בעיות תנועה לכיתה י

דף זה כולל תרגילים לתלמידי כיתה י.
חזרה על נושאים הנלמדים בכיתות ח-ט ניתן לעשות בדפים:

1. בעיות תנועה שוויון דרכים.
2. בעיות תנועה סכום דרכים.
3. בעיות פגישה .
4. בעיות תנועה פיתגורס.
5. בעיות תנועה כיתה ח (בעיות מסוגים שונים).

הדף מחולק לשני חלקים:

1. תרגילים קלים יחסית.
2. תרגילים קשים יחסית.

תרגילים

תרגילים קלים יחסית

תרגיל 1: נסיעה אחד מול השני
מישוב א וישוב ב יצאו זה לקראת זה שני הולכי רגל. מהירות הולך רגל ב הייתה פי 3 ממהירות הולך רגל א.
הולכי הרגל נפגשו כעבור 4 שעות.
המרחק בין הישובים הוא 64 ק”מ.
מצאו את מהירות הולכי הרגל.

פתרון
הרעיון מאחורי הפתרון הוא שכאשר שני כלי רכב נוסעים אחד מול השני, כאשר הם נפגשים הם עוברים את כל המרחק בניהם.

v – מהירות הולך רגל א.
3v – מהירות הולך רגל ב.
4v – המרחק שעבר הולך רגל א עד הפגישה.
12v – המרחק שעבר הולך רגל ב עד הפגישה.

סכום המרחקים שעברו ההולכים הוא 64 ק”מ ולכן:

12v+4v=64
16v=64  /:16
v=4.
תשובה: מהירות הולך רגל א היא 4 קמ”ש. מהירות הולך רגל ב היא 12 קמ”ש.

במהלך הפתרון אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלה ניתן היה לעשות זאת:

	מהירות	זמן	דרך
הולך א	v	4	4v
הולך ב	3v	4	12v

תרגיל 2 (נסיעה אחד מול השני כולל עצירה)
המרחק בין ישוב א לישוב ב הוא 56 ק”מ. רמי יצא מישוב א לישוב ב במהירות קבועה ואילו שירה יצאה באותו זמן מישוב ב לישוב א במהירות הגבוהה ב 3 קמ”ש ממהירותו של רמי.
שעתיים לאחר שיצאו לדרך רמי עצר לשעה ואילו שירה עצרה ל 1/2 שעה. מיד לאחר ההפסקה שניהם המשיכו בדרך ונפגשו 5 שעות לאחר שיצאו לדרך.
מה המהירות שבה הלכו רמי ושירה?

פתרון
בפועל רמי הלך 4 שעות. שירה הלכה 4.5 שעות.
בזמן הפגישה שלהם סכום הדרכים שהם הלכו היה 56 ק”מ.
נגדיר:
v – המהירות של רמי בקמ”ש.
v+3 – המהירות של שירה בקמ”ש.
(הערה: זה שיש קשר בין המהירויות של רמי ושירה וזה ששואלים על המהירויות אלו שני רמזים לכך שהמהירות היא המשתנה).
פתרון בעזרת טבלה:

	מהירות	זמן	דרך
רמי	v	4	4v
שירה	v+3	4.5	4.5 (v+3)

פתרון ללא טבלה:
4v – הדרך שרמי עבר בק”מ.
4.5(v+3) – הדרך ששירה עברה בק”מ.

סכום הדרכים שהם עברו הוא 56 ק”מ, לכן המשוואה היא:
4v + 4.5(v+3)=56
4v + 4.5v +13.5=56 /-13.5
8.5v=42.5 /:8.5
v=5
v+3=8.
תשובה: מהירות ההליכה של רמי הייתה 5 קמ”ש ואילו המהירות של שירה 8 קמ”ש.

תרגיל 3: משפט פיתגורס
צב ושבלול יוצאים מנקודה.
הצב יוצא צפונה.
השבלול יוצא מזרחה במהירות הגדולה ב 0.5 קמ”ש ממהירות הצב.

כעבור שעתיים של הליכה המרחק בין הצב לשבלול הוא 5 ק”מ.
חשבו את מהירות הצב ומהירות השבלול.

פתרון
נגדיר:
x מהירות הצב בקמ”ש.
x + 0.5 מהירות השבלול בקמ”ש.

הדרך:
2x  זו הדרך שעבר הצב בשעתיים.
x + 0.5)*2 = 2x + 1)  זו הדרך שהצב עבר בשעתיים.

