בעיות תנועה כיתה ט – י

בדף זה תרגילים המתאימים ברמתם לתלמידי כיתות ט – י.
לדף זה שני חלקים:

  1. בעיות תנועה רגילות.
  2. בעיות תנועה שבהם צריך לפתור משוואה ריבועית.

דפים קודמים:

בעיות תנועה "רגילות"

אלו הם בעיות הנפתרות בעזרת משוואה עם נעלם אחד או שתי משוואות עם שני נעלמים.

תרגיל 1
המרחק בין ישוב א לישוב ב הוא 56 ק"מ. רמי יצא מישוב א לישוב ב במהירות קבועה ואילו שירה יצאה באותו זמן מישוב ב לישוב א במהירות הגבוהה ב 3 קמ"ש ממהירותו של רמי.
שעתיים לאחר שיצאו לדרך רמי עצר לשעה ואילו שירה עצרה ל 1/2 שעה. מיד לאחר ההפסקה שניהם המשיכו בדרך ונפגשו 5 שעות לאחר שיצאו לדרך.
מה המהירות שבה הלכו רמי ושירה?

פתרון
בפועל רמי הלך 4 שעות. שירה הלכה 4.5 שעות.
בזמן הפגישה שלהם סכום הדרכים שהם הלכו היה 56 ק"מ.
נגדיר:
v – המהירות של רמי בקמ"ש.
v+3 – המהירות של שירה בקמ"ש.
(הערה: זה שיש קשר בין המהירויות של רמי ושירה וזה ששואלים על המהירויות אלו שני רמזים לכך שהמהירות היא המשתנה).
פתרון בעזרת טבלה:

 מהירותזמןדרך
רמיv44v
שירהv+34.54.5 (v+3)

פתרון ללא טבלה:
4v – הדרך שרמי עבר בק"מ.
4.5(v+3) – הדרך ששירה עברה בק"מ.

סכום הדרכים שהם עברו הוא 56 ק"מ, לכן המשוואה היא:
4v + 4.5(v+3)=56
4v + 4.5v +13.5=56 /-13.5
8.5v=42.5 /:8.5
v=5
v+3=8.
תשובה: מהירות ההליכה של רמי הייתה 5 קמ"ש ואילו המהירות של שירה 8 קמ"ש.

תרגיל 2
אדם הלך 4 שעות בשעות קרירות ו 6 שעות בשעות חמות ועבר בסך הכל 50 ק"מ.
פעם אחרת הלך 8 שעות בשעות קרירות ו 2 שעות חמות ועבר 70 ק"מ.
מצאו את מהירות ההליכה בשעות קרירות ומהירות ההליכה בשעות חמות.

פתרון

X – מהירות הליכה בשעה קרירה בקמ"ש.
Y – מהירות הליכה בשעה חמה בקמ"ש.
(הערה: זה שאין קשר בין המהירויות וזה שיש לנו סיפורים ממש נפרדים זה רמז לכך שאנו צריכים להשתמש בשני משתנים)

המשוואות הן:
4x +6y=50
8x+2y=70.
נפתור את המשוואות הללו ונקבל X=8, Y=3.

תשובה: מהירות ההליכה בשעה הקרירה היא 8 קמ"ש. מהירות ההליכה בשעה החמה היא 3 קמ"ש.

תרגיל 3
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון

נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

 זמןמהירותדרך
דרך הלוךt144t1
דרך חזורt288t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

תרגיל 4
מכונית לבנה ומכונית צהובה נוסעות ממטולה לאילת. המכונית הלבנה נסעה במהירות 70 קמ"ש כל הדרך. המכונית הצהובה נסעה 2 שעות במהירות 60 קמ"ש. עצרה במשך שעתיים והמשיכה עד סוף הדרך במהירות 90 קמ"ש.
המכונית הלבנה הגיעה שעה לפני המכונית הצהובה.
מה המרחק ממטולה לאילת?

פתרון

t זמן הנסיעה של המכונית הלבנה בשעות.

