מספרים מכוונים – מספרים שליליים כיתה ז

בדף זה נכיר את המספרים השליליים, הנקראים גם מספרים מכוונים.

החלקים של דף זה הם:

1. תקציר.
2. חיבור וחיסור מספרים שליליים.
3. כפל וחילוק מספרים שליליים.
4. סדר פעולות חשבון עם מספרים שליליים.
5. מינוס לפני סוגריים.
6. חזקות עם מספר שלילי.

חלקים 1-3 הם עיקר הדף.
החלקים שלאחריהם מתקדמים.

הדף הזה הוא דף מסכם.
למי שחדש לגמרי לנושא מומלץ ללמוד מהדפים הבאים, שהם יסודיים יותר וכללים סרטון וידאו לכל נושא.

1. מספרים שליליים: איזה מספר יותר גדול.
2. חיבור וחיסור מספרים מכוונים.
3. כפל וחילוק מספרים מכוונים.
4. חיבור וחיסור מספרים שליליים גדולים.
5. בעיות מילוליות עם מספרים שליליים.

1.תקציר

מספרים שליליים הם מספרים הנמצאים משמאל ל 0 על ישר המספרים.

1.כיצד נדע איזה מספר יותר קטן / גדול?
ככל שמספר נמצא שמאלה על ציר המספרים כך המספר קטן יותר.

למשל:
4- > 7-

 

נשים לב לכך שבמספרים שלילים ערכים שהתרגלנו לראות אותם כגדולים הופכים להיות קטנים.
למשל 100- קטן יותר מ 2-.

כמו כן מספר חיובי תמיד יהיה גדול יותר ממספר שלילי.

2.חיבור וחיסור של מספרים שליליים.
כמו בחיבור וחיסור רגיל, כאשר מחסרים צריך ללכת שמאלה על ציר המספרים.

6- = 2 – 4 –

 

כאשר מחברים צריך ללכת ימינה על ציר המספרים.

כאשר עוברים "מעל נקודת ה 0" הרבה פעמים נוח "לעצור" בנקודת ה 0 על מנת לחשב נכון.

2- = 5 – 3

 

שני "טריקים" שיכולים לעזור בהתחלה
יש שני סוגי תרגילים שאתם יכולים לפגוש:

1. תרגילים בהם שני המספרים שליליים.
2. תרגילים בהם אחד המספרים שלילי.

כאשר שני המספרים שליליים.
אפשר להתייחס אליהם כאל שני מספרים חיוביים ולהוסיף מינוס בסוף התרגיל.
למשל:
= 6 – 13-

זה כמו:
19 = 6 + 13
ומוסיפים מינוס לתשובה (19 – ).
19 – = 6 – 13-

כאשר מספר אחד חיובי והשני שלילי
ניתן להפוך את הסימנים בתרגיל ואז להפוך את הסימנים בתשובה.

= 12 – 5
זה כמו:
7 = 5 – 12

ואז, הופכים את הסימן של התשובה (7-).
7- = 12 – 5

שיטת "המעלית"
יש הפותרים על ידי דמיון של משהו מוחשי.
למשל כאשר מקבלים תרגיל:
= 4 – 3 –

חושבים " אני בקומה 3- ויורד 4 קומות, לאיזו קומה הגעתי?"
קומה 7-
ולכן:
7 – = 4 – 3 –

3.שני סימנים צמודים בתרגילי חיבור וחיסור

דבר חדש שאתם צריכים לדעת
בחלק מהתרגילים אתם תראו שני סימנים צמודים אחד לשני.
למשל + – או – – .
כאשר אנו רואים שני סימנים, על מנת לפתור את התרגיל נרשום סימן אחד.
נעשה זאת על פי הכללים הבאים:

+ + נרשום פלוס.
– – נרשום פלוס.
+ – נרשום מינוס
– + נרשום מינוס.

דוגמאות לכלל: + + הוא פלוס.
5 + 2 = (5+) + 2
7 + 3 – = (7+) + (3-)

דוגמאות לכלל: – – הוא פלוס
3 + 4 = (3-) – 4
1 + 6 – = (1-) – (6-)

שימו לב
שני המינוסים צריכים להיות צמודים על מנת להפוך לפלוס.
כאשר התרגיל הוא כזה:
6 – = 1 – 5 –
המינוסים אינם צמודים והם אינם הופכים לפעולת חיבור.

דוגמאות לכללים: + – או – + הם מינוס
5 – 6 = (5-) + (6)
3 – 1 = (3+) – 1

4.כפל וחילוק מספרים שליליים.

