מעגל 3 יחידות שאלון 382

בדף זה נלמד את נושא המעגל – גיאומטריה אנליטית על פי הנדרש בשאלון 382 / 803.

לדף הזה שני חלקים:

1. 8 סוגי שאלות / סעיפים שאתם צריכים לדעת לפתור.
2. תרגילים מסכמים ברמת בגרות.

8 סוגי השאלות שאנחנו נעבור עליהם הם:

1. הכרת משוואת המעגל.
2. מציאת משוואת המעגל בעזרת נקודה שעל המעגל.
3. מציאת נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים.
4. מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי הנקודה ידוע ואחד חסר.
5. מציאת נקודות חיתוך של ישר ומעגל.
6. כיצד יודעים האם נקודה נמצאת על מעגל, בתוך המעגל או מחוץ למעגל?
7. כאשר מופיעה המילה “קוטר” בשאלה. איזה שאלות יכולים לשאול אותנו?
8. מציאת משוואת משיק למעגל.

אל תיבהלו מהמספר הגדול של הנושאים.
כל הנושאים 1- 6 נפתרים על ידי פעולה אחת פשוטה: הצבה של ערך הידוע לנו במשוואת המעגל.
רק נושאים 7-8 הם נושאים קצת יותר קשים.

הנושאים מופיעים בצורה של הסבר תאורטי ולאחריו פתרונות של תרגילים.
אני ממליץ לעבור על כל הנושאים, אם ברור לכם דלגו. אם לא התעכבו על השאלות המסבירות את הנושא.

סרטונים מסכמים

1.הכרת משוואת מעגל

משוואת מעגל מורכבת משני נתונים: נקודה שהיא מרכז המעגל והאורך של הרדיוס.
כאשר נתון שמרכז המעגל הוא הנקודה (a,b) והרדיוס הוא R אז משוואת המעגל היא:

x – a)²+(y – b)² = R²)

עבור הנקודה (3,2) ורדיוס 10 משוואת המעגל היא:
x – 3)² + (y – 2)² = 10²)

עבור הנקודה  (4- , 2) ורדיוס 6 משוואת המעגל היא:
x – 2)² + (y + 4)² = 6²)
(שימו לב לסימן הפלוס).

משוואת מעגל היכולה לבלבל
x² + (y – 3)² = 16
מה הוא מרכז המעגל?

פתרון
את המשוואה ניתן לכתוב גם כך:
x – 0)² + (y – 3)² = 16)
ולכן מרכז המעגל הוא (0,3).

המעגל הקנוני x² + y² = R²

המעגל הקנוני הוא מעגל שנקודת המרכז מעגל היא ראשית הצירים (0, 0).

כאשר נציב (0, 0) במשוואת המעגל נקבל:

x – a)²+(y – b)² = R²)

x – 0)² + (y – 0)² = R²)

x² + y² = R²

המשוואה x² + y² = R²  היא המשוואה בה אנו משתמשים כאשר כתוב בנתונים שהמעגל הוא קנוני.

למשל, משוואת המעגל x² + y² = 5²

• הכרת משוואת המעגל.

2.מציאת רדיוס המעגל כאשר נתונה נקודה על המעגל

מצורף שרטוט של מעגל שמשוואתו
x – 3)² + (y -1)² = R²).
וזו נקודה על המעגל (4, 7).
כיצד נחשב את הרדיוס?

אפשרות ראשונה: בעזרת מרחק בין שתי נקודות
נשים לב שהרדיוס הוא בעצם המרחק שבין הנקודה שעל המעגל לבין מרכז המעגל.

לכן נציב את הנקודות (7,4) ו (3,1) בנוסחה של המרחק:

d² = (x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²

R² = d² = (7 – 3)² + (4 – 1)²

R² = 4² + 3²

R²  = 16 + 9  = 25

R= 5  או R = -5

מכוון שרדיוס מעגל הוא גודל חיובי התשובה היא  R = 5

אפשרות שנייה: בעזרת הצבה בנוסחת המעגל
הנקודה היא  (7,4) נמצאת על המעגל לכן ניתן להציב אותה במשוואת המעגל ונקבל
נציב  x = 7,   y = 4 במשוואת המעגל:

R² = (7-3)² + (4 – 1)²

והמשך הפתרון הוא כמו קודם.