המשוואה:
על פי משפט פיתגורס המשוואה היא:
2x)² + (2x +1)² = 5²)

נפתור את המשוואה:
4x² + 4x² + 4x + 1 = 25
8x² + 4x – 24 = 0
2x² + x – 6 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום או נוסחת השורשים ונקבל:
x = 1.5  או  x = 2
מכוון שהחילזון והצב נעו קדימה המהירות צריכה להיות חיובית והתשובה היא x = 1.5.
תשובה: מהירות הצב היא 1.5 קמ”ש. מהירות החילזון 2 קמ”ש.

תרגיל 4
משאית נוסעת מאשדוד לאילת במשך 9 שעות במהירות קבועה.
מכונית יצאה מאשדוד 3 שעות לאחר המשאית, אך מכוון שנסעה במהירות הגבוהה ב 20 קמ”ש ממהירות המשאית היא הגיעה יחד עם המשאית לאילת.
חשבו את מהירות המשאית ואת המרחק מאשדוד לאילת.

פתרון
המהירויות
x מהירות המשאית.
x + 20  מהירות המכונית.

הדרכים
9x  זו הדרך בק”מ שעברה המשאית.
המכונית יצאה 3 שעות אחרי אבל הגיעה באותו זמן, לכן הייתה 3 שעות פחות על הכביש.
סך הכל המכונית נסעה 6 שעות.
x + 20) * 6)  זו הדרך שעברה המכונית.

המשוואה
הדרכים שוות לכן המשוואה היא:
(9x = 6(x +20
9x = 6x +120  / -6x
3x = 120  / :3
x = 40

מהירות המשאית היא 40 קמ”ש. זמן הנסיעה של המשאית הוא 9 שעות. לכן הדרך שעברה המשאית:
360 = 9 * 40

תרגיל 5
שתי רוכבות אופניים יצאו לרכיבה מאותה נקודה.
הרוכבת הראשונה יצאה ב 10 בבוקר במהירות 15 קמ”ש.
הרוכבת השנייה יצאה בשעה 11 בבוקר במהירות 20 קמ”ש.
באיזו שעה הרוכבת השנייה תשיג את הראשונה ב 15 ק”מ? (כלומר באיזו שעה הרוכבת השנייה תעבור 15 ק”מ יותר מהרוכבת הראשונה).

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את הזמן של הרוכבת הראשונה לכן הוא יהיה המשתנה
t זמן הנסיעה של הרוכבת הראשונה בשעות עד לנקודה שבה הרוכבת השנייה השיגה אותה ב 15 ק”מ.
t – 1 זמן הנסיעה של הרוכבת השנייה.

שלב 2: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור, תוצאת החישוב באדום.

	מהירות	זמן	דרך
רוכבת א	15	t	15t
רוכבת ב	20	t – 1	20t – 20

שלב ג: בניית משוואה
15t המרחק שעברה רוכבת א.
20t – 20  המרחק שעברה רוכבת ב.

רוכבת ב עברה 15 ק”מ יותר מרוכבת א לכן המשוואה היא:
20t – 20 – 15t = 15

אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא לכתוב את המשוואה כסכום דרכים
המרחק שעברה רוכבת ב = 15 + המרחק שעברה רוכבת א
15t + 15 = 20t – 20

שלב ד: פתרון המשוואה
נפתור את המשוואה הראשונה
20t – 20 – 15t = 15
5t – 20 =15  / +20
5t = 35  /:5
t = 7

השאלה הייתה “באיזו שעה?” . 7 שעות לאחר השעה 10 זו השעה 17.
תשובה: בשעה 17 רוכבת ב תשיג את רוכבת א ב 15 ק”מ.

תרגילים קשים יותר

בסרטון זה נלמד על 6 סוגים של בעיות תנועה קשות יחסית, 6 מכשולים בהם אתם יכולים להיתקל.

תרגיל 1: (שני נעלמים)
אדם הלך 4 שעות בשעות קרירות ו 6 שעות בשעות חמות ועבר בסך הכל 48 ק”מ.
פעם אחרת הלך 8 שעות בשעות קרירות ו 2 שעות חמות ועבר 70 ק”מ.
מצאו את מהירות ההליכה בשעות קרירות ומהירות ההליכה בשעות חמות.

פתרון

X – מהירות הליכה בשעה קרירה בקמ”ש.
Y – מהירות הליכה בשעה חמה בקמ”ש.
(הערה: זה שאין קשר בין המהירויות וזה שיש לנו סיפורים ממש נפרדים זה רמז לכך שאנו צריכים להשתמש בשני משתנים)

המשוואות הן:
4x +6y=48
8x+2y=70.
נפתור את המשוואות הללו ונקבל X=8.1, Y=2.6.

