בעיות הוצאה והחזרה תרגילים

הדף הזה כולל תרגילים בנושא בעיות הוצאה והחזרה.
הדף מחולק ל 3 חלקים:

  1. הוצאה עם החזרה.
  2. הוצאה ללא החזרה.
  3. תרגילים קשים יותר.

התרגילים בדף זה הם תרגילים בסיסיים יחסית. תרגילים קשים יותר תוכלו למצוא בדף:

1.הוצאה עם החזרה

כאשר אנו מוציאים כדור מקופסה ומחזירים אותו לקופסה אנו מחזירים את הקופסה למצבה ההתחלתי.
לכן ההסתברויות נשארות אותו דבר לאורך ההוצאות השונות.

תרגיל 1
בקופסה 12 כדורים.
7 מתוכם אדומים ו 5 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).

  1. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים.
  2. מה ההסתברות שהכדור הראשון צהוב והשני אדום.
  3. מה ההסתברות ששני הכדורים יהיו בצבעים שונים ללא חשיבות לסדר.

פתרון

סעיף א: ההסתברות לשני אדומים
הסתברות לאדום בהוצאה יחידה היא 7 מתוך 12.
7/12.
לכן ההסתברות להוציא אדום פעמיים היא:

תשובה: ההסתברות לשני אדומים היא 49/149.

הערה
הסתברות זו נובעת מהנוסחה של מאורעות בלתי תלויים:
(P(A∩B)=P(A) * P(B
כאשר:
P (A) = 7/12
P (B) = 7/12

סעיף ב: הראשון צהוב והשני אדום.
ההסתברות לראשון צהוב היא 5/12
ההסתברות לשני אדום היא 7/12.
ההסתברות ששני הדברים יקרו היא:

תשובה: ההסתברות לצהוב ולאחר מיכן אדום היא 35/144.

סעיף ג: אחד צהוב והשני אדום ללא חשיבות לסדר.
הסתברות זו מורכבת משתי אפשרויות.

הראשון צהוב והשני אדום, בסעיף הקודם חישבנו שהסתברות זו היא 35/144.

הראשון אדום והשני צהוב והסתברות זו היא:

ההסתברות המבוקשת היא סכום שתי ההסתברויות:

אם היינו רוצים לשרטט את התרגיל בדיאגרמת עץ הוא היה נראה כך:

בסעיף א חישבנו את ההסתברות של ענף 4.
בסעיף ב ענף 2.
בסעיף ג ענף 2 + ענף 3.

תרגיל 2
בקופסה 10 כדורים. מתוכם 6 אדומים ו 4 כחולים.

  1. מוצאים כדור, מה ההסתברות שהוא אדום?
  2. מוצאים כדור מחזרים אותו ומוצאים שוב. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים.
  3. מוצאים שני כדורים (עם החזרה לאחר ההוצאה). מה ההסתברות שלפחות אחד מיהם לא אדום?
  4. מוצאים שני כדורים (עם החזרה לאחר ההוצאה). מה ההסתברות ששניהם לא אדומים?

פתרון
סעיף א: הוצאת כדור אדום בודד
יש 6 אפשרויות טובות מתוך 10.
לכן ההסתברות היא:
0.6 = 6/10

סעיף ב: הוצאת שני כדורים אדומים
ההסתברות להוציא את הכדור האדום הראשון היא 6/10.
כאשר מחזירים את הכדור הראשון המצב חוזר לקדמותו.
לכן ההסתברות להוציא את האדום השני היא:

תשובה: 9/25.

סעיף ג: מה ההסתברות שלפחות אחד מיהם לא אדום
לא ברור מה ההסתברות "לפחות אחד לא אדום" כוללת. לכן אני ממליץ במקרה זה לשרטט דיאגרמת עץ.

ניתן לראות שיש "לפחות אחד לא אדום" בענפים 2,3,4. לכן אנו צריכים לחשב את סכום ההסתברויות שלהם.

אבל ניתן גם להיעזר בכך שבסעיף הקודם חישבנו את ההסתברות של ענף 1 (שני אדומים) ושזו ההסתברות המשלימה להסתברות המבוקשת.

ההסתברות שלא יצא אדום בשתי הוצאות עם החזרה היא 16/25.

סעיף ד: מה ההסתברות ששניהם לא אדומים
שניהם לא אדומים זה אומר ששניהם כחולים.
עלינו לחשב את ההסתברות של ענף 4 בעץ.
ההסתברות לשני כחולים היא:

2.הוצאה ללא החזרה

כאשר מוצאים ללא החזרה המצב משתנה.
כאשר מוצאים בפעם הראשונה וכאשר מוצאים בפעם השנייה ההסתברויות אינן אותן הסתברויות.

