ערך מוחלט

בדף זה נכיר את הערך המוחלט ונלמד לפתור תרגילים.
הדף מיועד לתלמידי כיתה יא ברמת 5 יחידות.
אבל חלקים ממנו נלמדים כבר בכיתה ח.

כך שאני מציע שתלמדו על פי הנדרש בכיתה.

לדף 4 חלקים:

  1. תקציר.
  2. ערך מוחלט של מספרים חיוביים ושליליים.
  3. משוואות עם ערך מוחלט.
  4. תרגילים.

1.תקציר

הגדרה
הערך המוחלט של מספר הוא המרחק של המספר מנקודת ה 0.
7 = Ι7Ι
10 = Ι-10Ι

פתרון משוואות
כאשר אנו רוצים לפתור משוואה הכוללת ערך מוחלט המטרה שלנו היא "להסיר" את הערך המוחלט ולפתור את המשוואה ללא ערך מוחלט.

כאשר אנו יודעים שהביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי אנו יכולים להסיר את הערך המוחלט ללא לשנות שום דבר.
למשל:

Ιx+2Ι = 5

פתרון
כאשר
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2
אז ניתן להשמיט את הערך המוחלט מבלי לשנות שום דבר אחר המשוואה.
x + 2 = 5
x = 3
(והפתרון נמצא בתוך התחום x ≥ -2 לכן הפתרון x = 3 תקף).

לעומת זאת כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים שלילי
x + 2 < 0
x < -2
יש לשים מינוס לפני הביטוי על מנת לבצע את אותה פעולה שביצע הערך המוחלט ולהסיר את הערך המוחלט.
x + 2) = 5)-
x – 2 = 5-
x = 7-
x = -7
גם פתרון זה נמצא בתחום המבוקש.
תשובה: x = 3,  x = -7.

2.ערך מוחלט של מספרים חיוביים ושליליים

הערך המוחלט של מספר כלשהו הוא המרחק של מספר כלשהו לבין ה 0 על ציר המספרים.

הערך המוחלט הוא תמיד מספר חיובי.

הערך המוחלט של 4 הוא 4 והערך המוחלט של 4- הוא גם כן 4.

דוגמאות נוספות לערכים מוחלטים של מספרים חיוביים:
7 = Ι7Ι
2 = Ι2Ι
3 = Ι3Ι

אנו רואים שכאשר המספר חיובי הערך המוחלט לא משנה את המספר.
מכך ניתן להסיק שכאשר
x>0
אז
ΙxΙ = x.
(ובמילים: כאשר x חיובי הערך המוחלט של x שווה ל x).

דוגמאות נוספות לערכים מוחלטים של מספרים שליליים
7 = Ι-7Ι
10 = Ι-10Ι
1 = Ι-1Ι

אנו רואים שכאשר המספר שלילי הערך המוחלט משנה את הסימן של המספר.
מכך ניתן להסיק שכאשר
x<0
אז
ΙxΙ = – x.
(ובמילים: כאשר x שלילי הערך המוחלט של x שווה למינוס x).

3.משוואות עם ערך מוחלט

בתרגילים אם ערך מוחלט המטרה היא להסיר את הערך המוחלט ולפתור את התרגיל כתרגיל "רגיל" ללא ערך מוחלט.
כיצד מסירים את הערך המוחלט?

דוגמה
Ιx+2Ι = 5

פתרון
כאשר
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2
אז ניתן להשמיט את הערך המוחלט מבלי לשנות שום דבר אחר המשוואה.
x + 2 = 5
x = 3
(והפתרון נמצא בתוך התחום x ≥ -2 לכן הפתרון x = 3 תקף).

כאשר
x + 2 < 0
x < -2
יש לשים מינוס לפני על מנת להסיר את הערך המוחלט.
x + 2) = 5)-
x – 2 = 5-
x = 7-
x = -7
גם פתרון זה נמצא בתחום המבוקש.
תשובה: x = 3,  x = -7.

4.תרגילים

התרגילים מיועדים לתלמידי כיתה יא ברמת 5 יחידות.
שני התרגילים הראשונים פשוטים.
התרגיל השלישי כולל משוואה ריבועית.
התרגיל הרביעי כולל שבר בערך מוחלט.

