבת נוסחת הנפח ללא חזקה.
P=2₶*R * h – שטח מעטפת.
2₶R² +2₶*R * h – שטח פנים.

דוגמה לחישוב נפח גליל.
בגליל רדיוס הבסיס הוא 10 סנטימטר.
וגובה הגליל הוא 5 סנטימטר.
חשבו את נפח הגליל.

פתרון
שטח בסיס הגליל הוא:
S = ₶ * r * r
S = 3.14 * 10*10
S = 31.4 *10 = 314
שטח הבסיס הוא 314 סמ”ר.

נכפיל את שטח הבסיס בגובה ונקבל את הנפח:
V = 314 * 5 = 1570
תשובה: נפח הגליל 1570 סמ”ק.

דוגמה 2
שטח בסיס גליל הוא 9 סמ”ר.
גובה הגליל הוא 5 סנטימטר.
חשבו את נפח הגליל.

פתרון
נוסחת נפח גליל היא:
V=2₶R*h
כאשר:
₶R² הוא שטח הבסיס שגודלו 9 סמ”ר.

לכן נפח הגליל הוא:
V = 9 * 5 = 45
תשובה: נפח הגליל הוא 45 סמ”ק.

נפח גליל לעומת נפחים של צורות אחרות 

כל הצורות שיש להם בסיסים זהים למעלה ולמטה (תיבה, מנסרה משולשת, גליל) מחשבים את נפחם על ידי שטח הבסיס כפול הגובה.
הצורות שמסתיימות בנקודה (פירמידה, חרוט) מחשבים את נפחם כשטח בסיס כפול הגובה חלקי 3.

2.שטח פנים של גליל

בנושא גליל שואלים בעיקר על נפח, ולפעמים שואלים גם על שטח פנים.

הנוסחה
אם:
R הוא רדיוס בסיס הגליל.
h הוא גובה הגליל.

אז שטח הפנים של הגליל הוא:
2₶R * h + 2₶ * r * r

הסבר לנוסחה ניתן למצוא בוידאו. אבל זה לא הסבר קל להבנה.

דוגמה
גובה גליל הוא 20 סנטימטר,
רדיוס בסיס הגליל שווה ל 5 סנטימטר.
חשבו את שטח הפנים של הגליל.

פתרון
הנתונים שלנו הם:
h =20
R = 5
נציב בנוסחה:
S = 2₶R * h + 2₶ * r * r
S = 2₶ *5* 20 + 2*₶ * 5*5
S = 200₶ + 50₶ = 250₶

ניתן לרשום את התשובה כך
250₶ סמ”ר.
או להכפיל ב 3.14 ולקבל
S = 250 * 3.14 = 785
תשובה: שטח הפנים 785 סמ”ר.

הסבר לנוסחת שטח פנים
S = 2₶R * h + 2₶ * r * r
את נוסחת שטח הפנים ניתן להבין כאשר רואים את הפריסה של הגליל.
פריסה של גליל כוללת שני עיגולים (שאתם רואים בצדדים) שהם בסיסי הגליל.
השטח של שני העיגולים הללו הוא:
2₶r * r

ואילו החלק של גוף הגליל נפרס בצורה של מלבן.
אורך צלע אחת של המלבן היא 2₶R (היקף המעגל) ואורך צלע שנייה היא h (גובה הגליל).

3.תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• חישוב נפח גליל, שטח פנים ומעטפת תרגילים

1. תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים. מתאימים לבית ספר יסודי.
2. תרגילים 4-5 הם תרגילים “הפוכים” בהם נתון הנפח וצריך למצוא את הגובה / רדיוס. אלו תרגילים המתאימים לבית ספר יסודי וחטיבת הביניים.

לתרגילים 1,3 יש גם פתרון וידאו.

תרגיל 1: מציאת הנפח בעזרת הרדיוס והגובה
נתון גליל שרדיוס בסיסו הוא 5 ס”מ. וגובהו 10 ס”מ.
חשבו את הנפח ושטח הפנים שלו.

תרגיל 2: (כמו תרגיל 1)
חשבו את הנפח ואת שטח הפנים של גליל שרדיוסו 10 וגובהו 7 ס”מ.

תרגיל 3: חישוב נפח על פי שטח הבסיס
שטח הבסיס של גליל הוא 8₶. גובה הגליל הוא 6 ס”מ.
חשבו את נפח הגליל.