 מהירותזמןדרך
לבנה70t70t
צהובה שעתיים ראשונות602120
צהובה עצירה020
צהובה סיום90t-390t – 270

הסבר מדוע זמן הנסיעה של המכונית הצהובה בשלב האחרון הוא t-3:

  1. t זמן הנסיעה של המכונית הלבנה בשעות.
  2. נתון שהמכונית הלבנה הגיעה 1 שעה לפני הצהובה.
    כלומר הלבנה נסעה שעה אחת פחות.
    לכן  t+1 זה הזמן שהמכונית הצהובה הייתה על הכביש.
  3. המכונית הצהובה הייתה 4 שעות במהירויות שאינן 90 קמ"ש (שעתיים מנוחה ושעתיים 60 קמ"ש).
    לכן הזמן שהצהובה נסעה ב 90 קמ"ש הוא:
    t + 1 – 4 = t – 3

סך הכל הדרך שהמכונית הצהובה עברה היא 90t -270 + 120 והדרך הזו שווה לדרך שהמכונית הלבנה עברה.
ולכן המשוואה היא:
70t=120+90t-270  / -90t
20t=-150-  / : -20
t=7.5
נחשב את המרחק ע"פ הנתונים של המכונית הלבנה (70t):
7.5*70=525
תשובה: המרחק ממטולה לאילת הוא 525 ק"מ.

חלק שני: בעיות המשלבות פתרון משוואה ריבועית

על מנת לפתור את הבעיות הללו אתם צריכים לדעת להשתמש בנוסחת השורשים או 4 דרכי קיצור לפתרון משוואה ריבועית.

בתרגיל 1 הזמן בשני כיווני הנסיעה שווה.
בתרגילים 2-3 הזמן שונה והתרגילים דומים.
תרגילים 4-5 קשים יותר.
תרגיל 6 משלב שני נעלמים.

תרגיל 1
מכונית נסעה מרחק של 400 קילומטר במהירות קבועה.
בדרך חזרה נסעה 30 דקות באותה מהירות. לאחר מיכן עצרה למשך 30 דקות ולאחר מיכן המשיכה במהירות הגדולה ב 10 קמ"ש מהמהירות בדרך הלוך. זמן הנסיעה הלוך היה שווה לזמן חזור.
מצאו את מהירות המכונית בדרך הלוך.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
v המהירות בדרך הלוך בקמ"ש.
v המהירות בחזור בשלב הראשון בקמ"ש.
0 זו המהירות בזמן העצירה.
v + 10 המהירות בחזור בשלב האחרון בקמ"ש.

שלב ב: הגדרת זמני הנסיעה בכל אחד מהשלבים
בדרך הלוך המכונית נסעה 400 ק"מ במהירות v לכן הזמן בקטע זה הוא:

בדרך חזור בשלב הראשון המכונית נסעה במהירות v במשך 30 דקות שהם 0.5 שעה.
הדרך שהמכונית עברה בשלב זה היא: 0.5v

בדרך חזור בשלב השני המהירות היא 0 והדרך היא 0.
זמן הנסיעה הוא 30 דקות שהם 30/60 שהם 0.5 שעה.

בשלב האחרון הדרך שהמכונית עברה היא:

המהירות בשלב האחרון היא v + 10.
לכן הזמן בשלב האחרון הוא:

אם היינו רוצים לכתוב את הנתונים בטבלה זה היה נראה כך:
(תזכורת: כל מהירות שונה צריכה שורה נפרדת באתר).

 מהירותזמןדרך
הלוךv400
חזור בהתחלהv0.50.5v
חזור עצירה00.50
חזור בסוףv + 10

שלב ג: בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "זמן הנסיעה הלוך היה שווה לזמן חזור".
לכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא:
(v(v + 10
נקבל:
(v(v +10) +v(400 – 0.5v) = 400(v + 10
v² + 10v + 400v – 0.5v² = 400v + 4000
0.5v²+ 10v – 4000 = 0
v² + 20v – 8000 = 0

נפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
v= 80 או v = -100
מכוון שמהירות היא גודל חיובי התשובה היא v = 80.
תשובה: מהירות המכונית בדרך הלוך היא 80 קמ"ש.

תרגיל 2
מטוס טס דרך של 5400 ק"מ. יום אחד האיץ המטוס את מהירותו ב 300 קמ"ש ולכן הגיע 3 שעות לפני המועד הרגיל. מה המהירות הרגילה של המטוס?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
v – המהירות הרגילה.
v+300 – "היום המיוחד".

שלב ב: בניית טבלה
עבור הטורים של המהירות והדרך יש לנו נתונים.
את טור הזמן נקבל על ידי חישוב.

