בדף זה נלמד את משפט הסינוסים, משפט חשוב בטריגונומטריה.
לדף זה 7 חלקים:
- הסבר וידאו למשפט הסינוסים + טכניקות שהם מעבר לבסיס.
- הסבר כתוב למשפט הסינוסים.
- מספר הפתרונות של משוואה טריגונומטרית.
- תרגילים.
- תרגילים עם יחס בין צלעות או מכשול אחר.
- תרגילים עם שני נעלמים.
- תרגילים מהבגרות.
1.הסבר וידאו למשפט הסינוסים
בחלק זה שני סרטונים.
הסרטון הראשון מסביר את משפט הסינוסים ומדגים חישובים בסיסיים.
הסרטון השני מסביר מצבים מעט יותר קשים: מציאת זווית בעזרת יחס צלעות ושימוש במשולש סמוך.
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
2.הסבר למשפט הסינוסים
משפט הסינוסים הוא משפט המאפשר לנו להשתמש בפונקציית הסינוס גם במשולשים שאינם ישרי זווית.
משפט הסינוסים אומר שצלע במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה שווה לצלע אחרת במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה.
וזה גם שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
מתי משתמשים במשפט הסינוסים?
משתמשים במשפט הסינוסים כאשר נתונים לנו במשולש :
- שתי זוויות וצלע
- שתי צלעות וזווית
- זווית ורדיוס המעגל החוסם או צלע ורדיוס המעגל החוסם.
ובנוסף:
כאשר מבקשים מאיתנו למצוא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש משפט הסינוסים הוא דרך למצוא את הרדיוס גם בלי לשרטט את המשולש.
3.מספר הפתרונות של משוואה טריגונומטרית
כאשר אנו משתמשים במשפט הסינוסים אנו יכולים לקבל משוואה טריגונומטרית הנראית כך:
sin x = 0.5
כאשר x היא זווית במשולש.
ומכוון שזווית במשולש נמצאת בתחום
0 < x < 180
זה גם התחום שבו נחפש את פתרונות המשוואה.
הפתרונות הם:
x = 30 או x = 150.
כיצד נדע אם שני הפתרונות נכונים? רק פתרון אחד נכון?
על כך הסבר בסרטון או בקישור: מספר הפתרונות של משפט הסינוסים.
עוד באתר:
- משפט הקוסינוסים – תיאוריה ותרגילים.
- טריגונומטריה – הדף המרכזי בנושא הכולל קישורים לדפים נוספים.
- בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
- בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
4.תרגילים
תרגילים 1-6 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 7-8 משלבים את תכונות המרובעים.
תרגילים 9-11 הם תרגילים הכוללים מכשולים שונים.
לאחר מיכן 3 תרגילים הדורשים שימוש בשני משתנים. תרגילים אלו מיועדים לתלמיד 5 יחידות.
תרגיל 1: בסיסי, מציאת זווית
נתון משולש שאחת הזוויות בו היא 40 מעלות ומולה צלע באורך 9 ס”מ.
צלע אחרת במשולש היא 5 ס”מ.
חשבו את זוויות המשולש.
הנחייה: הגדירו את הזווית שמול הצלע שאורכה 5 ס”מ כ x והשתמשו במשפט הסינוסים.
על פי משפט הסינוסים:
אנו מעוניינים לבודד את sin x בצד אחד של המשוואה.
לכן נכפיל במכנה המשותף sin x * sin 40.
ונחלק ב 9.
נקבל:
sin x = 0.357
למשוואה זו יש שני פתרונות
x=20.9
x = 180 – 20.9 = 159.1
הזווית x נמצאת מול צלע שגודלה 5 ויש במשולש צלע שגודלה 9.
לכן הזווית x לא יכולה להיות הזווית הגדולה במשולש.
לכן הפתרון x = 159.1 נפסל.
הזווית השלישית היא:
119.1 = 180-40-20.9
תשובה: זוויות המשולש הן 20.9, 40, 119.1
תרגיל 2 (בסיסי, מציאת זווית)
במשולש BC = 10, AB = 6
זווית C = 35
- חשבו את זווית A.
- חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
סעיף א: חישוב זווית A
על פי משפט הסינוסים ניתן לבנות את המשוואה
נכפיל במכנה המשותף sin x* sin 35
וגם נחלק ב 6 ונקבל:
sin x = 0.955
לכן
x = 72.9
או
x = 107.1
האם שתי התשובות יכולות להיות נכונות?
כן. הזווית x נמצאת מול הצלע הגדולה, לכן זו גם יכולה להיות הזווית הגדולה במשולש.
תשובה: x = 72.9 או x = 107.1
סעיף ב: רדיוס המעגל החוסם
על פי משפט הסינוסים ניתן לבנות את המשוואה
R = 5.23
תרגיל 3: מציאת צלע ורדיוס המעגל החוסם
במשולש ABC נתון
BC = 15
CBA = 60, BCA = 40
- חשבו את הצלע AB.
- חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
סעיף א
על מנת להשתמש במשפט הסינוסים עלינו למצוא את הזווית שמול הצלע שאנו יודעים.
A = 180 – 60 – 40 = 80
נשתמש במשפט הסינוסים:
תשובה: AB = 9.79
סעיף ב: מציאת רדיוס המעגל החוסם
על פי משפט הסינוסים:
תשובה: רדיוס המעגל החוסם הוא 7.615.
תרגיל 4
נתון משולש שווה שוקיים שבו אורך השוק הוא 20 ס”מ ואורך הבסיס הוא 15 ס”מ.
חשבו את זוויות המשולש.
