משוואה ריבועית סיכום

בדף זה נלמד את היסודות של המשוואה הריבועית.

תלמידי 3 יחידות צריכים לדעת את דף זה.
תלמידי 4-5 יחידות צריכים לדעת דף נוסף לאחר שידעו את הדף הזה (טכניקות מתקדמות לפתרון משוואה ריבועית).

חלקי הסיכום הם:

1. סרטון מסכם.
2. היכרות.
3. זיהוי פרמטרים במשוואה ריבועית.
4. פתרון בעזרת נוסחת השורשים.
5. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
6. פתיחת סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר.
7. פתרון משוואות לא מסודרות.
8. דרכי פתרון נוספות.
9. מציאת נקודות חיתוך של פרבולה וישר.
10. משוואה ריבועית ובעיות מילוליות.

חלקים 1,6,7,8,9,10 הם למנויים באתר.

1.סרטון מסכם

2.היכרות עם המשוואה הריבועית

משוואה ריבועית היא משוואה שבה יש x בחזקת 2.

כך היא נראית:

ax² + bx + c = 0

כאשר a,b,c הם מספרים.

b,c  יכולים להיות כל מספר, כולל 0.

a חייב להיות מספר שונה מ 0, כי אם a שווה 0 לא יישאר במשוואה x².

משוואה ריבועית שונה ממשוואה עם נעלם אחד בשני דברים:

1. דרך הפתרון שונה.
2. למשוואה ריבועית יכולים להיות 2 או 1 או 0 פתרונות.

3.זיהוי פרמטרים במשוואה ריבועית

על מנת לפתור משוואה ריבועית עלינו לזהות את הפרמטרים a,b,c בצורה נכונה.

דוגמה 1
x² – x – 4 = 0

פתרון
a = 1,  b = -1,  c = -4

שימו לב שכאשר אין מקדם לפני x²  זה אומר שהמקדם הוא 1.

כאשר יש מינוס ללא מספר לפני המשתנה זה אומר שהמקדם 1-.

דוגמה 2
-x²  +2x = 0

a = -1,  b = 2,  c = 0

c = 0
כאשר אין מספר חופשי.
ניתן לכתוב את המשוואה גם כך:

-x²  +2x + 0 = 0

דוגמה 3
3x²  + 1 = 0

a = 3,  b = 0,  c = 1

כאשר אין את x זה אומר b =0.
ניתן לכתוב את המשוואה גם כך:

3x²  + 0x + 1 = 0

דוגמה 4
x²  = 3x – 1

כאשר אנו מקבלים משוואה "לא מסודרת" עלינו לסדר אותה לפני שקובעים את הפרמטרים.

x² – 3x + 1 = 0

a = 1,  b = -3,  c = 1

דוגמה 5
-x  + 9 = 0

כאשר אין x²  זו לא משוואה ריבועית.

4.נוסחת השורשים

• נוסחת השורשים דף מלא.

יש מספר דרכים לפתור משוואה ריבועית.

אבל:
נוסחת השורשים היא היחידה מבין כל הדרכים שיכולה למצוא את הפתרון של כל משוואה ריבועית.

נוסחת השורשים היא גם דרך ארוכה, לכן כאשר תהיה לנו אפשרות להשתמש בדרכי קיצור נעשה זאת.

דרך הפתרון היא:

1.לזהות את הפרמטרים של המשוואה הריבועית.

2.להציב בנוסחת השורשים ולפתור.

בנוסחה זו a,b,c הם הפרמטרים של המשוואה הריבועית.

x_1, x₂ הם הפתרונות של המשוואה.

דוגמאות להצבה בנוסחת השורשים

דוגמה 1
x²+7x+12=0

הפרמטרים:
a=1, b=7, c=12

ההצבה

תרגיל 2
פתרו את המשוואה הריבועית
x²-3x-10=0

הפרמטרים:
a=1, b=-3, c=-10

הצבה:

תרגיל 3
פתרו את המשוואה הריבועית
4x²-7x+2=0-

הפרמטרים:
a=-4, b=-7, c=2

הצבה:

משוואה ריבועית שבה a = -1

-x² + 3x + 4 = 0

זו משוואה שניתן לפתור כך:

אבל הרבה לא מעוניינים לעבוד עם a = -1.

לכן הם מכפילים את המשוואה כולה ב 1-.

-x² + 3x + 4 = 0  / * (-1)

x² – 3x – 4 = 0

הפתרון בשתי הדרכים יוצא אותו הדבר.

שגיאות נפוצות בהצבה בנוסחת השורשים

יש מספר שגיאות שחוזרות על עצמם כאשר מציבים בנוסחת השורשים:

1.התעלמות מה a שנמצא במכנה או ה 2 שבמכנה.

ברוב המשוואות שנפתור המקדם של x² יהיה 1.

לפעמים אנו מתרגילים לכך, וכאשר a ≠ 1 אנו לא מציבים זאת בנוסחה.

2.רישום b – בצורה נכונה.

בעיקר יש לנו משוואות ריבועיות שבהם b הוא שלילי.
כמו:

x² – 2x + 10 = 0

אנו עלולים לא לזכור לרשום מינוס b כפי שצריך.
ברישום נכון נקבל במקרה זה מינוס מינוס.

3.בתוך השורש יש b² והחזקה היא על כל b.

אם b = -2 אז החזקה שבתוך השורש צריכה להיות גם על המינוס.

דוגמה להצבה b = -2 בנוסחת השורשים.

4.בתוך השורש יכול להיות כפל של 3 מינוסים

אם a,c הם שליליים אז הביטוי שבתוך השורש

-4ac

יכלול כפל של 3 מינוסים.
עלינו לשים לב שאנו מגיעים לתשובה ולסימן הנכון.

כפל של 3 מינוסים ⇐ תוצאה שלילית.
כפל של 2 מינוסים ⇐ תוצאה חיובית.

דוגמה להצבה a = -1,  c = -3

5.מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית

עבור המשוואה הריבועית ax²+bx+c=0

נוסחת השורשים היא:

b²-4ac>0
כאשר הביטוי בתוך השורש חיובי אנו מקבלים שני פתרונות.
פתרון אחד עבור פעולת + מה שיש בתוך השורש.
פתרון שני עבור פעולת – מינוס מה שיש בשורש.

b² – 4ac < 0
הביטוי מתחת לשורש שלילי, אין שורש למספר שלילי.
לכן במצב זה אין למשוואה הריבועית פתרונות.

b²-4ac=0
הביטוי מתחת לשורש והשורש עצמו שווים ל 0
+ 0
– 0
מביא אותנו לאותה תוצאה, לכן במצב זה יש פתרון יחיד

לסיכום
b²-4ac>0 יש שני פתרונות.
b²-4ac=0 יש פתרון אחד.
b²-4ac<0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

חלקים 6-9 שבדף הם למנויים באתר:

6.פתיחת סוגריים עם נוסחאות הכפל המקוצר.
7.פתרון משוואות ריבועיות עם כינוס איברים.
8.דרכי קיצור לפתור משוואה ריבועית.
9.כיצד מוצאים נקודת חיתוך של פרבולה וישר.