תרגילים 5-6 כוללים יותר מערך מוחלט אחד וככל הידוע לי הם מחוץ לתוכנית הלימודים בבית ספר.

  1. Ιx-10Ι = 4
  2. Ι2x + 6Ι = 1
  3. Ιx²-11Ι = 5
  4. ΙΙ2x+2Ι + x-1Ι=7
  5. ΙΙ2x+4Ι + Ιx-1ΙΙ=10

פתרונות

תרגיל 1
Ιx-10Ι = 4

פתרון
כאשר
x – 10 ≥ 0
x ≥ 10

אז:
x -10 = 4
x = 14
הפתרון הזה נמצא בתחום המבוקש.

אפשרות 2
כאשר:
x – 10 < 0
x < 10
אז:
x – 10) = 4)-
x + 10 = 4-
x = -6-
x =6
הפתרון הזה נמצא בתחום המבוקש.

תרגיל 2
Ι2x + 6Ι = 1

פתרון
כאשר
2x + 6 ≥ 0
x ≥ -3

אז ניתן להשמיט את הערך המוחלט בצורה הזו:
2x + 6 = 1
2x = -5
x = -2.5
הפתרון הזה נמצא בתחום המבוקש.

אפשרות 2
כאשר:
2x + 6 < 0
x < -3
אז משמיטים את הערך המוחלט בצורה הבאה:
2x + 6) = 1)-
2x – 6 = 1-
2x = 7-
x = -3.5
הפתרון הזה נמצא בתחום המבוקש.

תשובה: שני הפתרונות שקיבלנו הם בתחום המותר להם ולכן הפתרונות הם: x = -2.5,  x = -3.5

תרגיל 3
Ιx²-11Ι = 5

פתרון
אפשרות ראשונה
x² – 11 ≥ 0
x² ≥ 11
x ≥ √11  או   x ≤ -√11

x² – 11 = 5
x² = 16
x =4  או x = -4
(שני הפתרונות נמצאים בתחום).

אפשרות שנייה
x² – 11 < 0
x² < 11

במקרה זה המשוואה היא:
x² – 11) = 5)-
x² + 11 = 5-
x² = -6-
x² = 6
x = √6 = 2.5  או    x = -2.5
(שני הפתרונות נמצאים בתחום).

תשובה: x =4  או x = -4.  x = 2.5  או    x = -2.5

תרגיל 4

פתרון
אנו יכולים להוריד את הערך המוחלט בצורה הזו כאשר המונה והמכנה חיוביים או כאשר המונה והמכנה שליליים.

x – 2 > 0
x > 2
וגם

התחום המשותף לשני האי שוויונות הללו הוא:

נחזור לפתרון המשוואה:

נכפיל במכנה:
(x – 2 = 2(5 – x
x – 2 = 10 -2x   / + 2 + 2x
3x = 12  /: 3
x = 4
פתרון זה נמצא בטווח הרצוי ולכן יכנס לתשובה הסופית.

האפשרות השנייה להורדת הערך המוחלט היא בצורה הזו:

ואפשרות זו מתקיימת כאשר האיבר שמאלי שלילי.
זה קורה כאשר המונה חיובי והמכנה שלילי או כאשר המונה שלילי והמכנה חיובי.

המונה חיובי והמכנה שלילי
x – 2 > 0
x > 2
וגם:

התחום המשותף לשתי האי שוויונות הללו הוא:
x > 5

המונה שלילי והמכנה חיובי
x – 2 < 0
x < 2
וגם

התחום המשותף הוא:
x < 2
כלומר הפתרון הנוכחי צריך להיות באחד משני התחומים:
x > 5  או  x < 2

נחזור לפתרון המשוואה:

(x – 2 = -2(5 – x
x – 2 = -10 + 2x   / -x + 10
x = 8
פתרון זה נמצא בתחום המבוקש ולכן יכנס לתשובה.

תשובה: פתרונות המשוואה הם: x = 4,   x = 8.

תרגילים קשים יותר עם ערך מוחלט

ככול הידוע התרגילים מכאן ולמטה לא נדרשים בבחינות הבגרות, כולל 5 יחידות.

עד עכשיו פתרנו משוואות בהם קיים ערך מוחלט אחד והמשתנה נמצא בתוכו. מכאן והלאה נלמד דרכי פתרון למשוואות בהם יש יותר מערך מוחלט אחד והמשתנה נמצא בתוך הערך המוחלט או מחוץ לו.

