מספרים מכוונים – מספרים שליליים כיתה ז

בדף זה נכיר את המספרים השליליים, הנקראים גם מספרים מכוונים.

החלקים של דף זה הם:

  1. תקציר.
  2. חיבור וחיסור מספרים שליליים.
  3. כפל וחילוק מספרים שליליים.
  4. סדר פעולות חשבון עם מספרים שליליים.
  5. מינוס לפני סוגריים.
  6. חזקות עם מספר שלילי.

חלקים 1-3 הם עיקר הדף.
החלקים שלאחריהם מתקדמים.

הדף הזה הוא דף מסכם.
למי שחדש לגמרי לנושא מומלץ ללמוד מהדפים הבאים, שהם יסודיים יותר וכללים סרטון וידאו לכל נושא.

  1. מספרים שליליים: איזה מספר יותר גדול.
  2. חיבור וחיסור מספרים מכוונים.
  3. כפל וחילוק מספרים מכוונים.
  4. חיבור וחיסור מספרים שליליים גדולים.
  5. בעיות מילוליות עם מספרים שליליים.

1.תקציר

מספרים שליליים הם מספרים הנמצאים משמאל ל 0 על ישר המספרים.

מספרים שליליים

1.כיצד נדע איזה מספר יותר קטן / גדול?
ככל שמספר נמצא שמאלה על ציר המספרים כך המספר קטן יותר.

למשל:
4- > 7-

"4-

 

נשים לב לכך שבמספרים שלילים ערכים שהתרגלנו לראות אותם כגדולים הופכים להיות קטנים.
למשל 100- קטן יותר מ 2-.

כמו כן מספר חיובי תמיד יהיה גדול יותר ממספר שלילי.

2.חיבור וחיסור של מספרים שליליים.
כמו בחיבור וחיסור רגיל, כאשר מחסרים צריך ללכת שמאלה על ציר המספרים.

6- = 2 – 4 –

 

כאשר מחברים צריך ללכת ימינה על ציר המספרים.

כאשר עוברים "מעל נקודת ה 0" הרבה פעמים נוח "לעצור" בנקודת ה 0 על מנת לחשב נכון.

2- = 5 – 3

 

שני "טריקים" שיכולים לעזור בהתחלה
יש שני סוגי תרגילים שאתם יכולים לפגוש:

  1. תרגילים בהם שני המספרים שליליים.
  2. תרגילים בהם אחד המספרים שלילי.

כאשר שני המספרים שליליים.
אפשר להתייחס אליהם כאל שני מספרים חיוביים ולהוסיף מינוס בסוף התרגיל.
למשל:
= 6 – 13-

זה כמו:
19 = 6 + 13
ומוסיפים מינוס לתשובה (19 – ).
19 – = 6 – 13-

כאשר מספר אחד חיובי והשני שלילי
ניתן להפוך את הסימנים בתרגיל ואז להפוך את הסימנים בתשובה.

= 12 – 5
זה כמו:
7 = 5 – 12

ואז, הופכים את הסימן של התשובה (7-).
7- = 12 – 5

שיטת "המעלית"
יש הפותרים על ידי דמיון של משהו מוחשי.
למשל כאשר מקבלים תרגיל:
= 4 – 3 –

חושבים " אני בקומה 3- ויורד 4 קומות, לאיזו קומה הגעתי?"
קומה 7-
ולכן:
7 – = 4 – 3 –

3.שני סימנים צמודים בתרגילי חיבור וחיסור

דבר חדש שאתם צריכים לדעת
בחלק מהתרגילים אתם תראו שני סימנים צמודים אחד לשני.
למשל + – או – – .
כאשר אנו רואים שני סימנים, על מנת לפתור את התרגיל נרשום סימן אחד.
נעשה זאת על פי הכללים הבאים:

+ + נרשום פלוס.
– – נרשום פלוס.
+ – נרשום מינוס
– + נרשום מינוס.

דוגמאות לכלל: + + הוא פלוס.
5 + 2 = (5+) + 2
7 + 3 – = (7+) + (3-)

דוגמאות לכלל: – – הוא פלוס
3 + 4 = (3-) – 4
1 + 6 – = (1-) – (6-)

שימו לב
שני המינוסים צריכים להיות צמודים על מנת להפוך לפלוס.
כאשר התרגיל הוא כזה:
6 – = 1 – 5 –
המינוסים אינם צמודים והם אינם הופכים לפעולת חיבור.

6 - = 1- 5-
6 – = 1- 5-

דוגמאות לכללים: + – או – + הם מינוס
5 – 6 = (5-) + (6)
3 – 1 = (3+) – 1

4.כפל וחילוק מספרים שליליים.

