משוואה ריבועית בעיות מילוליות כיתה ט

בדף זה 8 בעיות מילוליות הדורשות פתרון משוואה ריבועית ומתאימות ברמתן לכיתה ט.

בעיות נוספות המתאימות לכיתה ט הן:

דף זה הוא חלק מקורס משוואה ריבועית המדריך בכול הנושאים הקשורים למשוואה זו.

תרגילים

תרגיל 1
נתונים שני מספרים חיוביים. מספר אחד קטן ממספר שני ב 2. מכפלת המספרים היא 63. מה הם המספרים?

פתרון
שלב א: הגדרת המשתנים
X- המספר הקטן.
X+2 – המספר הגדול.

שלב ב: בניית משוואה
מכפלת המספרים היא 63 ולכן:
x* (x+2) = 63
x² +2x=63
x²+2x-63=0

זו משוואה ריבועית. ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
כאן נפתור בעזרת טרינום.
x²+2x-63=0
x² + 9x -7x -63 = 0
x (x + 9) -7(x +9) = 0
x – 7) (x +9) = 0)
x+9=0  x = -9   או  x-7=0  x = 7

מכוון שהמספרים נדרשים להיות חיוביים הפתרון היחידי האפשרי הוא 7.
המספר השני הוא 9 = 7+2.
תשובה: המספרים הם 9 ו 7.

תרגיל 2
שטח משולש הוא 36 סמ"ר.
אורך הגובה לצלע גדול פי 2 מאורך הצלע.
חשבו את אורך הצלע ואורך הגובה המגיע אליה.

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

פתרון
x – אורך הבסיס בס"מ.
2x  – אורך הגובה לבסיס בס"מ.
על פי הנוסחה לשטח משולש:

x*2x) / 2 =36)
2x*x=72
x²=36
X=6 או x=-6
מכוון שאורכי הצלעות הם גדלים חיוביים האפשרות היחידה היא x=6 ס"מ.
תשובה: אורך הצלע הוא 6 ס"מ, אורך הגובה לצלע הוא 12 ס"מ.

תרגיל 3
קבוצה של אנשים שכרה אולם בסכום של 1000 שקלים.
דמי השכירות התחלקו באופן שווה בין קבוצת האנשים.
בסופו של דבר הגיעו לכנס עוד 10 אנשים שגם הם השתתפו בדמי השכירות של האולם שנשארו 1000 שקלים.
לכן כל אחד שילם 5 שקל פחות ממה שתוכנן מראש.

  1. כמה אנשים היו בקבוצה ההתחלתית של האנשים?
  2. מה הסכום התשלום ההתחלתי ומה התשלום הסופי?

פתרון
נגדיר:
x מספר האנשים בקבוצה ההתחלתית.
כולם ביחד היו צריכים לשלם 1000 שקלים.
לכן כל אחד מיהם היה צריך לשלם:

לאחר שנוספו 10 אנשים כל אחד מהאנשים שילם.

הסכום השני קטן מהראשון ב 5 שקלים, לכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא
(x(x+10
ונקבל:
(1000x + 5x(x + 10) = 1000(x +10
1000x + 5x² +50x = 1000x +10,000
5x² + 50x – 10,000 = 0  / :5
x² + 10x – 2000 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים:

הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x1 = 40,  x2 = -50

x =-50 נפסל כי x הוא מספר האנשים בקבוצה ולכן הוא צריך להיות מספר חיובי.
תשובה: מספר האנשים בקבוצה הוא 40.

סעיף ב
בהתחלה 40 איש תוכננו לשלם 1000 שקלים.
לכן התשלום היה אמור להיות:
25 = 40 : 1000
בהתחלה התשלום היה אמור להיות 25 שקלים.

לאחר מיכן היו 50 יש ששילמו 1000 שקלים.
לכן כל אחד שילם:
20 = 50 : 1000
בסופו של דבר כל אחד שילם 20 שקלים.

תרגיל 4 (קצת יותר קשה מתרגיל 3)
קבוצת אנשים תכננה לשכור אוטובוס ולראות סרט בקולנוע.
עלות האוטובוס היא 20% מעלות כל כרטיסי הקולנוע.
העלות המתכננת של הפעילות כולה הייתה 1800 שקלים.
בסופו של דבר הגיעו 20 אנשים יותר שנכנסו לאותו אוטובוס.
כתוצאה מכך כל אדם שילם 4 שקלים פחות.
חשבו את מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.

פתרון
שלב א: חישוב עלות האוטובוס ועלות כרטיסי הקולנוע.
נגדיר:
x עלות כל כרטיסי הקולנוע בשקלים.
עלות האוטובוס היא 20% מעלות כרטיסי הקולנוע.
לכן:
0.2x  עלות האוטובוס בשקלים.