 מהירותזמןדרך
יום רגילv5400 לחלק ב v5400
יום מיוחדv+3005400 לחלק ב (v+300)5400

שלב ג: בניית משוואה

הזמן ביום הרגיל

הזמן ביום המיוחד

ידוע כי ביום המיוחד הזמן היה קצר יותר ב- 3 שעות לכן יש להוסיף להוסיף ליום המיוחד 3 על מנת ליצור שוויון במשוואה.
(הערה: מהיר יותר = קצר יותר).

המשוואה
היום המיוחד משמאל והיום הרגיל מימין

המכנה המשותף הוא:
(v (v + 300
נכפיל במכנה המשותף ונקבל:
(5400v + 3v (v + 300) = 5400 (v + 300
5400v + 3v² + 900v = 5400v + 1,620,000
3v² + 900v – 1,620,00 = 0   / :3
v² + 300v – 540,000 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
v1 = 600,   v2 = -900
מהירות היא גודל חיובי לכן הפתרון המתאים הוא v1 = 600

תרגיל 3
מכונית נסעה מרחק של 320 ק"מ במהירות קבועה.
בדרך חזור האטה את מהירותה ב 20 קמ"ש ולכן הדרך חזור הייתה ארוכה יותר בשעה ו 20 דקות.
חשבו את מהירות המכונית בדרך הלוך.

רמז לפתרון
המשפט "הדרך חזור הייתה ארוכה יותר בשעה ו 20 דקות" זה רמז לכך שהמשוואה תהיה זמן הלוך = זמן חזור + קבוע.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
v מהירות המכונית בדרך הלוך בקמ"ש.
v – 20 מהירות המכונית בדרך חזור בקמ"ש.

שלב ב: הגדרת הזמנים בכול אחד משלבי הנסיעה
נגדיר את זמן הנסיעה בכול אחד מהכיוונים:


זה הזמן בדרך הלוך.


זה הזמן בדרך חזור.

אם היינו רוצים לכתוב את הנתונים בטבלה זה היה נראה כך:
(את המהירות והדרך אנו יודעים, את הזמן מחשבים על ידי הנוסחה)

 מהירותזמן דרך
הלוךv320
חזורv – 20320

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
המשוואה מבוססת על המשפט "הדרך חזור הייתה ארוכה יותר בשעה ו 20 דקות"
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא (v (v -20 ונקבל:
v – 20) *320 + 1.33v( v -20) = 320v)
320v -6400 + 1.33v² -26.66v = 320v  / -320v
1.33v² – 26.66v  – 6400 = 0  / :1.33
v² -20v – 4812 = 0

פתרונות המשוואה הם
v = 80  או   v = -60.
הפתרון המתאים חייב להיות מספר חיובי, לכן v = 80.

תרגיל 4
מכונית נסעה מרחק של 540 ק"מ במהירות קבועה.
בדרך חזרה נסעה שעתיים באותה מהירות ואז האטה ב 10 קמ"ש.
כך שנסיעתה חזור הייתה ארוכה ב 30 דקות מנסיעתה חזור.
מצאו את מהירות המכונית בדרך הלוך.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
נגדיר:
v מהירות המכונית בדרך הלוך בקמ"ש.
לכן זמן הנסיעה בדרך הלוך הוא:

בדרך חזור היא נסעה שעתיים במהירות הרגילה ועברה בזמן זה מרחק של 2v.
הדרך שנותרה לה לעבור במהירות המופחתת היא:

המהירות המופחתת היא:
v -10
לכן זמן הנסיעה בקטע האחרון הוא:

זמן הנסיעה בכול הדרך חזור הוא:

אם היינו רוצים לכתוב את הנתונים בטבלה זה היה נראה כך:

 מהירותזמן דרך
הלוךv540
חזור בהתחלהv22v
חזור בסוףv – 10

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
זמן הנסיעה בדרך חזור היה ארוך ב 30 דקות שהם 1/2 שעות.

לכן המשוואה היא:

לפני שנכפיל במכנה המשותף נחסר 1/2 משני צדדי המשוואה על מנת לצמצם את מספר האיברים.

נכפיל במכנה המשותף שהוא
(2v(v-10

2v(540 -2v) + 3v(v-10) = 2(v-10) * 540
1080v -4v² + 3v² -30v = 1080v – 10,800

נכנס איברים ונעביר את כל האיברים לאגף ימין
v² +30v -10,800 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית הזו בעזרת נוסחת השורשים:

מכוון שהמהירות היא גודל חיובי התשובה היא
v =90
תשובה: מהירות המכונית בדרך הלוך היא 90 קמ"ש.