יש שתי אפשרויות:

  1. כפל / חילוק של מספר חיובי ומספר שלילי  – התוצאה שלילית.
  2. כפל / חילוק – של שני מספרים שלילים או שני חיוביים – התוצאה חיובית.

כפל או חילוק של מספר שלילי וחיובי נותנים תוצאה שלילית.
10- = (5-) * 2

כפל או חילוק של מספר שלילי ושלילי נותנים תוצאה חיובית
10 = (5-) * (2-)

2.תרגילי חיבור וחיסור

  1.    = 5 – 2
  2.   = 3 – 4 –
  3.   = 6 + 4 –
  4.   = 2 + 7 –
  5.    = 6 – 0
  6.   = 7- 5-
  7.   = 28 – 1
  8.   = 110 – 10
  9.   = 36 + 6-
  10.   = 34 + 3-

פתרונות

לתרגילים 1-4 יש הסבר לפתרון משורטט.
לתרגילים 5-10 יש פתרון כתוב המופיע לאחר השרטוטים.

תרגיל 1
= 5 – 2

2-5 = -3

 

תרגיל 2
= 3 – 4 –

-4 -3 =-7

תרגיל 3
= 6 + 4 –

-4 +6 =2

תרגיל 4
= 2 + 7 –

-7 +2 = -5

פתרונות מלאים לכל התרגילים.

  1. 3- = 5 – 2
  2. 7 – = 3 – 4 –
  3. 2 = 6 + 4 –
  4. 5 – = 2 + 7 –
  5.  6-  = 6 – 0
  6. 12- = 7- 5-
  7. 27- = 28 – 1
  8. 100 = 110 – 10
  9. 32 = 36 + 6-
  10. 31 = 34 + 3-

תרגילי חיבור וחיסור נוספים עם שלושה מספרים.

  1. = 6 + 5 + 8-
  2.  = 10- 5 – 4
  3.  = 4 – 7 – 2
  4.   = 9 + 5 – 3

פתרונות

תרגיל 1
= 6 + 5 + 8-
3 = 6 + 3-

תרגיל 2
= 10- 5 – 4
11- = 10 – 1-

תרגיל 3
= 4 – 7 – 2
9- = 4 – 5-

תרגיל 4
= 9 + 5 – 3
7 = 9 + 2-

תרגילי חיבור וחיסור נוספים

נתונים המספרים הבאים

  1. 8
  2. 1/5
  3. 0
  4. 3-

עבור כל אחד מהמספרים בנו שני תרגילים חיבור / חיסור הכוללים לפחות מספר שלילי אחד.
כאשר המספרים שלמעלה צריכים להיות התוצאה של התרגיל.

פתרון

8
8 = 10 + 2 –
8 = 16 + 8-

1/5
1/5 = 2/5 + 1/5 –
1/5 = 1 + 4/5 –

0
0 = 1 + 1 –
0 = 7 + 7 –

3-
3 – = 1 – 2 –
3- = 6 + 9 –

2.כפל וחילוק מספרים שליליים

כפל או חילוק של מספר חיובי ומספר שלילי – התוצאה שלילית.

כפל או חילוק של שני מספרים שליליים – התוצאה חיובית.

  1.   = (9-) * 1
  2.   = 2 : (4-)
  3.   = (3-) * (6-)
  4.   = (2-) : (20-)
  5.   = (4-) * 0
  6.   = 8 * (9-)
  7.   = (1-) * 1 * (1-)
  8.   = (5-) * (4-) * (5-)

פתרונות

  1.    9 – = (9-) * 1
  2.    2- = 2 : (4-)
  3.    18 = (3-) * (6-)
  4.   10 = (2-) : (20-)
  5.   0 = (4-) * 0
  6.   72 – = 8 * (9-)
  7.   1 = (1-) * 1 * (1-)
  8.   100 – = (5-) * (4-) * (5-)

תרגילים נוספים: קביעת סימן התוצאה בלבד

קבעו את הסימן של שני התרגילים הבאים (אין צורך לחשב).

  1.   = (2-) * 4 *1* 5* 6 : 7 * 2
  2.   = 4 * 108 * (12-) * 6 * (9-) : 8

פתרון
תוצאת התרגיל = (2-) * 4 *1* 5* 6 : 7 * 2
היא שלילית כי כל התרגיל הוא פעולות כפל או חילוק ויש מספר אחד שלילי.

תוצאת התרגיל = 4 * 108 * (12-) * 6 * (9-) : 8
היא חיובית כי כל התרגיל הוא פעולות כפל או חילוק ויש שני מספרים שליליים.

3.תרגילים המשלבים סדר פעולות חשבון

בחלק זה אין תרגילים קלים.
אבל תרגילים 6-9 קשים עוד יותר.