תרגילים הפוכים – קשים יותר

תרגיל 4: מציאת הגובה בעזרת הנפח ושטח הבסיס
נתון כי נפח גליל הוא 24 סמ”ק וכי שטח הבסיס הוא 6 סמ”ר.
חשבו את גובה הגליל.

תרגיל 5: נתון נפח הגליל וגובה, מצאו את הרדיוס
נפח גליל הוא 200₶. גובה הגליל הוא 8 ס”מ.
חשבו את רדיוס הגליל.

4.תרגילים לחטיבת הביניים

תרגיל 6: מלבן חסום בגליל
מלבן חסום בגליל כך שצלעו עוברת דרך מרכז בסיס הגליל.
אורך הצלע AB הוא 6 ס”מ. נפח הגליל הוא 45₶.
חשבו את שטח המלבן.

תרגיל 7: מה תורם יותר לנפח גליל, רדיוס או גובה?
בבית משפחת כהן שני קנקני מים בצורת גליל. קנקן אחד גבוה פי 3 מהקנקן השני אך רדיוסו קטן פי 3 מהקנקן השני. מצאו באיזה קנקן יש כמות מים גדולה יותר.

תרגיל 8
לקנקן מים בצורת גליל שגובהו 25 ס”מ ורדיוס בסיסו הוא 4 ס”מ. מוזגים 150₶ סמ”ק מים.
לאיזה גובה בכלי יגיעו המים?

תרגיל 9: כאשר הגובה או הרדיוס קטנים / גדלים פי…

מה קורה ל:

1. נפח.
2. שטח מעטפת.
3. שטח פנים.

כאשר מגדילים או מקטינים את הגובה או הרדיוס פי 2?

תרגיל 10: תיבה חסומה בגליל
(לתלמידי כיתה ח ומעלה, כולל משפט פיתגורס).
תיבה מלבנית שאורכי צלעות בסיסה הם 6 ו 8 ס”מ חסומה בתוך גליל שגובהו 5 ס”מ.
חשבו את נפח התיבה ונפח הגליל.
חשבו את נפח החלל הנמצא בין התיבה לבין הגליל.
הערה: מרכז המעגל של בסיס הגליל נמצא בנקודת מפגש אלכסוני המלבן ואלכסוני המלבן חוצים זה את זה.

תרגיל 11: כיצד מילוי של גליל וחרוט נראים בגרף?
משני ברזים שזרימתם שווה וקבועה ממלאים גליל וחרוט במים.

1. כיצד לדעתכם יראה גרף המתאר את גובה המים בכלים ככול שעובר הזמן? הסבירו את הגרפים.
   (שרטטו כל גרף בנפרד ואל תנסו להשוות את כמות המים בין החרוט לגליל).
2. כיצד הגרפים היו משתנים אם הגרף היה של כיצד כמות המים משתנה ככול שעובר הזמן?
3. כיצד הגרפים היו משתנים אם עוד לפני תחילת המילוי היו בגליל ובחרוט מים?
4. כיצד גרף החרוט היה משתנה אם החרוט היה הפוך? (אם החלק הצר למטה והרחב למעלה).

פתרון התרגיל

רוחב הגליל זהה לכול אורכו ולכן קצב העליה של המים בגליל הוא קבוע.
משוואת ישר היא הגרף המתאר עליה בקצב קבוע.

החרוט רחב בהתחלה והולך ונעשה צר.
לכן ככול שהזמן עובר עליית המים הופכת מהירה יותר וזה מתבטא בקצב עליה מהיר יותר ככול שעובר הזמן.

2. מכוון שהברזים מספקים כמות קבועה ושווה של מים הקצב שבו גדלה כמות המים היא קבועה. והגרף המתאר זאת הוא גרף ישר.

אם היו מים בכלים עוד לפני תחילת המילוי הגרפים לא היה מתחילים בנקודה 0,0 אלא בנקודה גבוהה יותר על ציר ה y.

אם החרוט היה הפוך קצב עליית המים היה מהיר בהתחלה והופך להיות איטי יותר ככול שעור הזמן.

שרטוט פריסה של גליל

שטח הפנים של הגליל הוא היקף העיגול כפול גובה הגליל. ניתן להבין את נוסחה זו טוב יותר אם פורסים את הגליל ורואים שמתקבל מלבן שבו האורך הוא היקף הבסיס והגובה הוא רוחב המלבן.

עוד באתר:

• מבחן בנושא נפח גליל.
• נפח תיבה, הסברים ותרגילים כיצד מחשבים.
• נפחים נוסחאות, כיצד מחשבים נפחים של גופים שונים.