הסתברות עם משתנה

דף זה הוא החלק האחרון בלימוד בעיות הוצאה והחזרה.

לדף זה שני חלקים:

1. בעיות עם משתנה (ל 4-5 יחידות)
2. בעיות מתחכמות (ל 3,4,5 יחידות).

לפני דף זה למדנו:

1. בעיות הוצאה והחזרה הסבר.
2. בעיות הוצאה והחזרה תרגילים.
3. בעיות הוצאה והחזרה עם 3 צבעים.

1.בעיות עם משתנה

עד עכשיו בכול הבעיות ידענו בדיוק כמה כדורים יש לנו מכול סוג.
בשאלות שנלמד עכשיו לא נדע את מספר הכדורים של צבע אחד או יותר.

דוגמה 1 (דרך הגדרה ראשונה)
בקופסה 7 כדורים אדומים ו x כדורים כחולים.

1. מוצאים כדור אחד. הביעו באמצעות x את ההסתברות להוציא כדור אדום.
2. ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים בשתי הוצאות עם החזרה היא 49/81. מצאו את מספר הכדורים הכחולים בקופסה.

פתרון
סעיף א: ההסתברות לאדום בהוצאה אחת
x + 7 זה מספר הכדורים בקופסה.
מתוכם 7 אדומים, לכן ההסתברות לאדום היא:

וההסתברות לכדור כחול היא:

סעיף ב: מציאת מספר הכדורים הכחולים
מכוון שההוצאה היא עם החזרה ההסתברות בפעם הראשונה ובפעם השנייה להוציא אדום היא זהה.

ההסתברות הזו שווה ל 49/81 ולכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 7)² * 81)
ונקבל:

x + 7)² * 49 = 7*7*81)
נחלק את שני אגפי המשוואה ב 49 ונקבל:
x + 7)² = 81)
x + 7)²  = 9²)

ניתן להבין ממשוואה זו ש x = 2  או  x = -16
וניתן גם לפתוח סוגריים ולפתור משוואה ריבועית.
x² + 14x + 49 = 81  / -81
x² + 14x – 32 = 0

בעזרת נוסחת השורשים או טרינום נקבל:
x₁ = 2,  x₂ = -16
מכוון ש x הוא מספר כדורים, גודל חיובי הפתרון x = 16 נפסל.

תשובה: מספר הכדורים הכחולים הוא 2.

אם היינו רוצים לשרטט את השאלה בדיאגרמת עץ זה היה נראה כך:

בשאלה זו לא ידענו את מספר הכדורים הכחולים אבל קיבלנו בתמורה את ההסתברות של הענף “אדום, אדום”.
וכך זה יהיה ברוב השאלות יהיה לנו חסר מספר כדורים אבל נדע את ההסתברות של ענף שלם.

דוגמה 2 (דרך הגדרה שנייה)
בקופסה 8 כדורים.
x מתוכם אדומים והיתר כחולים.
בקופסה יותר כדורים אדומים מכחולים.

1. מוציאים כדור, הביעו באמצעות x את ההסתברות שהוא כחול.
2. מוציאים שני כדורים עם החזרה. ההסתברות שהראשון אדום והשני כחול היא 12/64. חשבו את מספר הכדורים הכחולים ומספר האדומים בקופסה.

פתרון
סעיף א: ההסתברות לכחול
x מספר הכדורים האדומים.
ולכן מספר הכדורים הכחולים הוא:

ההסתברות לכדור כחול היא:

סעיף ב: מציאת x.
ההסתברות לאדום היא:

ההסתברות לאדום ואז כחול היא 12/64. לכן המשוואה היא:

נכפיל פי 64 ונקבל:

x (8 – x) =12
8x – x² = 12
x² – 8x + 12 = 0
זו משוואה ריבועית שהפתרונות שלה הם:
x₁ = 2,  x₂ = 6

x הוא מספר הכדורים האדומים. אם יש 2 אדומים אז יש 6 כחולים.
אם יש 6 אדומים אז יש 2 כחולים.
מכוון שבנתונים אמרו שיש יותר אדומים מכחולים הפתרון הוא 6 אדומים ושני כחולים.

בדיאגרמת עץ השאלה הייתה נראית כך:

כאשר הנתון “הנוסף” שקיבלנו הוא שההסתברות של ענף 2 (אדום ואז כחול) היא 12/64.

בסרטון הוידאו שלמטה פתרון תרגיל דומה:

עוד באתר:

1. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
2. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
3. הסתברות 4 יחידות.
4. הסתברות 5 יחידות.
5. דיאגרמת עץ