• מציאת רדיוס המעגל על פי נקודה שעליו.

3.מציאת נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים

נקודות חיתוך מוצאים בדיוק כמו במשוואת ישר או פרבולה:

1. על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה x נציב y=0.
2. על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y נציב x = 0.

תרגיל 1
נתונה משוואה המעגל

x – 2)² + (y – 1)² = 40)

מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרון
חיתוך עם ציר ה y

נציב x = 0 על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- y.

(0 – 2)² + (y – 1) = 40

קיבלנו משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה ונמצא את y.

חיתוך עם ציר ה x
על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.
x-2)²+(0 -1)²=40)

קיבלנו משוואה עם נעלם אחד נפתור אותה ונמצא את x.

תרגיל 2
נתונה משוואת המעגל x² + y² = 16.
מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים.

פתרון
נציב x = 0 ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה y.
y² + 0² = 16
y² = 16
y = 4,  y = -4
נקודות החיתוך עם ציר ה y הן:
(4-, 0)    (4, 0)

נציב y = 0  ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
x² + 0² = 16
x² = 16
x = 4,   x = -4
נקודת החיתוך עם ציר ה x הן:
(0, 4-)    (0, 4)

• נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים.

5. מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי X / Y שלה ידוע ואחד חסר

על מנת לפתור שאלות אלו נציב את הערך הידוע במשוואת המעגל ונמצא את הערך השני.

דוגמה
הנקודה A ברביע הרביעי ועל המעגל x – 3)² + (y + 1)² = 20) ערך ה x בנקודה A הוא x = 5.
מצאו את הנקודה A.

פתרון
נציב x = 5 במשוואת המעגל.
y + 1)² + (5 – 3)² = 20)

קיבלנו משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה ונמצא את ערך ה y המתאים לנקודה.

• מציאת נקודת על המעגל שאחד מערכיה חסר.

6.מציאת נקודות חיתוך של ישר ומעגל

עושים זאת בדרך שכבר פתרנו איתה הרבה סעיפים: מציבים במשוואת המעגל.

הרבה פעמים לאחר ההצבה נקבל משוואה ריבועית שנצטרך לפתור.

מספר נקודות החיתוך של הישר והמעגל הוא כמספר הפתרונות של המשוואה הריבועית
0,  1,  2

דוגמה:
מצאו את נקודת החיתוך של המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y=3.

פתרון
נציב y= 3 במשוואת המעגל.

x – 2)²  + (3 -1)² = 20)

זו משוואה ריבועית עם נעלם אחד, נפתור אותה ונמצא את ערכי ה x שבהם יש חיתוך בין הישר למעגל.

• חיתוך של ישר ומעגל.

7.האם נקודה נמצאת על המעגל, בתוך המעגל או בחוץ?

בחלק מהשאלות מבקשים מאיתנו להראות שנקודה נמצאת על המעגל. או להגיד האם הנקודה נמצאת בתוך / מחוץ / על המעגל.

על מנת לענות על השאלה  מציבים את ערך הנקודה במשוואת המעגל ואם מתקיים:

x-a)²+(y-b)²=R²)   – אז הנקודה על המעגל.
x-a)²+(y-b)²>R²)   – אז הנקודה מחוץ למעגל.
x-a)²+(y-b)²<R²)     – אז הנקודה בתוך המעגל.

תרגיל לדוגמה:
מצאו איפה הנקודה (1,1) נמצאת  ביחס למעגל שמשוואתו:
x-7)² +(y-6)² = 45)

פתרון
נציב את ערכי הנקודה במשוואות המעגל.
45 ><  ²(1-7)+²(1-6)
45 >< ²(6-)+²(-5)
45 >< 36+25
45 < 61
תשובה: הנקודה נמצאת מחוץ למעגל.
(הערה הסימון >< מסמן שעדיין איננו יודעים איזה צד של האי שוויון גדול יותר).

תרגיל 1
הוכיחו כי המעגל x + 3)² + (y – 4)² = 25)  עובר דרך ראשית הצירים.

8. שימוש בנקודת מרכז המעגל / שימוש בקוטר

למילה “קוטר” יש שני שימושים:

1.שימוש בנוסחה לאמצע קטע לצורך חישוב הנקודה השלישית הנמצאת על הקוטר.

למשל,
נתונה משוואת המעגל  x- 1)² + (y+1)² = 4).