סכום העלויות הוא 1800 שקלים. לכן המשוואה היא:
x + 0,2x = 1800
1.2x = 1800  / :1.2
x = 1500

300 = 0.2 * 1500
עלות כרטיסי הקולנוע היא 1500 שקלים, עלות האוטובוס היא 300 שקלים.

שלב ב: חישוב מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי
נגדיר:
y מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.
לכן:

זה הסכום המקורי שכל אחד היה אמור לשלם עבור האוטובוס.

נוספו 20 אנשים. לכן הגיעו
y + 20 אנשים.
והסכום שכל אחד שילם בפועל הוא:

בניית משוואה.
הסכום שכל אחד שילם בפועל קטן ב 4 שקלים מהסכום המקורי לתשלום.
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא (y (y+ 20
(4y (y +20) + 300y = 300(y + 20
4y² + 80y + 300y = 300y + 6000
4y² + 80y – 6000 = 0  / :4
y² + 20y – 1500 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

x הוא מספר אנשים ולכן התשובה צריכה להיות חיובית, הפתרון x2 = -50 נפסל.
תשובה: 30 הוא מספר האנשים המקורי שהיה אמור לצאת לבילוי.

תרגיל 5
גנן שותל 240 פרחים בקצב קבוע.
אם הוא ישתול 4 פרחים יותר בכול דקה הוא יעבוד 10 דקות פחות.
כמה פרחים הגנן שותל בדקה בקצב הרגיל (האיטי)?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
x  מספר הפרחים בדקה ששותל הגנן.
x + 4  מספר הפרחים בדקה שהוא שותל כאשר הוא ממהר.

שלב ב: הגדרת זמני העבודה בכול מקרה ובניית משוואה
זמן העבודה בקצב הרגיל הוא:

זמן העבודה בקצב המהיר הוא:

המשוואה מבוססת על המשפט "אם הוא ישתול 4 פרחים יותר בכול דקה הוא יעבוד 10 דקות פחות"
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x (x + 4
ונקבל:
(240x + 10x (x + 4) = 240(x + 4
240x + 10x² + 40x = 240x + 960
10x² + 40x – 960 = 0  / :10
x² + 4x – 96 = 0

ניתן לפתור בעזרת משוואה ריבועית או טרינום. נראה כאן את הדרך של טרינום.
x² + 12x – 8x – 96 = 0
x (x +12) -8 (x + 12) = 0
x + 12) (x -8) = 0)
x = -12 או x = 8

x הוא מספר פרחים שנשתלים בגן ולכן צריך להיות גודל חיובי.
x=8
תשובה: בקצב רגיל הגנן שותל 8 פרחים בדקה.

תרגיל 6
מכונית נסעה מרחק של 320 ק"מ במהירות קבועה.
בדרך חזור האטה את מהירותה ב 20 קמ"ש ולכן הדרך חזור הייתה ארוכה יותר בשעה ו 20 דקות.
חשבו את מהירות המכונית בדרך הלוך.

פתרון
נגדיר:
v מהירות המכונית בדרך הלוך בקמ"ש.
v – 20 מהירות המכונית בדרך חזור בקמ"ש.

נגדיר את זמן הנסיעה בכול אחד מהכיוונים:


זה הזמן בדרך הלוך.


זה הזמן בדרך חזור.

אנו יודעים שהזמן בחזור ארוך יותר בשעה ו 20 דקות, שהם שעה ושליש.
לכן המשוואה תהיה:

נכפיל במכנה המשותף שהוא (v (v -20 ונקבל:
v – 20) *320 + 1.33v( v -20) = 320v)
320v -6400 + 1.33v² -26.66v = 320v  / -320v
1.33v² – 26.66v  – 6400 = 0  / :1.33
v² -20v – 4812 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
v = 80  או   v = -60.
מהירות היא מספר חיובי.
לכן:
v = -60 נפסל.
והתשובה v = 80.
תשובה: מהירות המכונית בדרך חזור היא 80 קמ"ש.

תרגיל 7
סכום שני מספרים הוא 12.
היחס בין המספר הגדול למספר הקטן שווה למספר הקטן.
מצאו את המספרים.

פתרון
ניתן לפתור את התרגיל בעזרת נעלם אחד או שני נעלמים. הדרך הקצרה יותר היא בעזרת נעלם אחד.
נגדיר:
X – המספר הקטן.

המספר השני הוא X פחות 12

(אם היינו רוצים לפתור בשני נעלמים היינו כותבים Y – המספר השני ובונים משוואה נוספת x+y=12).

