בדף זה נלמד לחשב מרחק בין שתי נקודות.
החלקים של דף זה הם:
- הסבר וידאו.
- הסבר כתוב לנוסחת מרחק בין שתי נקודות.
- מרחק בין נקודה לצירים.
- תרגילים בסיסיים לשימוש בנוסחה (תרגילים 1-3).
- תרגילים לכיתה י ברמת 4-5 יחידות (תרגילים 4-7).
- תרגילים המשלבים משוואת מעגל (תרגילים 8-9).
1.הסבר וידאו לנוסחת המרחק
2.הסבר כתוב לנוסחת מרחק בין 2 נקודות
מרחק בין שתי נקודות מוצאים על ידי הצבה בנוסחה שהיא חלק מדף הנוסחאות הניתן לכם בבחינת הבגרות.
אם (x1, y1) ו (x2, y2) הן הנקודות ו d הוא המרחק בניהן אז הנוסחה היא:
d² = (x1 – x2)² + (y1 – y2)²
כלומר המרחק בין שתי נקודות שווה לשורש של הפרש המרחקים על ציר ה x בריבוע ועוד הפרש המרחקים על ציר ה y.
מדוע מעלים את הפרש המרחקים על ציר ה x וציר ה y בריבוע?
מרחק הוא מספר חיובי תמיד. אבל כאשר מחסרים שני מספרים ניתן לקבל מספר שלילי. לכן מעלים בריבוע על מנת להבטיח שנקבל מספר חיובי.
כמו כן כאשר מעלים בריבוע אין חשיבות לסדר בו אנו מציבים את המספרים:
2² = ²(5 – 3) = ²(3 – 5)
בסוף יש להוציא שורש ל d²√ על מנת לקבל את המרחק d.
3.מרחק נקודה מהצירים
מה המרחק של הנקודה (3-, 4) מציר ה x? מציר ה y?
פתרון
מרחק של נקודה מישר (והצירים הם ישר) הוא האורך של האנך מהנקודה אל הצירים.
באופן מעשי מה שעלינו לעשות הוא להעביר אנך מהנקודה אל הצירים ולמצוא לאיזו נקודה הוא מגיע.
לאחר שנמצא את הנקודה נחשב מרחק בין שתי הנקודות.
המרחק מציר ה x
על ציר ה x הגענו לנקודה
(4,0).
לכן צריך לחשב את המרחק בין הנקודות:
(3-, 4)
(4,0).
המרחק מציר ה y
על ציר ה y הגענו לנקודה
(3-, 0).
לכן צריך לחשב את המרחק בין הנקודות:
(3-, 4)
(3-, 0)
4.דוגמאות ותרגילים
תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים הדורשים הצבה בנוסחה.
תרגילים 4-6 הם תרגילים קשים יותר הדורשים הגדרת משתנים.
תרגילים 7-8 הם שילוב של נוסחת המרחק בשאלות על מציאת משוואת מעגל. תרגיל 8 קשה יותר מתרגיל 7.
תרגיל 1
מצאו את המרחק בין הנקודות (5,2) ו (10,0)
פתרון
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל
d²=(10-5)² + (0-2)²
d² = 5² + (-2)²
d²=25+4=29
d=√29
תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 29√
תרגיל 2
מצאו את המרחק בין הנקודות (3-,2-)A ו (5,8)B
פתרון
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:
d=√170
תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 170√
תרגיל 3
מצאו את המרחק בין הנקודות (1-,8)A ו (8,7)B
את השאלה הזו ניתן לפתור בשתי דרכים:
הדרך הקצרה
נזהה שלשתי הנקודות יש ערך x זהה.
ואז המרחק בין הנקודות הוא הפרש ערכי ה y:
7 – (-1) = 8
הדרך הארוכה: בעזרת הנוסחה
נציב את ערכי הנקודות בנוסחה ונקבל:
d=√64=8
תשובה: המרחק בין הנקודות הוא 170√
4.תרגילים עם שימוש במשתנים
תרגילים אלו מיועדים לתלמידי כיתות י-יא ברמת 4-5 יחידות.
