סכום סדרה הנדסית המקומות הזוגיים או האי זוגיים

בדף זה נלמד לחשב את סכום המקומות הזוגיים או האי זוגיים בסדרה הנדסית.

הדף סכום סדרה הנדסית כולל נושאים נוספים ומומלץ ללמוד גם ממנו.

החלקים של דף זה הם:

1. הסבר כיצד מחשבים סכום מקומות זוגיים ואי זוגיים.
2. 3 תרגילים.

1.כיצד מחשבים סכום מקומות זוגיים ואי זוגיים

בשאלות מסוג זה יש לנו נתונים על הסדרה המקורית.
מהנתונים הללו עלינו לזהות מהם האיברים בסדרה החדשה של המקומות הזוגיים או האי הזוגיים.
עלינו לזהות את:

1. האיבר הראשון.
2. מנת הסדרה.
3. מספר האיברים.

בסדרה החדשה ואז להציב בנוסחת הסכום.

כאשר אתם עושים זאת עליכם לשים לב לשלושת הדברים הבאים.

1. האיבר הראשון
אם זו סדרת המקומות האי זוגיים האיבר הראשון של הסדרה החדשה הוא a₁, בדיוק כמו בסדרה המקורית.
אם זו סדרת המקומות הזוגיים האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא a₂ של הסדרה המקורית.

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀
אם זו הסדרה המקורית.
אז בסדרת האיברים האי זוגיים a₁ הוא האיבר הראשון.
ובסדרת האיברים הזוגיים a₂ הוא האיבר הראשון.

2. הפרש הסדרה
הפרש הסדרה מועלה בריבוע והופך להיות q²

אם זו הסדרה המקורית
a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈, a₉, a₁₀ 

אז סדרת המקומות האי זוגיים היא:
a₁, a₃, a₅, a₇, a₉
וסדרת המקומות הזוגיים היא:
a₂, a₄, a₆, a₈, a₁₀
בשני המקרים ההפרש הוא q²

3. מספר האיברים
אם בסדרה המקורית מספר זוגי של איברים אז בסדרה החדשה, של המקומות הזוגיים או האי זוגיים יש 0.5n איברים.

ולעומת זאת:
אם בסדרה המקורית מספר אי זוגי של איברים שהוא n.
אז אם הסדרה החדשה היא סדרת המספרים הזוגיים אז יש בה
 איברים.
למשל אם בסדרה המקורית יש 9 איברים אז בסדרת המקומות הזוגיים יש 4 איברים.

ואם זו סדרת האיברים האי זוגיים אז יש בה
   איברים
למשל אם בסדרה המקורית יש 9 איברים אז בסדרת המקומות האי זוגיים יש 5 איברים.

4. הערה
תמיד טוב לזכור שסכום המקומות הזוגיים ועוד סכום המקומות האי זוגיים שווה לסכום הסדרה כולה.
לפעמים דרך זו עוזרת לנו לבצע חישובים.

לסיכום

	הסדרה המקורית	המקומות האי זוגיים	המקומות הזוגיים
האיבר הראשון	a1	a1	a1 * q = a2
מנת הסדרה	q	q²	q²
מספר האיברים בסדרה (כאשר הוא זוגי)	n	0.5n	0.5n
**מספר האיברים בסדרה (כאשר הוא אי זוגי)	n	0.5n + 0.5	0.5n – 0.5

** לפעמים יכתבו שבסדרה יש 2n + 1 איברים ואז:
n + 1  מספר האיברים בסדרה האי זוגית.
n  מספר האיברים בסדרה הזוגית.

האיבר הראשון:   a₁ באי זוגיים.   a₂ בזוגיים.
הפרש הסדרה:   q².
מספר האברים:
כאשר זו סדרה עם מספר זוגי של איברים אז n/2 בכול אחת מהסדרות.
כאשר זו סדרה עם 2n + 1 איברים אז:
n+ 1 בסדרת האי זוגיים.
n איברים בסדרת הזוגיים.

טיפ נוסף שיכול לחסוך לכם טעויות

כפי שכתבנו כאשר מחשבים סכום מקומות זוגיים או סכום מקומות אי זוגיים עלינו להציב q² במקום q בנוסחת סכום סדרה הנדסית.

שימו לב שיש q במונה ובמכנה.
הרבה מציבים q² במונה ואז מרגישים שהם כבר ביצעו את ההצבה הנכונה וממשיכים מכאן לעבוד על אוטומט ולא מציבים q² גם במכנה, לא שמים לב אליו.

אז תוודאו שזה לא יקרה לכם. הציבו q² בשני המקומות.

2.תרגילים

3 תרגילים.
לתרגיל מספר 1 יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל מספר 3 קשה יותר מהשניים הראשונים. האלגברה שלו יכולה להיות קשה לתלמידי 4 יחידות. אבל תלמידי 4 יחידות צריכים לפחות לבנות את המשוואות הנכונות.