המשוואה היא: המספר הגדול לחלק במספר הקטן שווה למספר הקטן.

נכפיל את שני צדדי המשוואה ב x ונקבל:
x²=12-x
x²+x-12=0

נבצע פירוק של טרינום:
x²+x-12=0
x² + 4x – 3x – 12 = 0
x (x +4) -3(x +4) = 0
x+4)(x-3)=0)
X=-4 או x=3

x הוא המספר הקטן.
המספר הגדול הוא:
המספר השני הוא X פחות 12

אם x=-4 אז המספר הגדול הוא:
16 = (4-) – 12

אם x=3 אז המספר הגדול הוא:
9 = 3 – 12

תשובה: המספרים הם 16 ו 4-. או  9 ו-  3.

תרגיל 8
נתון מלבן שאורך צלע אחת שלו הוא 10 ס"מ וצלע שנייה היא 6 ס"מ.
בתוך המלבן בנו מלבן נוסף כך שהשוליים בכול צדדי המלבן זהים.
אם שטח המלבן החדש הוא 21 סמ"ר. מה הוא גודלם של השוליים?

פתרון
נשרטט את הבעיה.

שרטוט התרגיל

אורכי צלעות המלבן החדש הם:
10-2x
6-2x

שטח המלבן החדש הוא:
10-2x)(6-2x)=21)
60-20x-12x+4x2=21
4x2-32x+39=0
על פי נוסחת השורשים המשוואה הריבועית הפתרונות הם x=1.5 או x=6.5.

אם נציב x=6.5  בביטוי שנועד לחישוב אורכי צלעות המלבן החדש (10-2x ו 6-2x) נקבל שאורכי צלעות המלבן החדש הן מספרים שליליים, דבר שאינו אפשרי.
לכן התשובה x=6.5 נפסלת.

נציב x = 1.5 בנוסחאות לאורך צלע המלבן ונקבל:
7 = 2 *1.5 – 10
3 = 2 * 1.5 – 6
תשובה: אורכי צלעות המלבן הקטן הם 7 ס"מ ו- 3 ס"מ.

תרגיל 9
נעליים עולות 200 שקלים.
מחירם התייקר ב- x אחוזים. וכעבור חודש נוסף המחיר עלה ב- 20 + X אחוזים נוספים.
לאחר שתי התייקרויות המחיר היה 286 שקלים.
מצאו את אחוז ההתייקרות הראשוני.

פתרון

פתרון התרגיל

פתרון התרגיל

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “משוואה ריבועית בעיות מילוליות כיתה ט”

  1. איך אני אמור לגשת לשאלה מילולית מכל סוג אני פשוט לא יודע לדוגמא (שאלה פשוטה למדי)
    דוד קנה 8 פחיות משקה קר חלקן פחיות מיץ תפוזים וחלקן ענבים
    מחיר פחית מיץ תפוזים יקר ב3 ממחיר פחית מיץ ענבים
    עבור כל פחיות מיץ התפוזים שילם דוד 35 שקלים ועבור כל פחיות מיץ הענבים שילם 12 שקלים.

    א- סמנו בX את מספר פחיות מיץ התפוזים והביעו באמצעותו את מס פחיות מיץ הענבים

    ב-הביעו באמצעות X את מחיר פחית של מיץ תפוזים אחת ומחיר פחית מיץ ענבים אחת

    ג- בנו משוואה מתאימה ומצאו כמה פחיוץ מיץ תפוזים וכמה פחיות מיץ ענבים קנה דוד

    אני ממש אבוד למרות שזה אמור להיות קל בשבילי

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אלון
      קודם כל זו לא שאלה "פשוטה למדי".
      אם אתה מרגיש שאתה לא יודע אתה צריך להציב לך את הנושא כמטרה וללמוד הרבה.
      הדפים באתר שיכולים לעזור לך:
      בעיות מילוליות כיתה ז:
      http://www.m-math.co.il/math-7th-grade/word-problems-7th/
      בעיות מילוליות כיתה ח:
      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/word-problems-numbers-8th/
      בעיות תנועה:
      http://www.m-math.co.il/algebra/math-word-problems/traffic-problems/
      בנוגע לשאלה ששאלת
      א) סך הכל קנו 8 פחיות. מתוכם X מיץ תפוזים ולכן שמונה מינוס X זה מספר פחיות מיץ הענבים.
      ב) 35 לחלק ל X זה המחיר של פחית מיץ תפוזים.
      12 לחלק ל- שמונה מינוס איקס זה מחיר של פחית מיץ ענבים.
      אם אתה לא יודע לגשת לשאלות מילוליות אתה צריך לחזור אחורה ולהשקיע זמן. השאלה הזו קשה.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.