הנקודה  (1-, 3)A נמצאת על המעגל. מצאו את הנקודה B כך שהישר AB יהיה קוטר.

פתרון
נשתמש ב (1-, 3)A ו  (M(1, -1 והנוסחה לאמצע קטע לצורך מציאת (B (x_b, y_b

x_b + 3 = 2  / -3
x_b = -1

y_b – 1 = -2  / +1
y_b = -1
תשובה: (B (-1, -1.

2. שימוש שני למילה קוטר

בעזרת נקודה שעל המעגל ומשוואת המעגל ניתן למצוא את משוואת הקוטר העובר דרך הנקודה שעל המעגל.
דוגמה
נתונה משוואת המעגל x- 4)² + (y-1) = 17) ונתונה הנקודה הנמצאת על המעגל (A(5, 5.
מצאו את משוואת קוטר המעגל AB.

פתרון
גם כאן נשתמש בכך שכאשר נתנו לנו את משוואת המעגל נתנו לנו את נקודת מרכז המעגל (M (4, 1.

והתכונה של הקוטר AB היא שהוא עובר דרך מרכז המעגל M.

לכן הנקודות A, M נמצאות על הישר AB ואנו יודעים למצוא משוואת ישר על פי שתי נקודות.

נגדיר t שיפוע ישר AB.

נמצא את משוואת AB על ידי הצבת t= 4 והנקודה (A(5, 5 במשוואה:

(y – y₁ = t(x-x₁

(y – 5 = 4 (x – 5

y – 5 = 4x -20   / +5

y = 4x – 15

תשובה: משוואת הישר AB היא y = 4x – 15.

3. שימוש שלישי למילה קוטר.
מגודל הקוטר ניתן למצוא את גודל הרדיוס.
יתכן ויגידו לכם מה גודלו של הקוטר ויבקשו למצוא את הרדיוס.
למשל
משוואת מעגל היא   x – 3)² + (y + 8)² = R²)  וקוטרו של המעגל הוא 14 ס”מ.
חשבו את רדיוס המעגל.
רשמו את משוואת המעגל.

פתרון
הרדיוס שווה למחצית הקוטר ולכן:
R = 14 : 2 = 7
משוואת המעגל היא:
x – 3)² + (y + 8)² = 7²)

• קוטר במעגל.

9. מציאת משוואת משיק למעגל

אם יודעים את משוואת המעגל ונקודה שעל המעגל ניתן למצוא את משוואת המשיק למעגל בנקודה זו בשלושה שלבים:

1. מוצאים את שיפוע הרדיוס על פי שתי נקודות (נקודת מרכז המעגל והנקודה שעל המעגל).
2. הרדיוס מאונך למשיק, לכן ניתן למצוא את שיפוע המשיק.
3. מוצאים את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

תרגיל 1
הנקודה (A(-3 ,-2.5
נמצאת על המעגל
x – 2)² + (y + 4)² = 27.25).
מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה A.

פתרון

נמצא את שיפוע הרדיוס MA

נקודת מרכז המעגל היא (M (2, -4. נקודת ההשקה (A(-3 ,-2.5

נמצא את שיפוע הרדיוס MA.

נמצא את שיפוע המשיק

נעשה זאת בעזרת התכונה שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

נגדיר את שיפוע המשיק כ k.

מכפלת שיפוע הרדיוס בשיפוע המשיק היא 1- (בגלל שהם מאונכים)

k * -0.3 = -1   / : -0.3

k = 3.333

נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה

נמצא את משוואת המשיק ששיפועו 3.333 ועובר בנקודה (A(-3 ,-2.5.

(y-y₁=k(x-x₁

((y – (-2.5) = 3.333(x – (-3

y + 2.5 = 3.333x  + 10  / -2.5

y = 3.333x + 7.5

תשובה: משוואת המשיק המבוקשת היא y = 3.333x + 7.5

• משיק ורדיוס למעגל.

תרגילים מסכמים

לאחר שלמדתם את כל מה שכתוב למעלה זה הזמן לפתור את התרגילים הכתובים כאן.
אם אחד הסעיפים קשה לכם אני ממליץ לכם להסתכל בחלק שלמעלה המסביר בעיה דומה ולראות אם זה עוזר לכם לפתור את הסעיף.

בחלק זה שני תרגילים.