תרגיל 1

נתונה סדרה הנדסית עם 10 איברים. מנת הסדרה היא 2.
סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 16368.
מצאו את האיבר הראשון של הסדרה המקורית.

פתרון
שלב 1: רישום הנתונים והגדרת המשתנה שחסר
עבור הסדרה המקורית
a₁  האיבר הראשון של הסדרה השלמה.
q=2
n = 10

עבור סדרת המקומות הזוגיים
a₁ * q = 2a₁ האיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא 2a₁.
q_זוגי = 2² = 4   (מנת הסדרה היא 4)
n_זוגי = 5    (מספר האיברים בסדרת המקומות הזוגיים הוא 5)
s_nזוגי=16,368   (סכום האיברים במקומות הזוגיים).

a₁=?   (האיבר הראשון של הסדרה המקורית חסר).

שלב 2: הצבת הנתונים במשוואה.

16,368=(2a₁(4⁵-1)  : (4-1
2a₁ *341 = 16,368
682a₁=16368
a₁=24
תשובה: האיבר הראשון בסדרה המקורית הוא 24.

תרגיל 2

בסדרה שבה q = 3 n = 10
סכום הסדרה גדול ב 7,381 מסכום המקומות הזוגיים.
חשבו את האיבר הראשון בסדרה.

פתרון
עבור הסדרה המקורית מתקיים
a₁ האיבר הראשון בסדרה
q = 3
n = 10
לכן סכום הסדרה המקורית הוא:

עבור סדרת המקומות הזוגיים.
האיבר הראשון הוא:
a₁*q = 3a₁
מנת הסדרה היא:
q² = 3² =9
מספר איברה הסדרה הם:
n : 2 = 5
סכום הסדרה הוא:

בניית משוואה ופתרונה
אנו יודעים כי סכום הסדרה המקורית גדול ב 7,381 מסכום סדרת המקומות הזוגיים.
לכן המשוואה שלנו תהיה:

נכפיל פי 8 על מנת “להיפטר” מהמכנים.
(3a₁ (9⁵ – 1) + 59,048 = 4a₁ (3¹⁰– 1
בעזרת מחשבון נמצא כי:
59,048 = 1 – 9⁵
59,048 = 1 – 3¹⁰
(הערה: אם שמתם לב שעל פי חוקי חזקות 3¹⁰ = 9⁵ זה היה מקל עליכם).

קיבלנו:
3a₁ * 59,048 + 59,048 = 4a₁ * 59,048    / : 59,048
3a₁ + 1 = 4a₁   / -3a₁
a₁ = 1
תשובה: האיבר הראשון בסדרה הוא 1.

תרגיל 3

(בתרגיל זה האלגברה קשה יותר מבשני התרגילים הראשונים).
בסדרה הנדסית שבה 8 איברים הסכום הוא 2,184.5- אם מחליפים את סימן האיברים במקומות הזוגיים מתקבלת סדרה הנדסית שסכומה 1,747.6 מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון בסדרה.

פתרון
עבור הסדרה המקורית
a₁ האיבר הראשון של הסדרה.
n = 8
q מנת הסדרה.

לכן סכום הסדרה הוא:

עבור סדרת המקומות הזוגיים שהחליפו להם סימן
a₁q-   האיבר הראשון בסדרה.
n= 4
q² מנת הסדרה.

לכן סכום הסדרה הוא:

נשים לב שהביטויים הבאים הם ביטויים שווים:

נחלק את משוואת סכום הסדרה המקורית במשוואת סכום המקומות הזוגיים שהחליפו להם סימן. אנו יכולים לעשות זאת כי אנו מחלקים את שני צדדי המשוואה באותו מספר, והמספר הזה שונה מ 0.
נקבל:

(מי שהמעבר לא ברור לו יכול להיעזר בדף חלוקת שבר בשבר)

נשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר על מנת לבצע פירוק לגורמים של המכנה:
(q² – 1 = (q + 1) (q – 1
(הערה: ניתן לפתור גם ללא ביצוע פעולה זו אבל אז היינו צריכים לפתור משוואה ריבועית).

נצמצם את q  -1 הנמצא במונה ובמכנה ונקבל:

נכפיל במכנה המשותף q + 1 ונקבל:
q = – 0.8q – 0.8   / +0.8q-
0.2q = -0.8  / : -0.2-
q = 4
תשובה: מנת הסדרה היא 4.

עלינו גם למצוא את האיבר הראשון.
נציב q = 4 במשוואת סכום הסדרה המקורית שקיבלנו.

a₁ (65,536 – 1) = -2184.5 * 3
65,535a₁ = -6,553.5  / :  -65,535
a₁ =  – 0.1
תשובה: האיבר הראשון של הסדרה המקורית הוא 0.1-.

עוד באתר:

• סדרה הנדסית.
• סכום סדרה הנדסית.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.