  1.  = (6 – 3) * 2
  2.  = (4-)  * 2  + 10 – 8
  3.  = 3 : (9-) – 6 – 10
  4.  = 2 – (1-) * (1-) * (1-)
  5.  = 3 + (1-) *1 + 0 * (1-)
  6.  = (2-) * (4 – 2 : 6-)
  7. = (2-) : 8 * (3-) – 10-
  8. = (2-) * (5-) + (3- 2-) – 4
  9.  = (6-) – (8-) * (2-) – 15 –

פתרון

1.
(6 – 3) * 2
6 – = (-3) * 2

2.
(4-)  * 2  + 10 – 8
(8-) + 10 – 8
10- = 8 – 2 –

3.
3 : (9-) – 6 – 10
(3-) – 6 – 10
(3-) – 4
7

4.
= 2 – (1-) * (1-) * (1-)
= 2 – (1-) * 1
= 2 – 1-
3-

5.
3 + (1-) *1 + 0 * (1-)
3 + (1-) *1 + 0
3 + 1 –
2

6.
(2-) * (4 – 2 : 6-)
(2-) * (4 – 3 -)
(2-) * (-7)
14

7.
(לדעתי המעבר בין השורה השנייה לשלישית יכול לבלבל במיוחד. צריך להתרכז בביצוע הפעולה והרישום שלה. כל מה שלא בוצע בפעולה נשאר כמו שהוא).
= (2-) : 8 * (3-) – 10-
= (2-) : (24-) – 10-
= 12 – 10-
22-

8.
(2-) * (5-) + (3- 2-) – 4
(2-) * (5-) + (5-) – 4
10 + (5-) – 4
10 + 9
19

9.
(6-) – (8-) * (2-) – 15 –
(6-) – 16 – 15 –
(6-) – 31 –
6 + 31 –
25-

4.כללים לפתיחת סוגריים הכוללים מינוס

אם תחילת השימוש במספרים מכוונים, ואם תחילת ההיכרות שלכם עם משתנים, יש מספר כללים אלגבריים לפתיחת סוגריים שאתם צריכים לדעת.

אני ממליץ לדעת למה זו הפתיחה הנכונה של הסוגריים, וברגע שתדעו זאת לא תצטרכו לשנן או לזכור.

כל הכללים המפורטים מטה הם בעצם כלל אחד בלבד:  מינוס לפני סוגריים הוא בעצם הכפלה של 1- כפול הסוגריים.

דוגמה לפתיחת סוגריים

ועכשיו לפירוט הכללים:

1. כלל    x) =x-) –

הוכחה x) =x-) -

(5-) –
(5-) * (1-)
5

2. כלל    a + b) =  – a – b) –

הוהוכחת הכלל   a + b) =  - a - b) -

דוגמה לפתיחת סוגריים

3.  כלל    a – b) =  – a + b) –

הוכחת הכלל   a - b) =  - a + b) -

4. כלל  ( a – b =  – 1(b – a

הוכחת הכלל  ( a - b =  - 1(b - a

5.חזקות הכוללות בסיס חזקה שלילי

החל מעכשיו תדרשו גם לדעת הכוללות חזקות עם בסיס חזקה שלילי.
למשל   ²(4-).

אתם צריכים לדעת להבדיל בין שני מצבים:
²(4-).
4²-.

²(4-). אומר שהחזקה היא על 4- והתרגיל הוא:
16 = (4-) * (4-)=  ²(4-)

4²- אומר שהחזקה היא על המספר 4 בלבד והמינוס הוא על תוצאת החזקה.
16 – = (4 * 4) – =  4²-

6.משוואות הכוללות פעולות עם מספרים שליליים

מעכשיו תצטרכו לדעת לפתור משוואות הדורשות ביצוע פעולות במספרים שליליים.

תרגילים:

  1.   2x + 4 = 8
  2.   3x + 6 = 3 –
  3.   5x – 4 + 5 = -11
  4.   6 + (3x – 4) = 2x * (-3)-

פתרונות

תרגיל 1
2x + 4 = 8
2x + 4 = 8  / -4
2x = 4  / :2
x = 2

תרגיל 2
3x + 6 = 3 –
3x + 6 = 3  / -6-
3x = -3  / : -3-
x= 1

תרגיל 3
5x – 4 + 5 = -11
5x – 1 = -11  / +1
5x = -10  / : 5
x = -2

תרגיל 4
6 + (3x – 4) = 2x * (-3)-
3x + 4 = -6x +6  / +6x -4-
3x = 2 / :3
x= 2/3

נבדוק את התרגיל האחרון על ידי הצבה של 2/3 במשוואה המקורית.
0.66 = 2/3

6 + (3-) * 0.66 * 2 = (4 – 0.66 * 3) –
6 + (3-) * 1.33 = (4 – 2) –
6 + 4 – = (2 – ) –
2 = 2
קיבלנו ביטוי שהוא נכון ולכן התשובה נכונה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

18 מחשבות על “מספרים מכוונים – מספרים שליליים כיתה ז”

  1. היי בנוגע לשני המשוואות בסוף העמוד

    אז הראשונה יצאה לי תוצאה של מינוס אחד ולא אחד עם נציב אחד זה לא יצא נכון אבל הבנתי שיש חוק שאומר שלא משנה עם התוצאה היא שלילית או חיובית???