תרגיל 5 (דומה לתרגיל 4)
מכונית ומשאית נסעו מעיר א לעיר ב מרחק של 200 קילומטר.
המשאית נסעה במהירות קבועה.
המכונית נסעה שעה אחת במהירות הגבוהה ב 5 קמ"ש ממהירות המשאית.
ולאחר מיכן נסעה במהירות הגבוהה ב 15 קמ"ש מהמהירות של המשאית.
כתוצאה מכך המכונית הגיעה ליעד 20 דקות לפני המשאית.
חשבו את מהירות המכונית והמשאית.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה 
x  המהירות הקבועה של המשאית בקמ"ש.
x + 5 המהירות של המכונית בקטע הראשון בקמ"ש.
x + 15 המהירות של המכונית בקטע השני.

שלב ב: הגדרת הזמנים של כל שלב
עבור כל שלב אנו יודעים את המהירות והדרך של כלי הרכב.
לכן ניתן לחשב את הזמנים של כל שלב ולבנות משוואה.

עבור המשאית
x המהירות.
200 הדרך.
לכן זמן הנסיעה הוא:

עבור המכונית בשלב א
x + 5 המהירות
1 הזמן בשעות
x + 5 זו הדרך שהמכונית עברה בשלב זה

עבור המכונית בשלב ב
x +15 המהירות
זו הדרך
לכן זמן הנסיעה הוא:

סך הכל הזמן שהמכונית נסעה הוא:

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
אנו יודעים שהמכונית נסעה 20 דקות פחות, שהם 1/3 שעות.
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(3x(x +15
ונקבל:

(3x (x + 15) + 3x(195 – x) + x(x +15) = 200 * 3 * (x +15
3x² + 45x + 585x – 3x² + x² + 15x = 600x + 9000
x² +645x = 600x + 9000
x² + 45x – 9000 = 0

כאשר נפתור את המשוואה הריבועית נקבל:
x1 = 75,   x2 = -120
x מייצג מהירות שהיא גודל חיובי, לכן x2 = -120 נפסל.

תשובה: מהירות המשאית היא 75 קמ"ש. המהירות ההתחלתית של המכונית היא 80 קמ"ש.

תרגיל 6 (שני נעלמים)
משאית יוצאת לדרך, שעה לאחריה יוצאת מכונית המשיגה את המשאית 3 שעות לאחר שהמשאית יצאה לדרך.
למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה.
מצאו את מהירות המשאית.

פתרון
טיפ לפתרון: צריך כאן שתי משוואות עם שני נעלמים.
כיצד בונים את המשוואה השנייה?

שלב א: בחירת משתנים
אנחנו לא יודעים את מהירות המכונית ולא את מהירות המשאית.
אנחנו גם לא מקבלים מידע על קשר בין שני המהירויות.
לכן אנו חייבים להשתמש בשני משתנים. משתנה לכל מהירות.

v מהירות המשאית בקמ"ש.
u מהירות המכונית בקמ"ש.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
3v  הדרך שהמשאית עשתה עד שפגשה במכונית.
2u  הדרך שהמכונית עשתה עד שפגשה במכונית.

הדרך שהמכונית והמשאית עברו שווה ולכן המשוואה היא:
2u = 3v  /:2
u = 1.5v

שלב ג: בניית משוואה עבור המשפט "למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה".

נגדיר את הזמן שלוקח למשאית ולמכונית לעבור 180 ק"מ.


הזמן של המכונית קצר יותר ב- 1.5 שעות.
לכן עלינו להוסיף 1.5 לזמן לזמן של המכונית על מנת ליצור משוואה.

המשוואה השנייה

נכפיל המכנה המשותף שהוא uv ונקבל:
180u = 180v + 1.5vu

שלב ד: פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את המשוואה הראשונה שקיבלנו (u = 1.5v) במשוואה הזו:
1.5v * 180 = 180v + 1.5v * 1.5v  / :1.5
180v = 120v + 1.5v² /  -180v
1.5v² – 60v = 0  /:1.5
v² – 40v = 0
v (v – 40) = 0
v = 0,  v=40
מכוון שהמכוניות נוסעות הפתרון היחידי שאפשרי הוא v= 40.

תשובה: מהירות המשאית היא 40 קמ"ש.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.