תרגיל 1
בקופסה 10 כדורים. מתוכם 6 אדומים ו 4 כחולים.
מוצאים כדור לא מחזירים אותו ולאחר מיכן מוצאים כדור שני.

  1. מה ההסתברות לשני כדורים אדומים.
  2. מה ההסתברות לשני כחולים.
  3. מה ההסתברות לראשון אדום ושני

פתרון
נשרטט דיאגרמת עץ

סעיף א: ההסתברות לשני אדומים
בהוצאה הראשונה המצב הוא:

וההסתברות במצב זה לאדום היא 6/10.

לאחר שהוצאנו אדום המצב בקופסה הוא:

וההסתברות להוציא אדום במצב זה היא 5/9.

ההסתברות להוציא שני אדומים ברצף היא:

זו ההסתברות של ענף 1 בעץ שלמעלה.

תשובה: ההסתברות לשני אדומים היא 1/3.

סעיף ב: הסתברות לשני כחולים
ההסתברות לכחול הראשון היא 4/10.

לאחר ההוצאה הראשונה נשארנו עם 3 כחולים מתוך 9. וההסתברות היא 3/9.
ההסתברות לשני כחולים היא:

זו גם ההסתברות לענף 4 בעץ.
תשובה: ההסתברות להוציא שני כחולים היא 2/15.

סעיף ג: הראשון אדום והשני כחול
6/10 זו ההסתברות לראשון אדום.
נשארנו עם 9 כדורים מתוכם 4 כחולים.
4/9 זו ההסתברות לכחול במצב זה.

זו גם ההסתברות של ענף 2 בעץ.
תשובה: ההסתברות לראשון כחול ושני אדום היא 4/15.

ניסוחים נוספים של הוצאה ללא החזרה

הניסוח הפשוט של הוצאה ללא החזרה הוא כאשר אומרים בפירוש ללא החזרה.
אבל יש ניסוחים קשים יותר להבנה שכדאי להכיר אותם מראש.

דוגמה 1
בכיתה יש 20 תלמידים. 4 מתוכם לובשים חולצה לבנה.
מוצאים שני תלמידים החוצה, מה ההסתברות שלשניהם חולצה לבנה.

פתרון
זו הוצאה ללא החזרה. כאשר מוצאים שני תלמידים אין אפשרות לבחור תלמיד אחד פעמיים וזו הוצאה ללא החזרה.
ההסתברות לתלמיד ראשון עם חולצה לבנה היא 4/20
ההסתברות לתלמיד שני עם חולצה לבנה היא 3/19

ההסתברות המבוקשת היא:

דוגמה 2
בלוטו האנגלי יש 18 מספרים מתוכם צריך לבחור 3.
כאשר אדם בוחר 3 מספרים. מה ההסתברות שיזכה בלוטו?

פתרון
גם זו הוצאה ללא החזרה. כי כאשר מוצאים כדור בלוטו לא מחזירים אותו לאחר מיכן וכאשר אדם מסמן מספר הוא לא יסמן את המספר שוב.
בבחירה הראשונה יש לאדם 3 אפשרויות מתוך 18 לכן ההסתברות לבחור נכון בפעם הראשונה היא 3/18.
בבחירה השנייה נותרו 17 מספרים, מתוכם 2 נכונים וההסתברות 2/17.
בבחירה השלישית נותרו 16 מספרים מתוכם 1 טוב וההסתברות 1/16.

ההסתברות שכל המאורעות יקרו יחד ביחד היא:

תשובה: ההסתברות לזכות בלוטו האנגלי היא 1/816.

3.שאלות קשות יותר

עד עכשיו השאלות היו מאוד מדויקות.

  1. מה הסתברות לשני אדומים?
  2. מה ההסתברות לשני כחולים?
  3. מה ההסתברות לאדום ראשון ושני כחול?

אבל יכולים לשאול שאלות אחרות.

  1. מוצאים שני כדורים. מה ההסתברות ששניהם באותו הצבע?
  2. מוצאים שני כדורים. מה ההסתברות ששניהם בצבע שונה?

במקרים הללו עלינו לחשוב ולבדוק בעצמנו על אלו הסתברויות מדובר.

כיצד פותרים זאת נראה בשאלה הבאה:

תרגיל 1 (עם החזרה)
בכד 5 כדורים לבנים ו 3 כדורים צהובים.
מוציאים שני כדורים (עם החזרה).

  1. מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם בצבעים שונים?
  2. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו הצבע?