    ובנוגע למשוואה השנייה התוצאה שיצאה לי היא מינוס שני תשיעיות ולא שתי שליש ???

  2. היי בנוגע לשתי המשוואות בסוף העמוד

    הראשונה אמורה להיות מינוס אחד? ולא אחד

    והמשוואה השניה התוצאה שקיבלתי היא מינוס שתי תשיעיות ?ולא שתי שליש

    1. לומדים מתמטיקה

      היי
      בנוגע למשוואה הראשונה אתה צודק 1-, תודה רבה על התיקון.
      בנוגע למשוואה השנייה זה 2/3.
      יתכן שאתה חישבת את התרגיל הזה כך:
      3x + 6x = -9x-
      אבל החישוב הנכון הוא:
      3x + 6x = 3x-
      אם זה משהוא אחר תגיד לי.

      1. התרגיל נכתב הובן ונפתר בצורה הבאה

        3X-4=-6X+6

        זאת בגלל שבאגף הימני מוצב שתי איקס כפול מינוס שלוש בסוגריים ומחוץ לסוגרים מופיעה הסימון מינוס פלוס 6

        אז עשיתי פתיחת סוגרים לביטוי הראשון שלוש איקס מינוס ארבע אחר כך לביטוי 2איקס כפול מינוס 3 שווה מינוס 6איקס ואז מחוץ לסוגריים מינוס פלוס שווה מינוס אז זה קיבלתי מינוס 6 ואז העברת אגפים והמשך המשוואה

        3X+6X=-6+4

      2. עוד משהו כשאני מציב שני שלש במשוואה אני לא מקבל שווין אשמח לפרוט על פתרון והצבה והאם זה משנה אם האיקס הוא שלילי או חיובי?

        סליחה על החפירות

        ותודההה רבה

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום נהוראי
          השורה הראשונה שכתבת
          3X-4=-6X+6
          היא שורה לא נכונה ואינה כתובה בתרגיל.
          הוספתי הצבה של 2/3 במשוואה בתחתית הדף.
          זה לא משנה אם x חיובי או שלילי.
          לדעתי אתה משתמש במושג פתיחת סוגריים גם עבור מקרים שבהם יש בתוך הסוגריים איבר אחד וזה לא מדויק.
          צורת הכתיבה הזו נועדה לתלמידי כיתה ז המתחילים ללמוד על מספרים שליליים וכבר בכיתה ח לא משתמשים בה.
          יתכן שהפתרון השגוי נבע מסדר פעולות חשבון
          http://www.m-math.co.il/4th-grade/order-of-operations-4th/

  3. וואי האתר הזה פשוט מעולההה אחד הטובים!!!!! אני מאד מכורה אליו ולא מצליחה להתנתק ממנו

  4. באמת שאין לי מילים להודות לך!
    אני כבר כמה ימים חורש על האתר שלך וזה פשוט מסכם לי הכל ומסדר לי בראש את הנושאים.
    הלוואי ותרוויח איכשהו מהאתר הזה כסף! מגיע לך על כל החומר שאתה נותן לנו כאן בחינם..

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יובל.
      האמת שמצאת מילים יפות מאוד.
      כיתה ז היא כיתה חשובה ובכיתה ח היקפי החומר גדלים משמעותית. בשנים הללו הקפד תמיד ללכת עם הכיתה ולא מאחוריה, לא להשאיר דברים לא מובנים או דברים שנלמדים באיחור.
      אם יהיו שאלות אתה יכול לשאול כאן.
      בהצלחה

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום שלו.
          זה באמת תרגיל עם הרבה מינוסים אבל התשובה הסופית היא 19.
          ניתן להסתכל על התרגיל כאילו הוא מורכב משני חלקים החלק הימני.
          10 = (2-) * (5-)
          והחלק השמאלי
          9 = (3- 2-) – 4
          ולכן התרגיל שווה 19.
          החלק השמאלי קצת יותר קשה.
          שים לב להתפתחות שלו:
          (3- 2-) – 4
          (5-) – 4
          9
          מקווה שעזרתי, ואם לא שאל שוב.
          בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.