נגדיר
x גודל זווית הבסיס
A = 180- 2x על פי סכום זוויות במשולש.
עבור פונקציית הסינוס מתקיים:
sin (180 -2x) = sin 2x
לכן על פי משפט הסינוסים:
נשתמש בזהות הטריגונומטרית:
sin 2x = 2sin x cos x
נכפיל את המשוואה במכנה המשותף
sin x * sin 2x
ונקבל:
2sin x cos x * 20= 15 sin x
מכוון שבמשולש sin x≠0 (משום שזוויות 0,180 לא קיימות במשולש), ניתן לחלק ב- sin x.
40cos x = 15 / :40
cosx=0.375
x=68
תשובה: זווית הבסיס היא 68 מעלות. זווית הראש 44 מעלות.
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
היי, אם נתון שלוש זוויות ושטח יש אפשרות לפתור את התרגיל?
שלום
כן.
אפשר להגדיר את שתי הצלעות הסמוכות כשני משתנים ואז לבנות שתי משוואות.
משוואה אחד בעזרת השטח ומשוואה שנייה בעזרת משפט הסיניסים.
מה קורה אם יש לי את כל הזוויות וצלע אחת שמסומנת ב-x?
שלום
אז ניתן להגדיר את כל שאר הצלעות באמצעות x.
איך אני מגיעה לשתי פתרונות של מציאת זווית לפי משפט הסינוסים?
שלום
כאשר מתקבלת משוואה כמו :
sin x = 0.5
יש לה שני פתרונות בתחום 0-180.
x = 30
x = 150
מה אם נתון לי צלע אחת זווית אחת?
שלום
צריך נתון נוסף. רדיוס המעגל החוסם או משהו אחר.
היי שלוםם
יכולים להיות שתי פתרונות של זווית מסוימת במשפט הסינוסים?
אם כן, אז כיצד?
שלום
בחלק מהמקרים שתי זוויות הן הפתרון
כי
sin a = sin (180 -a)
מוסבר בהתחלה.
לא הבנתי בסרטון הראשון איך מבודדים
יש לזה סרטון הסבר?
תודה רבה אתר תותח.
שלום
איך מבודדים משתנה במשוואה ניתן ללמוד בדף של משוואה עם מספר במכנה
https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/equation-with-one-variables/
או משתנה במכנה
https://www.m-math.co.il/algebra/math-word-problems/problems-variable-in-denominator/
וואו תודה רבה על הזמינות עזרת לי מאד תודה ענקית.
מה הכוונה שני פתרונות? הרי כשאני מקליד במחשבון אני מקבל פתרון יחיד
שלום
המחשבון לא נותן את כל הפתרונות של משוואה טריגונומטרית.
מוסבר בדף ובסרטון מתי יש שני פתרונות, אפשר לשאול שאלות מדויקות על ההסבר.
יש בעיה בתרגיל 10 הנתונים בתרגיל עצמו לא תואמים לנתונים על הסרטוט של המשולש
תודה רבה על התיקון!
האתר הזה עוזר ממש
תודה
משפט הסינוסים נכון גם לגבי מעגל שחסום בתוך מרובע?
שלום
משפט הסינוסים מדבר על משולש.
אבל כל מרובע ניתן להתעלם מקודקוד אחד שלו, להעביר אלכסון וכך לקבל משולש חסום במעגל שבו ניתן להשתמש במשפט הסינוסים.
שלום,
האם יש לכם עמוד שיכול ללמד איך לקרוא שאלה נכון?
שלום
כרגע אין עמוד כזה. אבל ככל שתתרכזי בנושא של בניית משוואה זה יעזור לך. כיצד בונים משוואה זה החלק החשוב.
זה נלמד בתחילת הדרך בנושא של בעיות מילוליות ודפים כאלו יש הרבה באתר.
שלום
משולש רגיל abc
Ac=19.65
זוית abc=71 מעלות
(המשך השאלה הוסר מהאתר).
שלום אוריאל
אלו נתונים שבעזרתם ניתן לבנות משוואה וכאן בדף יש לך דוגמאות איך לעשות את זה.
אם יש שאלה ממוקדת על הדף ניתן לשאול.
שלום,
בנושא “משפט הסינוסים”, בתרגיל 8: משפט הסינוסים והקוסינוסים בטרפז שווה שוקיים, עלתה לי בעיה:
כשמנסים למצוא את BD ומשתמשים בנוסחת הקוסינוסים במשולש ABD:
∠A=180-50=130 – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות.- זה היה הגיוני. מכאן, שהזווית שנשים בתרגיל עם משפט הקוסינוסים הוא:
BD²=12²+6²-2*6*12* cos 130
אז למה עשית בפתרון התרגיל ש:
BD²=12²+6²-2*6*12* cos 50
מאיפה ה COS50 הגיע?
תודה רבה:-)
תודה רבה מוריה על התיקון. זו הייתה טעות.
תודה
תודה לך! האתר הזה עוזר לי המון!
האם מותר להשתמש במשפט הסינוסים והקוסינוסים בגאומטריה?
שלום
אני מניח שהכוונה היא במהלך בחינות הבגרות.
בנוגע להנחיות משרד החינוך אני לא יכול לענות, ההנחיות משתנות.
הפתרון של תרגיל 2 נראה לא נכון? למה לא שמים 180-2x בסינוס השני אלא 2X?
שלום
יש זהות האומרת (sin 2x = sin (180 – 2x
ונעשה בה שימוש בפתרון.
הוספנו הסבר לזהות הזאת במהלך הפתרון.
תודה על תשומת הלב.