יש שתי אפשרויות:

1. כפל / חילוק של מספר חיובי ומספר שלילי  – התוצאה שלילית.
2. כפל / חילוק – של שני מספרים שלילים או שני חיוביים – התוצאה חיובית.

כפל או חילוק של מספר שלילי וחיובי נותנים תוצאה שלילית.
10- = (5-) * 2

כפל או חילוק של מספר שלילי ושלילי נותנים תוצאה חיובית
10 = (5-) * (2-)

2.תרגילי חיבור וחיסור

1.    = 5 – 2
2.   = 3 – 4 –
3.   = 6 + 4 –
4.   = 2 + 7 –
5.    = 6 – 0
6.   = 7- 5-
7.   = 28 – 1
8.   = 110 – 10
9.   = 36 + 6-
10.   = 34 + 3-

פתרונות

לתרגילים 1-4 יש הסבר לפתרון משורטט.
לתרגילים 5-10 יש פתרון כתוב המופיע לאחר השרטוטים.

תרגיל 1
= 5 – 2

 

תרגיל 2
= 3 – 4 –

תרגיל 3
= 6 + 4 –

תרגיל 4
= 2 + 7 –

פתרונות מלאים לכל התרגילים.

1. 3- = 5 – 2
2. 7 – = 3 – 4 –
3. 2 = 6 + 4 –
4. 5 – = 2 + 7 –
5.  6-  = 6 – 0
6. 12- = 7- 5-
7. 27- = 28 – 1
8. 100 = 110 – 10
9. 32 = 36 + 6-
10. 31 = 34 + 3-

תרגילי חיבור וחיסור נוספים עם שלושה מספרים.

1. = 6 + 5 + 8-
2.  = 10- 5 – 4
3.  = 4 – 7 – 2
4.   = 9 + 5 – 3

פתרונות

תרגיל 1
= 6 + 5 + 8-
3 = 6 + 3-

תרגיל 2
= 10- 5 – 4
11- = 10 – 1-

תרגיל 3
= 4 – 7 – 2
9- = 4 – 5-

תרגיל 4
= 9 + 5 – 3
7 = 9 + 2-

תרגילי חיבור וחיסור נוספים

נתונים המספרים הבאים

1. 8
2. 1/5
3. 0
4. 3-

עבור כל אחד מהמספרים בנו שני תרגילים חיבור / חיסור הכוללים לפחות מספר שלילי אחד.
כאשר המספרים שלמעלה צריכים להיות התוצאה של התרגיל.

פתרון

8
8 = 10 + 2 –
8 = 16 + 8-

1/5
1/5 = 2/5 + 1/5 –
1/5 = 1 + 4/5 –

0
0 = 1 + 1 –
0 = 7 + 7 –

3-
3 – = 1 – 2 –
3- = 6 + 9 –

2.כפל וחילוק מספרים שליליים

כפל או חילוק של מספר חיובי ומספר שלילי – התוצאה שלילית.

כפל או חילוק של שני מספרים שליליים – התוצאה חיובית.

1.   = (9-) * 1
2.   = 2 : (4-)
3.   = (3-) * (6-)
4.   = (2-) : (20-)
5.   = (4-) * 0
6.   = 8 * (9-)
7.   = (1-) * 1 * (1-)
8.   = (5-) * (4-) * (5-)

פתרונות

1.    9 – = (9-) * 1
2.    2- = 2 : (4-)
3.    18 = (3-) * (6-)
4.   10 = (2-) : (20-)
5.   0 = (4-) * 0
6.   72 – = 8 * (9-)
7.   1 = (1-) * 1 * (1-)
8.   100 – = (5-) * (4-) * (5-)

תרגילים נוספים: קביעת סימן התוצאה בלבד

קבעו את הסימן של שני התרגילים הבאים (אין צורך לחשב).

1.   = (2-) * 4 *1* 5* 6 : 7 * 2
2.   = 4 * 108 * (12-) * 6 * (9-) : 8

פתרון
תוצאת התרגיל = (2-) * 4 *1* 5* 6 : 7 * 2
היא שלילית כי כל התרגיל הוא פעולות כפל או חילוק ויש מספר אחד שלילי.

תוצאת התרגיל = 4 * 108 * (12-) * 6 * (9-) : 8
היא חיובית כי כל התרגיל הוא פעולות כפל או חילוק ויש שני מספרים שליליים.

3.תרגילים המשלבים סדר פעולות חשבון

בחלק זה אין תרגילים קלים.
אבל תרגילים 6-9 קשים עוד יותר.