כמו בתרגילים הקודמים המטרה שלנו היא להסיר את הערך המוחלט ועלינו לדעת האם הביטוי חיובי או שלילי על מנת לעשות זאת בצורה נכונה.

תרגיל 5 – ערך מוחלט קטן אחד ואחד גדול

ΙΙ2x+2Ι + x-1Ι=7
במשוואה זו ניתן לראות שאם נוריד את הערך המוחלט הקטן התרגיל יהפוך להיות מהסוג הפשוט שפתרנו למעלה.
השאלה היא באלו תנאים ניתן להוריד את הערך המוחלט הקטן?
אם 2x+2 (כלומר x>-1) הוא ערך חיובי אז ניתן להוריד את הערך המוחלט מבלי לעשות דבר.
אם 2x+2 (כלומר x<-1) הוא ערך שלילי אז ניתן להוריד את הערך המוחלט כאשר מוסיפים מינוס לביטוי והופכים אותו ל (2x+2)-.

בתנאי ש: x>-1:
Ι2x+2 + x-1Ι=7
Ι3x+1Ι=7
אפשרות 1:
הביטוי שבתוך הערך מוחלט חיובי:
x ≥ 2
ואז הפתרון הוא:
3x+1=7  / -1
3x=6  /:3
x=2
אפשרות 2:
הביטוי שתוך הערך מוחלט שלילי:
x < 2
ואז הפתרון הוא:
3x+1=-7  / -1
3x=-8  /:3
x=-2.666
הפתרון הראשון מקיים את התנאי x>-1 הפתרון השני לא. לכן רק x=2 מתקבל כתשובה סופית.

עכשיו עלינו לחזור למשוואה המקורית ולהוריד את הערך המוחלט הפנימי כאשר x<-1.
Ι-2x-2 + x-1Ι=7
Ι-x-3 Ι=7
אפשרות 1:
הביטוי שבתוך הערך מוחלט חיובי:
x ≤ -3
ואז הסרת הערך המוחלט תראה כך:
x-3=7-
x=-10

אפשרות 2:
הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי:
x > -3
ואז הסרת הערך המוחלט תראה כך:
x-3=-7-
x=4
רק הפתרון הראשון נמצא בתוך תחום ההגדרה של x<-1
תשובה: x=-10 או x=2

תרגיל 6 – שני ערכי מוחלט קטנים ואחד גדול

ΙΙ2x+4Ι + Ιx-1ΙΙ=10

שוב פעם עלינו לחלק לתחומים את ציר המספרים. אבל הפעם החלוקה היא ליותר משני תחומים.
עבור הביטוי Ι2x+4Ι:
כאשר x<-2 הביטוי שלילי ולכן נציב 2x-4-.
כאשר x≥-2 שווה ל 0 או חיובי ולכן נציב 2x+4.

עבור הביטוי Ιx-1Ι:
כאשר x<1 הביטוי שלילי ולכן נציב x+1-.
כאשר x≥1 הביטוי שווה ל 0 או חיובי ולכן נציב x-1.

עכשיו למעשה יש לנו שלושה תחומי הצבה שאנו צריכים להציב בתוך הערך המוחלט. ונזכור שבסוף זה גם מתפצל לשני פתרונות אפשריים בגלל הערך המוחלט הגדול….
התחומים הם:
x<-2

x>1

כאשר x<-2
נקבל את הביטוי הבא כאשר נסיר את הערכים המוחלטים הפנימיים:
Ι-2x-4-x+1Ι=10
Ι-3x-3Ι=10

אפשרות 1:
הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי:
x ≤ -1
ואז הסרת הערך המוחלט תראה כך:
3x-3=10-
x= – 4.333  – זה פתרון שנמצא בתחום ההגדרה.

אפשרות 2:
הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי:
x > -1
ואז הסרת הערך המוחלט תראה כך:
3x-3=-10-
x=2.333 – פתרון זה לא נמצא בתחום ההגדרה של x<-2

לסיכום: כאשר x<-2 הפתרון שמצאנו x= – 4.333.