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
5.תרגילים המשלבים את הנוסחה עם מציאת משוואת מעגל
בתרגילים 8-9 נשלב את הנוסחה במציאת משוואת מעגל.
תרגיל 9 קשה יותר.
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
איך יודעים מה מחסרים קודם
נגיד: יש לי [0,10] ו [2,5]
איך אני מחליטה מה בא קודם בחיסור
2-0 או 0-2?
שלום
כאשר משתמשים בנוסחת מרחק בין שתי נקודות מעלים בריבוע את ההפרש – וזה הופך את התוצאה לחיובית.
לכן כאשר משתמשים בנוסחה המופיעה בדף זה הסדר לא משנה.
במקרים שלא משתמשים בנוסחה הסדר משנה ומוסבר כאן
https://www.m-math.co.il/math-7th-grade/details/cartesian-coordinate-distance/
לימדו אותי עוד נוסחא אבל היא (1)x(2)-x לחלק ב(1)y(2)-y
האם אוכל לעשות ככה?
שלום
הפוך ה y למעלה וזו נוסחה למציאת שיפוע ישר לא נוסחה למרחק בין נקודות.
https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-by-2-points/
איך אני מוצאת נקודה באמצעות ישר ששיפועו נתון ונקודה אחרת נתונה?
שלום
בעזרת התכונה של שיפוע בפונקציה קווית.
יש הסבר כאן.
https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/point-by-m/
שלום אם נתון לי משולש ונתונים לי שלושת הקודקדים שלו ומבקשים את נקודת המפגש של האנכים האמצעים לצלעות המשולש מה אני עושה??
שלום
למען אלו שקוראים תגובות אציין שהשאלה לא קשורה לדף.
1.מוצאת שיפוע של שתי צלעות ואת האמצע של אותן שתי צלעות.
2.מוצאת את משוואת שני אנכים אמצעים על פי סעיף 1.
3.מוצאת את המפגש של שני הישרים.
איך עושים את התרגיל הבא?
מצא את משוואת הישר העובר בנקודה (-2,16) ובנקודת החיתוךשל הישר 3X-5X=20 עם ציר הY
שלום
מוצאים את נקודת החיתוך עם ציר ה y על ידי הצבה x = 0
ואז משוואת ישר על פי שתי נקודות.
https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-by-2-points/
תודה
יש לי שאלה אם אומרים לי מצא נקודה על חלקו החיובי של ציר ה-x הנמצאת במרחק שווה מהנקודה (3,9)B ומציר ה-y מה זה אומר לי? לא הצלחתי את זה…
אשמח אם תוכל לענות😊
שלום
1.תגדיר את הנקודה המבוקשת בעזרת משתנה יחיד.
2.מרחק מציר ה y הוא האנך אל ציר ה y. כלומר לנקודה שאליה מגיע האנך ומחושב המרחק יש אותו ערך y כמו הנקודה שהגדרת קודם.
3.בנה משוואה על פי נוסחת מרחק בין שתי נקודות.
יש לי נקודה A(4,10) וB(1,-4) אני צריכה למצוא נקודה על ציר הX שמרחקה מהנקודה A גדול פי 2 ממרחקה מנקודה B
איך אני עושה זאת?
שלום
מגדירים את הנקודה המבוקשת כ (x, 0) ובונים משוואה עם נעלם אחד שהוא x.
איזה משוואה עם נעלם אחד?
משוואה הנוצרת על ידי הצבת ערכי הנקודות בנוסחת המרחק בין שתי נקודות.
לא הבנתי יש מצב להדגמה קטנה?
דף העוסק במקרים דומים, בהם צריך להגדיר נקודה בעזרת משתנים ולאחר מיכן לבנות משוואה עם המשתנים הללו הוא הדף הבא:
https://www.m-math.co.il/math-10th-grade/linear-function-10th/
לא הבנתי, יש אפשרות שרק תתנו לי את המשוואה?
אני מצטער אבל האתר לא מספק פתרונות לתרגילים מחוץ לאתר.
שלום!
איך פותרים שאלה כזאת שיש בה מצב חיובי ושלילי?