פתרון
כך נראית הבעיה בדיאגרמת עץ:

יש שתי דרכים לקבל כדורים בצבעים שונים.
דרך ראשונה: הראשון לבן והשני צהוב (ענף 2)
דרך שנייה: הראשון צהוב והשני לבן (ענף 3)

עלינו לחשב את ההסתברות לכל אחד מהמקרים הללו בנפרד ואז לחבר את ההסתברויות.

חישוב ההסתברות: הראשון לבן והשני צהוב.
בכד 8 כדורים.
מתוכם 5 לבנים.
לכן ההסתברות להוציא לבן בכדור הראשון היא 5/8.

בכד 3 כדורים צהובים מתוך 8.
לכן ההסתברות להוציא כדור צהוב בכדור השני היא 3/8.

כאשר אנו רוצים שני מאורעות בלתי תלויים יקרו ביחד אנו מכפילים את ההסתברויות שלהם.
על פי הנוסחה:
(P(A∩B) = P(A) * P(B
לכן ההסתברות להוציא לבן ראשון וצהוב שני היא:

חישוב ההסתברות: הראשון צהוב השני לבן
ההסתברות להוציא בכדור הראשון צהוב היא 3/8
ההסתברות להוציא בשני לבן היא 5/8

לכן ההסתברות להוציא צהוב ולבן היא:

אנו רוצים לחשב:
לבן ולאחריו צהוב או צהוב ולאחריו לבן.
במקרה זה מחברים את ההסתברויות:

תשובה: ההסתברות לשני כדורים בצבעים שונים היא 30/64 (זו ההסתברות של ענפים 2,3 ביחד).

סעיף ב: כדורים באותו צבע
נשים לב ששני כדורים באותו צבע זו ההסתברות המשלימה של מה שחישבנו בסעיף א "שני כדורים בצבע שונה".
לכן ניתן לחשב את ההסתברות בצורה הזו:

דרך אחרת היא לחשב באופן ישיר את ההסתברות לענף 1 (לבן, לבן).

וההסתברות לענף 4 (צהוב, צהוב).

סכום ההסתברויות הללו הוא:

תשובה: ההסתברות לקבל שני כדורים באותו צבע היא 34/64.

לסיכום:
חישבנו את הענפים 2,3 על מנת לפתור את סעיף א (צבעים שונים)
והענפים 1,4 הם ההסתברות המשלימה הפותרת את סעיף ב צבעים זהים).

דוגמה 2 (ללא החזרה)
בקופסה 4 כדורים צהובים ו 5 אדומים.
מוצאים כדור אחד ומשאירים אותו בחוץ. מוצאים כדור נוסף.

  1. מה ההסתברות שלשני הכדורים יש את אותו הצבע?
  2. מה ההסתברות שלשני הכדורים צבע שונה?

פתרון
כך נראית הבעיה בדיאגרמת עץ.

סעיף א הוא חיבור ההסתברויות של הענפים 1,4. (אותו צבע).
סעיף ב הוא חיבור ההסתברויות של הענפים 2,3 (צבעים שונים) או ההסתברות המשלימה של סעיף א.

סעיף א: שניים באותו צבע
שניים באותו צבע יכולים להיות צהוב צהוב.
או
אדום אדום

נחשב את ההסתברות לשני צהובים
בהתחלה יש 4 כדורים צהובים מתוך 9 ולכן ההסתברות היא לכדור ראשון צהוב:
4/9
לאחר הוצאת כדור אחד נותרו 8 כדורים.
מתוכם 3 צהובים. לכן ההסתברות לצהוב שני היא:
3/8

ההסתברות לשני צהובים מתקבלת על ידי מכפלת ההסתברויות:

1/6 זו ההסתברות להוציא שני צהובים.

נחשב את ההסתברות לשני אדומים
בהוצאה הראשונה יש 5 אדומים מתוך 9 (הסתברות 5/9).
בהוצאה השנייה יש 4 אדומים מתוך 8 (ההסתברות 4/8)

ההסתברות להוציא שני אדומים מתקבלת על ידי מכפלת ההסתברויות:

5/18 זו ההסתברות להוציא שני אדומים.

ההסתברות להוציא שני אדומים או שני צהובים היא סכום ההסתברויות שחישבנו.

תשובה: 4/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים באותו הצבע.

סעיף ב: הוצאת שני כדורים שונה צבע
ההסתברות להוציא 1 צהוב ו 1 אדום זו ההסתברות המשלימה למה שחישבנו קודם לכן
לכן הסתברות זאת שווה ל:

תשובה: 5/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים שונה צבע.

עוד באתר:

  1. בעיות הוצאה והחזרה סיכום חלק ב.
  2. הסתברות 3 יחידות.
  3. הסתברות 4 יחידות.
  4. הסתברות 5 יחידות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.