חיתוך של פרבולה וישר

בדף זה נסכם את סוגי השאלות בנושא פרבולה וישר.

הסוגים הם:

1. מציאת נקודת חיתוך של פרבולה וישר.
2. שאלה הפוכה: נתונה נקודת חיתוך מצאו את משוואת הישר.
3. מספר נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
4. שאלה הפוכה: כתבו משוואת ישר שיש לו 0,1,2 נקודות חיתוך עם פרבולה.
5. סיכום.
6. נספח: מציאת משוואת פרבולה שיש לה 0,1,2 נקודות חיתוך עם ישר.
7. פרבולה וישר חישוב שטחים (בדף נפרד).

תקציר בכתב ובוידאו

1.כיצד מוצאים נקודת חיתוך של פרבולה וישר

אם יש לנו פרבולה:
f(x) = x² + 3x – 7
וישר:
y = 2x -1

אנו ויוצרים את המשוואה:
x² + 3x – 7 = 2x -1
והפתרונות של משוואה זו הם ערכי ה x של נקודות החיתוך בין הפרבולה והישר.

לאחר שמצאנו את ערכי ה x שהם:
x = -3,  x = 2
אנו נציב את הערכים הללו במשוואת הישר או הפרבולה (לרוב נוח יותר במשוואת הישר) ונקבל את ערכי  ה y של נקודות החיתוך.

דוגמה 2  (פתרון מלא)
נתונה הפרבולה y = 2x² – 3x + 6 והישר y = 3x + 2.
מצאו את נקודת החיתוך שלהם.

פתרון
נקודות החיתוך הם הפתרונות של המשוואה הבאה:

2x² – 3x+6 = 3x+2 / -3x-2

2x² – 6x +4 =0 / :2
x² – 3x + 2 = 0
x – 2)(x – 1)=0)
הפתרונות של משוואה זו הם:

x = 2 או  x = 1

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך.
נוח יותר להציב במשוואת הישר מאשר במשוואת הפרבולה.

מציאת נקודת החיתוך עבור x = 1.
y = 3x + 2
y = 3*1 + 2 = 5

(5, 1)

מציאת נקודת החיתוך עבור x = 2.

y = 3x + 2
y = 3*2 + 2 = 8
(8, 2)

תשובה: נקודות החיתוך של הישר והפרבולה הן (5, 1) ו (8, 2).

הערה
מי שרוצה יכול למצוא את נקודות החיתוך גם בשיטת השוואת המקדמים.
אלו שתי המשוואות שלנו:
y = 2x² – 3x + 6
y = 3x + 2
נחסר את משוואת הישר ממשוואת הפרבולה ונקבל:
2x² – 6x +4 = 0
נפתור את המשוואה ונגיע לאותן תשובות.

מציאת נקודות חיתוך של ישרים מקבילים לצירים עם פרבולה

דוגמה 1
מצאו את נקודות החיתוך של הישר y = 2 עם הפרבולה: y = x² – 5x – 2

פתרון

על מנת למצוא את נקודות החיתוך נפתור את המשוואה:

x² – 5x – 2 = 2.

x² – 5x – 4 = 0

הפתרונות של המשוואה הריבועית הזו הם:

x = 4  או   x = 1

ערכי ה y של נקודות החיתוך הם y = 2.

ולכן נקודת החיתוך הן:

(1,2)

(4,2)

דוגמה 2
מצאו את נקודת החיתוך של הישר x = 2 עם הפרבולה y = x² – 3x + 1

פתרון

נציב x = 2 במשוואת הפרבולה

y = x² – 3x + 1

y = 2² – 3 * 2 + 1 = -1

נקודת החיתוך היא:

(1-, 2).

2.בעיה הפוכה: נתונה פרבולה ונקודת חיתוך כיצד מוצאים את משוואת הישר

דוגמה
לפרבולה y = x² – 1 יש נקודת חיתוך עם ישר ששיפועו 2 בנקודה שבה x = 3.

1. מצאו את משוואת הישר.
2. מצאו את נקודת החיתוך השנייה של הפרבולה והישר אם יש כזאת.

פתרון
שלב א: מציאת נקודת החיתוך

על מנת למצוא משוואת ישר אנו צריכים שיפוע ונקודה.

את השיפוע של הישר יש לנו (2).

את ערך ה x של הנקודה אנו יודעים.

על מנת למצוא את y נציב את x = 3 ונמצא את y בנקודת החיתוך.

y = 3² – 1 = 8

(3,8)  זו נקודת החיתוך.

שלב ב: מציאת משוואת הישר

נציב m = 2 ואת הנקודה 3,8 במשוואת הישר:

(y – y₁ = m(x – x₁
(y – 8 = 2(x – 3
y – 8 = 2x – 6 / + 8

y = 2x + 2

זו משוואת הישר.

שלב ג: מציאת נקודת חיתוך נוספת

אלו הן משוואות הפרבולה והישר:

y = x² – 1
y = 2x + 2

על מנת למצוא האם יש נקודת חיתוך נוספת נפתור את המשוואה:

x² – 1 = 2x + 2
x² – 2x -3= 0

x² + x – 3x – 3 = 0
x(x + 1) -3(x + 1) = 0
x – 3) (x + 1) = 0)

הפתרונות של המשוואה הזו הם:

x = -1  או x = 3

את הפתרון x = 3 קיבלנו בנתונים.

לכן בנקודת החיתוך השנייה x = – 1

נמצא את y על ידי הצבה במשוואת הישר.

y = 2x + 2
y = 2*-1 + 2 = 0

תשובה: נקודת החיתוך השנייה היא (0, 1-)

3.מספר נקודות החיתוך / פתרונות והמשמעות הגרפית שלהם

4.בעיה הפוכה: נתונה משוואת פרבולה. מצאו משוואת ישר שיש לו 0,1,2 נקודות חיתוך עם פרבולה?