כאשר:

נקבל את הביטוי הבא כאשר נסיר את הערכים המוחלטים הפנימיים:
Ι2x+4-x-1Ι=10
Ιx-3Ι=10

אפשרות 1:
הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי:
x ≥ 3
ואז הסרת הערך המוחלט תראה כך:
x-3=10  / +3
x=13
אפשרות זו לא נמצאת בתחום

אפשרות 2:
הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי:
x < 3
ואז הסרת הערך המוחלט תראה כך:
x-3=-10  / +3
x=-7
אפשרות זו לא נמצאת בתחום

לסיכום: בתחום זה לא נמצאו פתרונות.

כאשר x>1
נקבל את הביטוי הבא כאשר נסיר את הערכים המוחלטים הפנימיים:
Ι2x+4+x-1Ι=10
Ι3x-3Ι=10

אפשרות 1:
כאשר הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי:
x ≥ 1
ואז הסרת הערך המוחלט תראה כך:
3x-3=10
x = 4.333 – אפשרות זו שייכת לתחום המבוקש.

אפשרות 2:
כאשר הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי:
x < 1
ואז הסרת הערך המוחלט תראה כך:
3x-3=-10
x= -2.333  – אפשרות זו לא שייכת לתחום המבוקש.

לסיכום: מתחום זה קיבלנו את הפתרון: x = 4.333

תשובה: בשלושת התחומים הפתרונות הם x=4.333, x=-4.333.

אי שוויונים עם ערך מוחלט

ערך מוחלט הוא המרחק מהנקודה 0. לכן אם
ΙxΙ<3 הערכים ש X יכול לקבל הם בין 3 ל -3.
ΙxΙ>3 הערכים ש X יכול לקבל הם גדולים מ 3 או קטנים מ -3.

ΙxΙ<3 הערכים ש X יכול לקבל הם בין 3 ל -3.

ΙxΙ>3 הערכים ש X יכול לקבל הם גדולים מ 3 או קטנים מ -3.

תרגילים לדוגמה:

 תרגיל 7

Ιx+2Ι>3

פתרון
אפשרות ראשונה
הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי.
x +2 > 0
x > -2
הסרת הערך המוחלט תראה כך:
x+2>3
x > 1
התחום המשותף של שתי האי שוויונות הוא:
x > 1

אפשרות שנייה
הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי.
x +2 < 0
x < -2
הסרת הערך המוחלט תראה כך:
x+2 < 3
x < 1
התחום המשותף של שתי האי שוויונות הוא:
x < -2
תשובה: x > 1  או   x < -2

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “ערך מוחלט”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את מגדירה את הביטוי שבתוך הערך המוחלט כחיובי ותחת התנאי הזה מסירה את הערך המוחלט ופותרת.
      לאחר מיכן:
      מגדירה כשלילי, מסירה את הערך המוחלט ופותרת.
      בשני המקרים התשובה היא חיתוך של התנאי ומה שהתקבל בפועל.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום דני
      הוספתי התחתית הדף פתרון מלא לתרגיל כזה.
      מקווה שיעזור לך.
      המטרה הכללית היא להשמיט את הערכים המוחלטים והשאלה שאנו תמיד שואלים היא האם הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי או שלילי.
      אם חיובי משמיטים ללא שינוי.
      אם שלילי משמיטים את הערך המוחלט תוך כדי הפיכת הסימנים של מה שבתוך הערך המוחלט.
      בהצלחה

      1. היי תודה על הסבר המפורט!
        יש לי תרגיל:10=|2x-|x-8
        עשיתי אותו לפי מה שהסברת להתפטר מהערך המוחלט ולעשות את 2 האפשריות של המינוס והפלוס ויצא לי x=2 x=6 וכשהצבתי לראות שזה נכון x=2 יצא לא נכון
        למה? איך פותרים את זה?

        1. לומדים מתמטיקה

          כאשר
          x > 8 או שווה 8
          יוצא x = 2
          וזה אומר שאין פתרון בתחום הזה, לא בכל תחום את חייבת לקבל פתרון.

          יהיו תחומים שבהם אין פתרון.
          כמו מערכת וגם ללא פתרון.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          את מחלקת לתחומים:
          תחום שבו שני ערכי המוחלט חיוביים.
          תחום שאחד חיובי והשני שלילי.
          תחום ששניהם שליליים.
          מסירה את ערכי המוחלט על פי התחומים הללו ופותרת.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.