על ציר ה-x מצא נקודה, שסכום מרחקיה מהנקודות (9,8) ו-(1,0) הוא 24.
שלום
אם בשאלה לא נתנו נתון שפוסל את אחת מהתשובות אז צריך להחזיר שתי תשובות.
איך אני מוצאת את הX של נקודה על ישר מקביל לציר האיקס כשיש לי נקודה נוספת על הישר ואת משוואתו
שלום
לישר המקביל לציר ה x יש ערך y קבוע.
מוסבר כאן
https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/linear-function-that-parallel-to-x-or-y/
ערב טוב
כיצד אני פותרת את התרגיל הבא
הנקדות B(-10,4), A(2,-7) ו- C(6,11) הן שלושת קדקודים של מקבילית ABCD. מצא את שיעורי הקדקוד הרביעי D
שלום
בעזרת זה שצלעות נגדיות מקבילות במקבילית הן בעלות שיפוע שווה בני את המשוואות של AD ו CD.
ו D היא נקודת החיתוך שלהם.
שאלה זהה תוכלי למצוא כאן
https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/linear-function/squares-analytic-summary/
צהוריים טובים!!
כשאני מגיעה לנוסחא d=שורש התוצאה שיצא לנו אז אני צריכה לפתוח את השורש?
ואם כן ויוצא לי שזה מספר כמו -5.385164807 אז מה התוצאה?
שאלה זו נשאלת על תרגיל שהראו בסרטון
שלום
אם בתוך השורש יש רק מספרים אז אתה צריך להפוך את כל המספרים למספר יחיד ואז להוציא לו שורש.
התוצאה שקיבלת היא המרחק. גם עם זה מספר מסובך.
בדרך כלל כותבים 2-3 ספרות לאחר הנקודה.
איך פותרים עם נעלם בx או בy קיים באחת מהנקודות
שלום
צריך לבנות משוואה ובאמצעותה למצוא את הנעלם.
תרגילים 4-8 בדף כוללים משתנה בנקודות.
יש לכם תרגילים של משוואת הישר??
כן.
זה דף עם קישורים לנושאים השונים. בכל קישור יש תרגילים.
https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/linear-function-8th-grade/
וזה דף מסכם
https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/equation-of-linear-function/
וזה דף לכיתה י
https://www.m-math.co.il/math-10th-grade/linear-function-10th/
יש לי משולש ישר זווית ונתון לי היתר (16) והגובה (ניצב) (6) עלי לחשב את צלע הבסיס של המשולש.. איך?
בעזרת משפט פיתגורס המוסבר כאן
https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/pythagorean-theorem-basic/
אפשר שאלה?
כן. אפשר לשאול כאן או בצ’אט.
מה עושים אם יוצא בסוף משוואה?
משהו חסר בפתרון.
כנראה שהיית צריך לבנות עוד משוואה וכך לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים.
בתרגיל 5 כיצד הגעתם למשוואת המעגל?
שלום
קודם כל שיהיה לך המון בהצלחה. התמדה היא חלק חשוב בהצלחה. כמו כן תוכלי לפנות לכאן על מנת לקבל תשובות לשאלות שיהיו לך בעתיד.
ולנושא עצמו:
1. משוואת מעגל מורכבת משני דברים: נקודת מרכז המעגל והרדיוס.
2. נקודת מרכז המעגל היא חלק מהנתון בשאלה.
3. הרדיוס לעומת זאת הוא המרחק שבין נקודת מרכז המעגל לנקודה שעל המעגל.
4. בשאלה חישבנו את הרדיוס על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות.
בזכותך:
הוספתי את הצורה הכללית של משוואת מרכז המעגל בתחילת הפתרון.
כמו כן בדף “משוואת המעגל” יש שאלות נוספות בנושא.
https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/circle-analytic-geometry/circle-equation/
בהצלחה
למה בדוגמאות לפעמים הוציאו שורש מה-d ולפעמים לא?
שלום
כאשר מחשבים מרחק של שתי נקודות על פי הנוסחה המרחק הוא תמיד תוצאה של שורש.
איפה ראית שלא יצא שורש?