תשובה: מהירות ההליכה בשעה הקרירה היא 8 קמ”ש. מהירות ההליכה בשעה החמה היא 3 קמ”ש.

תרגיל 2 (בעיית טבלה)
שתי מכוניות נסעו מתל אביב לאילת.
מכונית אחת נסעה במהירות קבועה של 80 קמ”ש.
מכונית שנייה נסעה במהירות של 90 קמ”ש שעתיים.
עצרה לשעה ואז המשיכה במהירות של 100 קמ”ש.
שתי המכוניות הגיעו ליעדן באותו הזמן.
חשבו את זמן הנסיעה ואת המרחק מתל אביב לאילת.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה וזמני נסיעה בכול שלב
נגדיר
t  הזמן שלקח למכונית שנסעה במהירות קבועה לעבור את הדרך.

המכונית שנסעה במהירות משתנה:
2 שעה במהירות 80 קמ”ש.
1 שעה במהירות 0 קמ”ש.
t -3 שעות במהירות 100 קמ”ש.

הסיבה שמשך הזמן בקטע האחרון הוא t -3 היא שהמכונית נסעה בסך הכל t שעות.
מתוכם 1 שעות עצרה ו 2 שעות נסעה במהירות אחרת.

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
יש לנו 1 מהירויות של המכונית הראשונה ו 3 מהירויות של המכונית השנייה.
לכן בטבלה 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

	מהירות	זמן	דרך
מכונית ראשונה	80	t	80t
מכונית שנייה התחלה	90	2	180
מכונית שנייה עצירה	0	1	0
מכונית שנייה סוף	100	t – 3	100t – 300

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך שעברו שתי המכוניות שווה.
לכן המשוואה היא:
100t – 300 + 180 + 0 = 80t
100t -120 = 80t  / +120 – 80t
20t = 120  / :20
t = 6

תשובה: זמן הנסיעה מתל אביב לאילת הוא 6 שעות.

מציאת המרחק מתל אביב לאילת.
המכונית הראשונה נסעה 80 קמ”ש במשך 6 שעות.
לכן המרחק שעברה:
480 = 6 * 80

 

תרגיל 3
מכונית ומשאית יצאו בו זמנית מעיר א לעיר ב, מרחק של 108 ק”מ. מהירות המכונית הייתה גבוה ב 20% ממהירות המשאית. המכונית התעכבה בדרך 30 דקות. כתוצאה מכך המשאית הקדימה את המכונית ב 12 דקות בהגעתה לעיר ב.
חשבו את מהירות המכונית והמשאית.

פתרון עם שני נעלמים
נגדיר:
v  מהירות המשאית.
לכן:
1.2v מהירות המכונית.

t הזמן שהמשאית הייתה בדרך.
t – 18/60  הזמן שהמכונית נסעה.

אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלה זה היה נראה כך:

	מהירות	זמן	דרך
משאית	v	t	vt
מכונית עצירה	0	0.5	0
מכונית נסיעה	1.2v	t – 18/60	(1.2v(t – 18/60

הדרכים והמשוואות
על בסיס הנסיעה של המשאית נכתוב משוואה:
vt = 108

על בסיס הנסיעה של המכונית נכתוב משוואה:
1.2v(t – 18/60) = 1.2vt – 0.36v = 108

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:
0.36v + 1.2*108 = 108-
0.36v + 129.6= 108-
0.36v = -21.6  / : -0.36-
v = 60
תשובה: מהירות המשאית 60 קמ”ש, מהירות המכונית 72 קמ”ש.

פתרון עם נעלם אחד
v  מהירות המשאית.
1.2v מהירות המכונית.

ידוע כי המשאית הייתה בדרך פחות זמן לכן יש להוסיף לחלק שלה 12 דקות שהם 0.2 שעות (1/5 שעה) על מנת ליצור שוויון (משוואה).

הצד השמאלי הוא הזמן שהמכונית נסעה + הזמן שעצרה.
מצד ימין הזמן שהמכונית נסעה + הזמן שהגיעה לפני.

1.2v  הוא המכנה המשותף, נכפיל בו ונקבל:

108 +0.5*1.2v = 108*1.2 + 0.2 * 1.2v
108 + 0.6v = 129.6 + 0.24v
0.36v = 21.6
v = 60

תשובה: מהירות המשאית 60 קמ”ש, מהירות המכונית 72 קמ”ש.

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה י.
• בעיות מילוליות 4 יחידות – בעיות קצת יותר קשות שעדיין מתאימות לכיתה י.