1.  = (6 – 3) * 2
2.  = (4-)  * 2  + 10 – 8
3.  = 3 : (9-) – 6 – 10
4.  = 2 – (1-) * (1-) * (1-)
5.  = 3 + (1-) *1 + 0 * (1-)
6.  = (2-) * (4 – 2 : 6-)
7. = (2-) : 8 * (3-) – 10-
8. = (2-) * (5-) + (3- 2-) – 4
9.  = (6-) – (8-) * (2-) – 15 –

פתרון

1.
(6 – 3) * 2
6 – = (-3) * 2

2.
(4-)  * 2  + 10 – 8
(8-) + 10 – 8
10- = 8 – 2 –

3.
3 : (9-) – 6 – 10
(3-) – 6 – 10
(3-) – 4
7

4.
= 2 – (1-) * (1-) * (1-)
= 2 – (1-) * 1
= 2 – 1-
3-

5.
3 + (1-) *1 + 0 * (1-)
3 + (1-) *1 + 0
3 + 1 –
2

6.
(2-) * (4 – 2 : 6-)
(2-) * (4 – 3 -)
(2-) * (-7)
14

7.
(לדעתי המעבר בין השורה השנייה לשלישית יכול לבלבל במיוחד. צריך להתרכז בביצוע הפעולה והרישום שלה. כל מה שלא בוצע בפעולה נשאר כמו שהוא).
= (2-) : 8 * (3-) – 10-
= (2-) : (24-) – 10-
= 12 – 10-
22-

8.
(2-) * (5-) + (3- 2-) – 4
(2-) * (5-) + (5-) – 4
10 + (5-) – 4
10 + 9
19

9.
(6-) – (8-) * (2-) – 15 –
(6-) – 16 – 15 –
(6-) – 31 –
6 + 31 –
25-

4.כללים לפתיחת סוגריים הכוללים מינוס

אם תחילת השימוש במספרים מכוונים, ואם תחילת ההיכרות שלכם עם משתנים, יש מספר כללים אלגבריים לפתיחת סוגריים שאתם צריכים לדעת.

אני ממליץ לדעת למה זו הפתיחה הנכונה של הסוגריים, וברגע שתדעו זאת לא תצטרכו לשנן או לזכור.

כל הכללים המפורטים מטה הם בעצם כלל אחד בלבד:  מינוס לפני סוגריים הוא בעצם הכפלה של 1- כפול הסוגריים.

ועכשיו לפירוט הכללים:

1. כלל    x) =x-) –

(5-) –
(5-) * (1-)
5

2. כלל    a + b) =  – a – b) –

3.  כלל    a – b) =  – a + b) –

4. כלל  ( a – b =  – 1(b – a

5.חזקות הכוללות בסיס חזקה שלילי

החל מעכשיו תדרשו גם לדעת הכוללות חזקות עם בסיס חזקה שלילי.
למשל   ²(4-).

אתם צריכים לדעת להבדיל בין שני מצבים:
²(4-).
4²-.

²(4-). אומר שהחזקה היא על 4- והתרגיל הוא:
16 = (4-) * (4-)=  ²(4-)

4²- אומר שהחזקה היא על המספר 4 בלבד והמינוס הוא על תוצאת החזקה.
16 – = (4 * 4) – =  4²-

• חזקות כיתה ז כולל כללי חזקות נוספים.

6.משוואות הכוללות פעולות עם מספרים שליליים

מעכשיו תצטרכו לדעת לפתור משוואות הדורשות ביצוע פעולות במספרים שליליים.

תרגילים:

1.   2x + 4 = 8
2.   3x + 6 = 3 –
3.   5x – 4 + 5 = -11
4.   6 + (3x – 4) = 2x * (-3)-

פתרונות

תרגיל 1
2x + 4 = 8
2x + 4 = 8  / -4
2x = 4  / :2
x = 2

תרגיל 2
3x + 6 = 3 –
3x + 6 = 3  / -6-
3x = -3  / : -3-
x= 1

תרגיל 3
5x – 4 + 5 = -11
5x – 1 = -11  / +1
5x = -10  / : 5
x = -2

תרגיל 4
6 + (3x – 4) = 2x * (-3)-
3x + 4 = -6x +6  / +6x -4-
3x = 2 / :3
x= 2/3

נבדוק את התרגיל האחרון על ידי הצבה של 2/3 במשוואה המקורית.
0.66 = 2/3

6 + (3-) * 0.66 * 2 = (4 – 0.66 * 3) –
6 + (3-) * 1.33 = (4 – 2) –
6 + 4 – = (2 – ) –
2 = 2
קיבלנו ביטוי שהוא נכון ולכן התשובה נכונה.

• משוואות כיתה ז כוללות תרגילים נוספים.

עוד באתר:

• חשבון לכיתה ז – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.